Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 14

Схема рас- сягю$т3кзы нолежюп ма узаоп Например, если необходимо вычислить температурное поле в неограниченной плоской степке (рнс. Ш.23), состоящей из слоя теплоизоляпии и тонкого металлического слоя, при переменных граничных условиях П1 рода, то система неявных разностных уравнений может быть записана в следующем виде: Т~+ — Т" + — (Т,"' — Т1'+')); (П1.227) (Тз Тз )/~1' = х (Тз — 2Тз+ + Т1+ )/(Ьх)з; (1П.228) (Тз — Тз )/Мт = х (Тз+ — 2Тз+ + Тз+ )/(~Ъх)з; (П1.229) Тй — Тп 2 ~ А я+1 Й+1 Й Ьт срыЬх ~Ах (Т -Т 1+ + аз+ (Тм+1 — 'Г~+1 ), (П1.230) где а1 и Т, соответственно козффипиент теплоотдачи и температура среды (жидкости илп газа) со стороны слоя теплоизоляпни, а аз и Тм, — коэффициент теплоотдачи и температура среды со стороны металлического слоя (законы изменения а1, Тм„аз и Тм со временем заданы анаянтически, графкческн или 2смбмрм~ табЛИЧНО); 1+; бм — тОЛЩнпа СЛОЯ ТЕДЛОИЗОЛЯПИИ (ВЕ- Орах личины с индексом "м" относятся к металлическому слою); в— число узлов.

Будем считать, что распределение температур в стенке в начальный момент времени задано. Разностные уравнения (1П.227), (П1.230), соответствующие граничным узлам сетки, составлены исходя из условий теплового баланса [см. уравнение (П1.228)). При составлении балансового уравнения (П1.230) к узлу и относилн массу слоя изоляпии толщиной 4х/2 и массу металлического слоя толщиной бм.

Полагал, что не требуется высокой точности, для простоты разбиваем стенку на четыре узла 1-б (см. рис. П1.23). Кроме того, будем считать, что для тонкого металлического слоя выполняется условие В1 = азбм/й ( О, 1 и, следовательно, Тз ~ Т4 (см. точное решение задачи несталионарной теплопроводностн для неограниченной плоской стенки с снмметричнымн граничными условиями П1 рода). Таким образом, разностные уравнения нужно составить только для узлов 1, й и Ю. Приводя систему (П1.227)-(П1.230) к виду (П1.223) н учитывая, что в = 3, получаем 1ЗО 1З1 —2ЬЬ Т»+ + (1 + 2Ьр1) Т1+ = Т1 + 2Ь(~1' — ЬЬТз + (1+ 2ЬЬ) Т2 ЙЬТ1 Тз ' р2~1Т~~~- — Т =Т, + — 92, 2Ь ~ 2ЬЬ » 1 » 2Ь ) з где Ь = А/Дх; Ь ке йт/ер «ах; р1 = а1+Ь; Я1 = а1 Т~~ рз — а2+Ь Яз = азТиз. Из полученных уравнений определяем коэффициенты А;, В;, С;, Ю; (табл. П1.1).

Теолнва Ш.г. Зиачеиии ионффицинитов в уравнении (111,222) По формулам (П1.226) находим коэффициенты Е; и Р; с первого по послецний: Тз +ЬЬг1 Е 1+ ЙЬ(2- Е1)' В обратном порядке вычисляем неизвестные температуры Т + Т + и Т + в узлах сетки для (Ь+1)-го момента времени: 3 ' 2' 1 Т»+1 = Ез,' Т»+1 гл Е2Тз»+1+ Гз; Т»+ = Е Т»+ + Г1. з Эти однотипные операции выполняем для каждого последующего шага (слоя) по времени до тех пор, пока не будут вычислены температуры в узлах сетки в заданный момент времени. гЬЬ Т» + 2ЬЧ1 Е1 гл —, У1 се 1+ 2Ьр1 ' 1+ 2Ьр1 1 ЙЬ 1+ ЬЬ(2 — Е1)' 2Ь Тз+ — (Яз+ ЬЕ2) рз = 1+ — (рз — ЬЕ2) Так же как н в явных схемах, пви выполнении первого шага по времени значения температур Т1, Т2 и Тз, входящих в Ю;, опре»» деляют нз начальных условий.

При выполнении последующих шагов значения температур с верхним индексом Й берут с предыдущего слоя по времени. Этот эффективный метод, известный дод названием метода ризностной факторизадии илн прогонки«), устойчивый относительно погрешностей округления, применим и при численном решении двумерных задач теплопроводности по неявным схемам.

Однако это возможно лишь при условии, что каждое разностное уравнение будет содержать не более трех неизвестных функций, т.е, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, окажется трехдиагональной. Таким требованиям удовлетворяет рвзностиая схема переменных нелравленнй: Т / — Т» Т / — 2Т / +Т. «,у «',у 1 «+1 у Ьу + «-1,1 Ьт 2 (Ьх)2 Т» 1 — 2Т," +Т» + м м м; (Ш.231) Ру)2 Т.'+' — Т'+'/' 1 Т'+'(' — ТТ»+'/'+ Т*.+'(' з,у в,у 1 «+1,1 «,у 1 — 12 1.'Зт 2 (1) х)2 Т»+ 2Т»+1 + Т»+1 + "У "~ "У ~. (П1.232) () у)2 В ней вторые производные в последовательные моменты времени, с шагом Ьт/2, поочередно аппроксимируются явным и неявным способами.

Она абсолютно устойчива. Погрешность аппроксимации схемы пропорциональна г)«т, (Ьх)2 и (г1у)~. Пля решения системы уравнений (П1.231), (П1.232) методом прогонки каждое из рлзностных уравнений предварительно следует привести к виду (Ш.223). После этого в левой части уравнения (П1.231) будут стоять три неизвестные температуры Т,+1 »+1/2 «) Метод вроговкв является частным случаем осевого метода решения светам лкнейвых алгебраических уравнений (метода исклгоченвя Гаусса) 132 Т ' н х ' с соответствующими постоянными козффнпи- .1; 1' с ентамн. В левой части уравнения (1П.232) неизвестными будут Т~+1 з Т"+1 и Т~+1 . 1,/+1з 1,1 югу-1' Решение системы конечно-резностных уравнений требует большого колкчества однотипных операппй и, как правило, должно выполняться с помощью ЭВМ.

Тру1юемкость вычислительных операпий зависит не только от выбранного числа узлов пространственной сетки, но и от принятого при расчете шага по времени Ьт и величины расчетного промежутка времени, для которого предстоит вычислить значения температур. В неявных абсолютно устойчивых разностпых схемах рассмотренного типа допустимый шаг по времени выбирают только из соображений требуемой точности. Показало, что сложные многомерные задачи в пропессе разностного решения можно заменить последовательностью более простых одномерных задач. Например, в случае трехмерной зз дачи теплопроводности предложенный русскими математиками метод расщепления (или метод дробных шагов) приводит к следующей безусловно устойчивой локально-одномерной схеме: 6+1/3 6 Тз+1/3,~„6+1/3 Ть+1/3 г з,.г,г',- г;г +, г г е Ьг 3 (11я)2 зззгз ззгзз,ззз~з ззг~з зз/з гз г г цзг,г З;г йт 3 (~Г)2 Тз+1 Тз+2/3 ТЬ+1 2ТЬ+1 + Ть+1 1,/,1 1„/,1 1 1„~',1+1 1,/,1 1,/,1-1 бзг 3 (Ья) Здесь в каждом из разиостных уравнений члены, аппроксимирующие вторые производные по двум вз координат, полностью опушены, причем при каждом решении системы разностных уравнений продвюкение по времени происходит на 1/3 временного шага.

Благодаря такому подходу зффективный метод прогонки становится применимым и дрн решении многомерных задач. 01МЕН810Н Т(100), Е(99), Г(99) "ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ" ГОПМАТ (14, зГ13.бз 14, 9Г13.6, 14) ГОЙМАТ (бГ13.6) ГОПМАТ (Г13.6) ДЕАО 12, НМ, В, ВМ, ТР, ТЕ, Р, ТМ, РМ, К, А, К, АК, ВК, ЕИ, С, ~ О, СК, ОК, М НЕАО 18, ОХ, ХК, ХР, ОХР, ТН 6 ОО141=1,К Т(1)=ТН 14 СОНТ1НУЕ РЫНТ 12, НМ, В, ВМ, ТР, ТЕ, Р, ТМ, РМ, К, А, Д, АК, ВК, ЕН, ~С,О,СК,ОК,М РД1НТ 18, ОХ, ХК, ХР, ОХР, ТН Иият 1, (Т(Ц, 1=1, К) В=В/(К-1) Н=ОХ/(ТЕ" Р'Я) О=ТР/6 0=1.+(2.*ТМ~РМ~ВМ)/(ТЕ~РАЗ) Н2=2.~Н НС=Н2/О А1=0з'Н2 А2=1з~Н В2=1.+1з ~Н2 С2=0еН ОД=НО*У Х=б. б 1Г(Х-ХК+ОХ-1.0Е-б) 2, 2, 3 2 Х-Х+ОХ В1=1 +Нза(АКех+ВК+0) С 12 18 1 В заключение приведем программу численного решения задачи нестаппонарной теплопроводпости для неограниченной плоской металлической стенки, покрытой слоем тепловой изоляции, с переменными граничными условиями П1 рода (задача решается по неявной абсолютно устойчивой конечно-разностной схеме): 164 166 ВИ=1.+НОе(СКех+ВК+Н) В1=Т(1)+Нзе(АКех+ВК)е(АехееЕМ+В) ВН=Т(К)+НОе(СКеХ+ВК)е(СехееМ+11) Е(1)=А1/В1 Г(1)=111/В1 М=К-1 110 10 1ыз,М Е(1) ыА2/(В2-СзеЕ(1-1)) Г(1)=(Т(1)+С2еГ(1-1))/(В2-СзеЕ(1-1)) 10 СОМТ1МБЕ Т(К)ы(11И+СНеГ(К-1))/(ВВ СВеЕ(К-1)) Ь=К-1 11 1Г(Ь-1) 9, 6, В В Т(1.)=Е(Ь)*Т(1,+1)+Г(Ь) Ь=Ь-1 ОСТО 11 9 1Г(Х-ХР+1.0Е-6) 5, 7, 7 7 РН1МТ), Х РН1МТ 1, (Т(1), 1=1,К) Хрыхр+ВХР ОО ТО 9 3 ВТОР ЕМВ Прелеченне.

переменные с индексами (одномерные масснвы): Т(1) — температура, Е(!), Г(1) — комрфкциеиты прогонки Алгоритм численного решения этой задачн в качестве примера был рассмотрен выше. Программа составлена на уннверсальном алгоритмическом языке Фортран. Перечень ндентнфнкаторов приведен в табл. П1,2. Для расчета нескольких вариантов можно использовать вычнсляемый оператор СО ТО. Например, вместо последних двух строк программы можно поместить 3 ХР=1. ММ=ММ+1 ОО ТО (13, 13, 13, 15, 16, 17), ММ К=ЗВ ОХ=1. СО ТО б Кы49 ВХьза,1 ОО ТО б К=59 Ох=а,а1 СО ТО б ВТОР ЕМО 1З 15 15 Прн этом предполагается, что в начале счета ХМ=2. Наименование н единнца измерения (см. рнс. НЬ22) Обозначение Идентифнкатор Номер варианта расчета Толщина теплокзоляцкокиого В ВМ покрмтня, м Тоящкиа металлического слоя, м Физические свойства зе теплоизоляционного слоя: теплопроводиосгь, Вт/(м.

К) удельная теплоемкость, Лм/(кг. К) плотность, кг/мз Физическке свойства ТР ТЕ Р металлического слом удельная тенлоемкость, Лм/(кг.К) плотность, кг/и Число узлов резностяой сетки Температура мидкой нли газообраэнов среды со стороны покрытия, К т,= +Ь ь ТМ РМ К е,Ь А,Н Таблице 1ЬЬЯ. Условные обозкачецця ц идентификаторы зяг Окончание табл. 1Ксз Идеитификатор Обозвачевие Наимекоиаике к единица измерения см. рис. 111.22 АК, ВК аы зг с,б СК, РК ЕН, М ПХ ХК ПХР ХР се, бг а, нз Ьг Гагат Гена ° ТН 7зт 139 Козффвциеит теплоотдачи со стороны покрытия, Вт/(мз К) аг = еег+ бз Температура среды со егоровы металлического слоя, К Ткз сг +н Козффкввевт теплоотдаче со егоровы металлического сяоя, Вт/(мз К) аз т сзг+ Ые Показатели отвлеки Шаг по времеки, с Ковечкыв момект времеви, с Шаг печати Время качала печати Температура степки з вачалькыя момент времеви, К Таблииа Ш.З.

Влипшее шага по коордшяата (Дг = О, 01 с) Принечание. Здесь и з табл. П1.4 Ты Тз — температуры позеряиостея ил асти вы. В табл. П1.3, П1.4 цриводптся краткая ппфорыация, характеризующая влияние параметров копечпо-ризпостпой аппроксимации па точность расчета. Результаты численного решения, Таблица Ш.4. Влмюпзе пгвга по времеви (число узкое К 69) полученного па ЭВМ по данной программе для одпослойиой пластины при постоянных граничных условиях, сравниваются в ппх с существующими точными аналитическими решениями, При расчете было принято: В!1 = а16/Л = 50; В11 = азо/Л = 0; Ро = от/Юз = Оз 04021 бм = 01 7м1 = 1000 К1 Ткач = 290 К.

Ш.11. Исследование процессов теплопроводиости методом аналогии При различных условиях процесс теплопроводпости в твердых телах может описываться уравнением теплопроводпости Фурье, уравнением Лапласа или уравнением Пуассона. Этими же дифференциальными урплпепиямп описываются п некоторые другие физические явления. Различные по своему физическому содержанию явления, математическое описание которых совпадает, црипято называть аналогичными. Такая аналогия существует, например, между явлениями теплопроводпости и злектропроводпости, теплопроводности п диффузии.

Поверхность находящейся под давлепиая тонкой мембраны описывается тем же дифферепциальпым уравнением, что и температурное поле в некоторой области с равномерно распределеппымп источпикамп теплоты. Известно, что как функция тока в установившемся потенциальном потоке иевязкой жидкости, так и функция теплового потока в стаппопарпом температурном поле при определеппых условиях удовлетворяют одному п тому же уравнению Лапласа. ди аХ = -а — аГ„.

дпз ~Ц = -Л вЂ” а'г'; дТ дп (П1.233) дзпх — — — — + — ~; (1П.234) дт /дзт — =а~ — + дт ~дх2 — = -уайТ; ЬТ Л/а дТ ~Ц = с — ат; дт Ьп — = -йгайп; 1 ди ЙТ = с — йт,. 'д, (П1.235) (П1.236) 3 сЦ НХ вЂ” соответственно элементарные потоки теплодесь Я и ийК ты и электричества в единицу времени через площадки а'.г' и В настоящее время метод физической аналогии широко используется для решения задач как стационарнон, так и нестацнонарной теплопроводности. Это связано с тем, что во многих случаях экспериментальное исследование аналогичных явлений оказывается более простым по сравнению с непосредственным исследованием тепловых явлений.