Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 10

(Ш.151) 2з 2з ° 4з ~, 2) Лля удобства вычислений вместо функции р в общее решение (1П.141) подставим функцию Уе(х), связанную с и соотноше- нием Уе(х) = -д+ — Ае(х)(С вЂ” 1п2), 2 2 (Ш.152) где Уе(х) — функция Бесселя П рода нулевого порядка; С = 0,577 — постоянная Эйлера. Частные решения Я~(х) и Уе(х) линейно независимы, общий интеграл уравнения (П1.140) или, возвращаясь к переменной г (х = йг), 4(г) = Сг .70(l ) + Сз УО(йг) (П1 154) Так как температура на оси цилиндра (г = О) должна быть конечной, то решение (П1.154) не должно содержать функцию Уе(йг), которая стремится к бесконечности при г -+ О, следовательно, Сз = О,и решение (П1.154) принимает вид где постоянные Й и С определяются из граничного и начального условий.

Здесь Д(йг) — функция Бесселя 1рода первого порядка. Удовле- творим решение (1П.155) граничному условию -АхС Д(йАе)е Я ег = аС.уе(йие)с Я ' . Сократив на Се " ~~, получим Хю(хЛо)/Л(Ы11о) = ИЛе/аде = ЙЛе/В1. (1П.157) где хйе = и. График функции уз =,уе(п)/Д(п) напоминает котангенсоиду, но с убывающим периодом, график функции уг — примах линия, проходящая через начало координат. На рис.П1.12 представлен графи- рис 111зя» 1СРепжиизоуреческий способ определения кор- аиеиия (РИлвт) ней уравнения (Ш.157).

Как видно из рисунка, имеется бесчисленное множество корней и,, определяемых пересечением графиков функций рг и Общее решение есть сумма всех частных решений: В том случае, если 'го > 0,25, рял (Ш.164) сходятся очень быстро н для практических расчетов можно ограничиться первым членом ряда. Прн этом безразмерным перепадам температур на поверхности н на осн цилиндра соответствуют формулы д= ~» С».со(»»т/Ко)е "' '/до. (П1.159) О„д,= е "» ' — Уо(В1)е "» '* (Ш.165) 1[2'( 1)+ Ф»1)1 2 сг(»1)е" = М (В$)е из»уо.

(Ш,166) ° [4(.)+ у"( ) Постоянные С; определяются нз начального условия до = ~» , 'С» Го(»»т/Во). (Ш.160) » 1 Это соотношенне представляет собой разложение функции до в рял по функпням Бесселя. Из курса математнкн нзвестно, что система функций /г Яат), ~/г 3о(Ьт) является ортогональной. Следовательно, На рнс. 1П.13 н П1.14 показаны завнснмостн безразмерной температуры от чисел В1 н Го для г м 0 н г = Во, подсчнтелные по формуле (П1.164). до | г Яо(»»гт/йо) 3о(»уг/Во) Й' = [ .. (Ш.161) ( =О прн 1141; ~ 140 прн зжз; о | до ХО( /Во) = Ь [ХОЯ(~;)+ А2(»;)); о (П1.162) ем ясс сзч з» сс» Рис.111.1З. Зависимость безразмерного перепада температур ив оси неограниченного цилиндра от чисел Фурье и Био Обозначив 9 = д/до = (1н — 1)/(1н - 10), имеем Теплота, поступающая в тело за время нагрева, должна равняться изменению его энтальпнн за это времю 2 Д(»») „зр [Ж Ч1)+ 4(»;)) (1П.164) Я, = т2фрс(1н — 1о).

(1П.167) 100 101 гдо уо(Пт/Ко) ет 0 т,со (»;т/Яо) дт о — д ' . (Ш.163) '»1[2'(»*)+ Ф *)) гс с'с (с с,» с с с с с с и и ио 4. с яг ег яу яг яг Ф 4Ф Ф ~р а ю' ч' е ян г г г г в и в» г Ф г Рнс.111.14. Зависимость безразмерного перепада температур на поверхности неограниченного цилиндра от чисел Фурье и Био ??ля промежутка времени, ограниченного т, так же как и для пластины, Чт — — Яео(1- 6), (Ш.168) где 6 = (1ж — Х)/(гж — го), или Яо 1 1 / 6 = — / 92ттй' = 2 / Э т дт яро ) ,о о 1 — средняя температура цилиндра; т = т/Яо.

Подставив значение 9 кз (Ш.164) и проинтегрировав выражение (1П.169), получим — 4 Яз(н;) 9 = ~ ехр(-н; Ро) ж 2 2 (ф(н1) +,71~(н;)) 4В? 2 поскольку,уо(н;)/Дг(н;) = н1/В?. В скучав, когда Ро > 0,25, — 4В1 '2 9 = . ехр(-н1Ро). н1 (Я1 + В? 2) Как уже указывалось, определение температурного поля цилиндра конечной длины осу|цествляется перемножением решений, полученных для бесконечного цилиндра и неограниченной пластины.

(П1.1Т1) 1П.Т. Нестапнонарное температурное поле шара Рассмотрим задачу с граничными условиями П? рода: задан коэффициент теплоотдачи а, постоянный для всей поверхности шара радиусом Ло, В начальный момент времени т ж О температура шара одинакова во всех точках н равна 10. Температура окружаюшей среды 1ж ) 10.

Избыточная температура д = 1ж — 2. Математически задача описывается сяедующимн уравнениями: (П1.172) (П1.173) а — д при |=Во, Как и в предыдуших случаях, при рассмотрении пластины и цилиндра задача может быть решена методом разделения переменных. Не приводя всех вычислений, ограничимся конечным результатом: д ~ 2(з1пн; — % созн;) з?п(н;т/ЛО) -езус до ~' н; — сйп н; соз н; н1т/Ло ?ж1 дд — = е дт дд дт= дд — =О дт до =1ж при т = О (из условия симметрии); (П1.174) — 10 при т = О, О < т < Во. (1П.175) 102 102 (Ш.177) $8в = -и/(В1 — 1), При В1 -+ оо и; = иг и 2(з1пп; — и; сояп;) ( );+1 и; — в1пп; сове; 55 Ся Ст з(п(~/ЗВ1 г/Ле) ехр( — ЗВ! го ). /ЗВ /Л, (Ш.179) 4 С~~ = — тЯЕрС (1и — 1Е) 3 (П1.182) а сю1 1 106 где и; — корень характеристического уравнения В результате уравнение (П1.176) принимает вид 9 = ~) 2(-1)'+ —.

ап( — ) ехр(-пЗГо). (П1.178) При малых значениях В( (В( ( О, 1) значения С; стремятся к нулю, за исключением С1 = 1 и пз1 - -ЗВ(, когда 9 определяется выражением При значениях го > О, 25 для определения 6 можно воспользоваться первым членом ряда в уравнении (П1.176): 2 (61п П1 — п1 сов пг) 5!п(пгг/ЯО) ( яр (п1 — 51п п1 соз п1 ) пг г/ЯО Для определения значения гз в пентре шара (рис. 1П.15, а) нли на его поверхности (рис.П1.15, 6) могут быть использованы графики, где число В( является параметром, а число го — аргументом. По аналогии с пластиной и цилиндром количество теплоты, воспринимаемой шаром за период времени г = О...

тс, определяем из уравнения 455 С 5 5 55 И Гз сз Цг С(С Я55 455 Я55 Я5С С(5 С Сг г С5 5 5 б Рис. Н1,1В. Зависимость безразмерного перепада температур в центре шара (а) и иа его поверхности (Е) от чисел Фурье и Био Рис. 111.16. Грс~- И фвк дла определения количества 4 теплоты, воспринимаемой шаром Из выРажении (?П.181) следУет, что Яг/Ясо = У(В1 ~ Го) поэтому определить Чг/ф„, можно с помощью графика, приведенного на рис.

П1.16. Здесь — полное приращение энтальпии шара прн нагреве до ги. (П1.185) 00 д = ~~~ А1Е; е "' ', 1~1 (П1,183) (П1.184) ш = п1~а/Р. Нсэа ту- гпгг тглг Рвс, 1П.1В. Скехв эксвервмевтэльиой устэвоэкв длк взмереввк коэффвивевта теииературоироэодвости методов регулярвого реиииэ Рвс. 111.17. Зависимость ло- гарифма изаыточиой теиие- ратуры от времеви гет 1ЕЕ 111.8.

Регулярпый ре:пим процессов теплопровод ности Регулярным пзеплоеэьм режимом называют нестационарный пропесс теплопроводности, при котором поле избыточной температуры д автомодельно по времени, т.е. остается подобным при изменении времени. Анализируя решения, полученные для тел различной формы (пластины, цилиндра, шара), приходны к выводу, что выражение избыточной температуры может быть представлено рядом: где А; — постоянные коэффициенты, зависящие от заданных начальных условий (числа В1 ) и не зависящие ни от координат, ни от времени; г'; — функция, зависящая от координат и числа В1, Специфика геометрической формы учитывается видом множителей А;, г;. Лля первого члена ряда множитель при т (входящий в Го) называют тпемпом регулярного режима: При малых значениях т поле избыточной температуры определяется по формуле (П1.183), т.е.

на распределение избыточной температуры оказывают влияние не только первый, но и последующий члены ряда. В этот период на формирование поля избыточной температуры существенно влияет начальное распределение температур в теле. Этот период называется неупорядоченным неспзаиионарным процессом. Так как собственные значения и; возрастают с увеличением индекса 1, то каждый последующий член ряда (П1.183) меньше предыдущего. Это убывание тем значительнее, чем больше т.

Начиная с некоторого значения т (го > 0,3) поле избыточной температуры с достаточной точностью описывается первым членом ряда (П1.183), с этого момента начальные условия игра- ют второстепенную роль: д = А1Г1 е ыт <Р(я) е тт Этот период н называется реерларным режимом. Кз уравнения (Ш.185) прн,его логарифмировании следует, 1пд = -озт+ сопэ$, (1П.186) т.е. натуральный логарифм избыточной температуры изменяется во времени по линейному закону, На рис. Ш.17 представлена эта зависимость для двух точек тела (к = 0; к = 1) при его охлаждении.

Продифференцнровав уравнение (1П.186) по времени, получим 1 дд — — = -пз = сопэ$. д от (1П.187) Темп охлаждения, как следует из этого выражения, представляет собой относительную скорость изменения температуры в теле. Из формулы (1П.185) вытекают следующие свойства регулярного режима: 1) темп регулярного режима не зависит ни от координат, ни от времени; 2) темп охлаждения гп определяется геометрической формой и размерами тела> его теплопроводностью и условнямк теплоотдачи на поверхности тела; 3) если система плотно соприкасающихся тел находится и регулярном режиме, то все тела этой системы имеют одинаковый темп, Свойства регулярного режима широко используются при экспериментальном определении коэффициентов температуропроводностк и теплоотдачи.