Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 11

Пля измерения коэффициента температуропроводности испытуемое тело помешают в термостат, в котором поддерживают постоянную температуру жидкости (рис. 111.18). Жидкость приводится в движение винтом и интенсивно омывает поверхность тела. Пвумя термоп арами измеряется перепад температур д = 1 — 1ж в любой точке тела в различные моменты времени. По результатам измерений строят график в полулогарифмнческих координатах 1п б, т (см. рнс.

1П.17). Темп гп определяют вычислением углового коэффициента прямой линии, которую образуют экспериментальные точки после установленкя регулярного режима. Коэффициент температуропроводности находят по формуле а = ггг(6/в1) . Значение в1 зависит от числа В1 и от формы тела, однако, если проводить эксперимент при В1 ) 100, то тц принимает вполне определенное значение. Например, для пластины и1 = я/2, тогда имеем а = ез(2б/я)з. Таким образом, этот метод определения теплопроводности пригоден для веществ с низкой теплопроводностью (Л < 0,5 Вт/(м К)). Пействительно, при проведении опыта необходимо обеспечить В1 > 100, следовательно, Л < ггпу/100. Значение ко~ аман е эфф пи нта теплоотдачи а в термостатах обычно не превышает 2000 ВтПмэ К = 0,05м.

Сле о . Следовательно, Л = гг5/В1 = 2000 0 05/(2 100 ние е /( ° ). Это обстоятельство ограничивает н т нспользовэ; нцнента темперар гулярного режима для измерения ко н н туропроводности в лабораторных условиях. м Свойства регулярного режима можно использовать ерення коэффициентов теплоотдачн. н для изРассмотрим тело с объемом У н поверхностью К о емое в потоке ж , охлаждае жидкости так, что число Бно мало (В1 < 1). ется близким к Распределение температуры в теле с малым Б м числом ио являтела1х х в ется изким к равномерному, т.е. температура в любо" и точке (, у, х) в данный момент времени т лишь незначительно отличается от средней по объему темпе ат ы 1 момент времени 1 1к = г, / Ф(х, у, х) иК (1П.188) д$ -Лд ~ =а(Мл=о — Фж) в а=о Интегрируя уравнение (Ш.189) по объему У, имеем д1 — г1г' = е й»(йгаг11)(й.

У (П1.190) (Ш.191) Уч и выР нни (1П 188) и пишем так: я . пере- (П1.192) о Р уры в теле определяется уравнением Распределение темпе ат ы Фурье Ю вЂ” = а г11ч (бган $) (111.189) и граничным условием 1ОВ 109 Йг 1' — = — Р(1г — 1и). Йт ср й~ У вЂ” = — — Г (Ь вЂ” 1в) й рс (Ш.194) в1 м ф.РЗ/срУ; а = гдсрУ/Ф'г'. или 4=Се а/ (П1.196) а = тсрУ/Г, $$ Рис. П1.10. Зависимость козффвцвевта 0 от критерва В1 Рис. П1.яв.

Зависимость темпа оклавдаввл м от козффициевта тавлоотдачи а 110 Правую же часть выражены (П1.191) па осиоваиии теоремы Ост- роградского-Гаусса и условия (П1.190) приведем к виду / д1~ а Йт (бган 4) ИУ = а ~1— Вв!а=э Р ( „, -1 )~~ = - — ц~(1г-1 ) (111.193) рс рс где а — средний по площади коэффициент теплоотдэ,чи; $г — средняя температура по поверхности. Таким образом, из уравнений (П1.192) и (Ш.193), принимая 1г = 1г, имеем — = -тб, (П1.195) й где пз = ИХ/рсУ; Э = 1т — 1в.

Общий интеграл уравнения (П1.195) Следовательно, и в рассматриваемом случае (для средних температур и коэффициентов теплоотдачи) имеет место экспонеипиальный регулярный режим. Параметр вз является темпом изменения во времени средней по объему температуры. Таким образом, для иахождеиия среднего по поверхности тела козффидиеита теплоотдачи а при малом числе Био (В1 < 1) следует пользоваться выражением где темп пз определяют способом, описанным выше. Такой метод получения среднего значения коэффипиевта теплоотдачи на поверхности тела применим только при небольших температурных иапорах, когда теплофизические параметры жидкости и тела можно считать постояипыми.

Использоваиие регулярного режима для определения в лабораторных условиях коэффициента теплоотдачи при внешнем обтекании тела ограничено невысоким зпачением этого козффипиента. Действительно, если припять в качестве исходных параметров б < 0,025м, "Л < ЗЗОВт/(и К); Вй < 0,1, то а < 0,1 330/0,025 в 1300Вт/(мз К).

В общем случае, когда 1г ~ 1г, уравнение (1П.199) принимает вид Вводя коэффициент ф = 1г/1г и считая его постоянным по вре- мени, получаем Коэффипиент ф пазывается критерием неравномерности температурного поля и его зпаченяе зависит от формы тела и числа В1, На рис. П1.19 показана зависимость ф от числа В1 для шара. При В1 -+ ао ~6 -+ О,и распределение температур в теле равномерное. Неравномерное распределение темдератур наблюдается при ф- О. при граничных условиях (1П.198) (П1.202) д1 дгг = а дт дхг (П1.197) 113 На рис.

П1.20 показана зависимость темпа охлаждения ти от коэффициента теплоотдачи о. При а -~ оо значение ш становится прямо пропорционально температуропроводности тела (первэл теорема Кондратьева): Коэффициент пропорциональности й зависит лишь от формы и размеров тела. Например, для шара и = йг/яг, 1П.9. Периодические тепловые процессы В технике встречается ряц устройств, в которых повторение рабочего никла сопровождается пебиодическим процессом тепло- обмена, т.е.

имеет место периодическое изменение температурного поля, назваемое гвеолоаььми валаама, Примером такого процесса может служить изменение температуры в элементах конструкции двигателей внутреннего сгорания, регенераторов, в элементах зданий, подвергающихся периодическому воздействию солнечной радиапии и т.п. В этих случаях закон изменения температурного поля не зависит от начального состояния системы, а определяется некоторой периодической функцией времени.

Решение дифференпиального уравнения теплопроводности может быть осуществлено методом разделения переменных при условии, что функпия р(т), зависящая от времени, должна быть периодической. Такому условию удовлетворяет зкспоненциальнал функция от мнимого аргумента ~р(т) = е'ЬРО (1 = ~/ — 1), которал также справедлива и для дифференпиального уравнения теплопроводности. В качестве примера решения задачи с периодически меняюшимся температурным полем рассмотрим полубесконечное твердое тело, температура поверхности которого периодически изменяется во времени.

Задача сводится к решению уравнения 1т=Дт) прн х=О; 1ф оо прн х-~ оо. Если решение искать в виде $ = ~р(т) ф(х), (П1.199) то в результате приходим к двум дифференциальным уравнениям ~р'(т) — (кй) а ~р(т) = 0; фа(х) — (~1х) Ф(х) = О, (Ш.200) из решения которых получаем С е~ Ьете+с4 /Б'. (П1.201) Это выражение представляет собой четыре частных решения, которые (с учетом того, что з/-Т = ~(1+ в)1/172) имеют вид ~,=с, р~-у- + р — у-,)]. гг = Сг ехр -у — х — 1 ~йат — ~( — х~ 11 = Сз ехр у — х + 1 ~йат — 1~ — х) . ц=с, р[~- — (ю -7-,)]. Из этих частных решений два последних не удовлетворяют физическим условиям задачи, так как температура не должна возрастать бесконечно с ростом х.

Таким образом, решения 11 и 14 должны быть отброшены, а оставшиеся 11 и гг дают в сумме частное решение вида ~=.-'/1'[с,.'~~ -ля >~с,.-'(~ -4ег ~1 ~шюз) $ 2хат — — ~ — х ж 2ииг. ЧатО (П1.211) то 1 / то тввх = гг' + 1,1 а 2 у' ахп (П1.212) (П1.207) 6 = 2~/Бч7 . (1П.213) (П1.209) 1 = $егвх сов(2хпт/то), 11В 114 илн, переходя к тригонометрическим функпням, ю = " Л* [А (Й - ~ - ) +В $ ~й — г - )], оп.204) где постоянные А, В и й определяются из граничных условии. Так как функдия гст = /(т) является периодической, то ее можно выразить рядом Фурье: Прн х = О уравнение (П1.204) принимает вид 1 о = А сов(йат) + В вт(хат), (Ш 206) Из сравнения выражений (П1,205) и (П1.206) следует А = а„; В = Ь„; й = 2ха/ато.

Постоянный член ао/2 в уравнении (П1.205), представляющий собой среднее значение колеблющейся температуры прн х = О, не дходит в решение (Ш.204), поскольку отражает начальную неравномерность в момент времени т = О. Таким образом, для достаточно большого значения т решение (П1.204) будет следующим: 1 =,) )е У вгв ~ая сов( — т — ~ — и)+ ~ то ~/ ато в~1 Ч-Ь й ( — — д — *)~. ~ХП.1ОВ) гйхаг Яв то ~( ато Для более простого случая, если рассматривать колебания температуры поверхности около среднего значения по закону решение (П1.208) сводится к выражению —;/Фв г 2х г /ха 1 = ггввх е т» сов~ — — ( — х~, (П1 210) го у' ато где 1вгвх — максимальное абсолютное значение температуры поверхности (макснмвльнел амплитуда).

Максимальное значение температуры имеет место при сов 2ииг = +1, т.е. при гтг = О, 1, 2, 3,..., илн Момент времени, при котором температура достигает максимального значения, Отсюда следует, что колебания температуры имеют один и тот же период то/а, однако на расстоянии х от поверхности они за- 1 паздывают по фазе на -~ — х и, кроме того, амплитуда коле- 2 у' ахи баний уменьшается нз-за наличия множителя ехр -~ — х!.

ате Длину тепловой волны можно определить, приравняв период колебаний температуры нх запаздыванию по фазе: Определив значение градиента температуры на поверхности тела /ха . г'2хат из = — /2 ( — в1п~ — — -), (Ш.214) 'у ато '1, то 4) ' находим тепловой поток через поверхность тела по формуле (П1.215) а = -лк — 4 . Интегрирование градиента температуры за полный период тает нулевое значение теплового потока, за полупериод же имеем 2„ ззв П1.10. Числеииые методы решения задач теплопроводиости Как уже было показано, в простейших случаях решение уравнения теплопроводности может быть получено точными аналитическими методами.

Однако для многих задач теплопроводностн, встречающихся в современной технике, эти методы оказываются неприемлемыми. Например, если неограниченная плоскэл стенка с обеих сторон омывается потоком нагретого газа с переменной (по времени) температурой и коэффипиентом тепло- отдачи, аналитическое решение этой сравнительно простой задачи, связанной с определением температурного поля в стенке, в общем случае затруднено. Кроме того, полученное решение оказывается настолько громоздким, что без последующего программирования> расчета на ЭВМ и составления таблип или построения номограмм оказывается малопригодным для технических приложений.