Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 17

йи~ Рху=тхх=р з1Р Коэффициент пропорциональности и носят название динамической вязкости и измеряется в паскалях в секунду (Па с). Кинематнческой вязкостью и называется отношение ~и/р, измеряется она в квадратных метрах в секунду (му/с). Дннамическвл н к~нематнческвл вязкости являются физическими параметрами жидкости и зависят от температуры и давления. (1У.41) Это уравнение векторное и в проекциях записывается в виде трех уравнений: Г д д д д ~ Р( +н>х +хо +У>з ~>ох= ~,дт дх " др дх,/ дрхх друз дрзх, =РМ + — + — + —; д* ду дх ' /д д д д1 , ~ — +-. — +-„— +-,— ~-„= У 40 =РМ + — + — к+— дРху дРу др,у дх ду дх ' гд д д д~ Р ~ — +юз — +зеу — +зхз — (зхз = ~д дх ду дх( = РМ.

+ — + — "-+— др * др з друз дх ду дх ' которые содержат 12 неизвестных: трн компоненты вектора скорости (е>х, зоу, ю,) и девять компонент тензора напряжения (Рхз. Рху> Рхз> Рух> Руу> Руз> Рзх> Рзу> Рзз ) При движении вязкой жидкости в потоке действуют нормальное напряжение и напряжение сдвига. Нормальное напряжение обусловливается силами давления, а напряжение сцвига вызывается трением между слоями жидкости, движущимися с различной скоростью. В соответствии,с гипотезой Ньютона касательное напряжение (напряжение сдвига) в плоском потоке вязкой жидкости связано с производной от скорости по нормали к направлению потока простым соотношением Динамическая вязкость в основном зависит от температурм. Для капельных жидкостей динамическая вязкость убывает с повышением температуры, а для газов- возрастает.

Динамическая вязкость газа в зависимости от температуры достаточно удовлетворительно описывается формулой Сазерлен- да С Ъ . Т+ 114' в частности, для воздуха (1У.42) ТЪ Т+ 114 и = 14,65 (1Ч.43) Для практических расчетов можно использовать степенную зх висимость М,ио = (ПТе) (1Ч.44) /дю; дзо 1 и — + — при,у ф з; ~дх дз; ~ (1Ч.45) Р>1 = дн» вЂ” Р+ 2и — ' при у' = 1. дх; Здесь р — давление жидкости в любой точке потока; координаты х, Р, х обозначены через х; (1 = 1, 2, 3) соответственно. Жидкость, подчиняющаяся закону Ньютона, называется ньютоновской жионостью.

Уравнение движения ньютоновской жидкости в векторной форме имеет внд 1уй7 + 2 Р)~ = у Р+ 2ЙЬ(Ф) — бган (Р+ -Рйч е7). (1Ч.46) где и зависит от природы газа и его температуры. В диапазоне температур 300 — 2000 К можно принять н = 0,75. Обобщенный закон Ньютона представляет линейную зависимость напряжений от скорости деформапии и может быть записан в следующем виде: 1вв 1вт 1 Гдвв дв,'1 — ~ — + — ~; (1Ч.47) 2~ д» ду~' двв ду' 1 двх дву 1 двй два~„ В проекпиях на прямоугольную систему координат векторное уравнение (1Ч.46) запишется в виде трех уравнений, которые называются уравнениями Навье-Стокса: + р + — (р61™)+д*р' дх ~ ~ дх дх Я 3 дх + ~ ~ в+ »~1 — (р61„у)+ ,~1, / д.

)~ дх ~ дх ~ 3 д. Зля нзотермического течения несжимаемой жидкости (р = сопвФ) и (р = сопвС) р — = й~р — йгабр+ р~7 Ю РФ 3 Рт (1Ч.49) Здесь Рв17Рт — вектор с проекциями Рв»7Рт, Рвв(Рт, Рв»7Рт; Я вЂ” тензоР скоРостей дефоРмаций, компонентами ко- торого являются В проекдиях на прямоугольные осн координат будем яметь 1 Р 1 Р 1 Р Проекция уравнения движения на ось Ох в цилиндрических координатах запишется в виде < д д д д~ — +в — +в — + — — в дт д ' д ду) 1 др /дзвв 1 два'1 = у„— — — + и ~ — в + — — ~.

(1Ч.51) рдх ~,дтз т дт/' Система уравнений (1Ч.50) и (1Ч,26) является замкнутой, так как состоят из четырех уравнений и содержит четыре неязвестных: р, вх, вю вх. В том случае, когда плотность жидкости переменна и зависит от температуры, к уравненням неразрывности и движения добавляются уравнение энергии и уравнение состояния, которые составляют замкнутую систему из шести уравнений с шестью неизвестными. Когда процессы конвективного теплообмена сопровождаются пропессами диффузии, плотность жидкости зависит как от температуры, так и от концентрация компонент смеси.

Для решения подобных задач к исходной системе уравнения (1Ч.13), (1Ч.26), (1Ч.50) необходнмо добавить уравнение диффузии компонент. Ли1рв еренциальное уравнение переноса массы рассмотрим перенос массы данного вещества с плотностью рв в движущейся среде. Лопустим, что в выделенном конечном объеме действуют источники или стоки данного вещества интенсивностью ут (коли» честно вещества, выделяемое (поглощаемое) в единицу времени в единипе объема). < д д д — +⻠— + в— дт дх "ду д д д — +вх — + в»в дт дх ду ( д д д — +вв — + в дт дх яду д~ +"'д~ * ' дх,~ д1 + вх — вв=ув д~ + вх д ) в»=ух — + и~7 вх; др дх — + и~7 вв, (1Ч.50) др з ду — +и17 в,, др з дх гвв ~ — + йч у йе — ур й1У = О. (1Ч.54) / дрй 'й, дг й Так как выбранный объем У произволен, а все характеристика процесса являются непрерывными функпнямя координат и времени, то др, — +61ч уй~ — у, =0.

дг й (1Ч.55) Суммарный поток вещества можно представить в виде суммы молекулярного и конвектквного переносов: (1Ч.56) Молекулярный перенос массы происходит под действием химического потенциала ~7йй и градиента температуры ~7Т. Для бинарной смеси можно записать (1Ч.57) 7й„= -К1 ~71йй — Кзт7Т, где К1 и Кз — постоянные коэффициенты. Тогда во всем объеме У в единицу времени будет образовываться количество вещества, равное ур ЫУ. Часть вещества, проходящая через поверхность Я, ограничивающую выбранный объем, с учетом формулы Гаусса-Остроградского равна ( 1'внут) = ~й. ю,ас', (1Ч.53) Я где 7 йт.

— суммарный поток вещества, переносимый молекулярной диффузией и конвекцией. Урввнение баланса вещества для выделенного объема имеет вид В общем случае градиент химического потенпиала й-го компонента равен Рййй = — ~ %'рй + — ~ ЧТ+ — ~ ~7р, (1Ч.58) р,т Рй7 где р = рй/р. Введем следующие обозначения для козффнциента диффузии, термодиффузнонного козффициента и бародиффузнаиного отношения соответственно: РйХ Тогда будем иметь 7й. = -рП ~ЧЬ+(Кт!Т) 7Т+(Кр!р) 7р1. (1Ч.56) Первый член в правой части зтого уравнения характеризует молекулярный перенос массы й-го компонента под действием градкента концентраций (закон диффузии Фнка), второй определяет перенос массы вследствие термодиффузик (зффект Соре), а третий характеризует бародиффузию (диффузию массы под влиянием градиента общего давления).

В большинстве случаев термодиффузией и бародиффузней можно пренебречь и ограничиться законом Фика 7ййй = рФ ~Ь (1Ч.60) Диффузионный перенос массы в многокомпонентных смесях достаточно сложен. Если какая-либо газовал смесь состоит из двух групп компонентов примерно одинаковой относительной атомной нли относительной молекулярной массы, то гвз можно 1вв заменить зффективной бинарной смесью„ для которой применим закон Фина. С учетом уравнений (1Ч.54), (1Ч.56) и (1Ч.60) получаем дифференпкальное уравнение диффузии Й-го компонента р — + (р п$>йгвй р») = РП Ч~р»+ ать, (1Ч.61) которое в декартовых и в цилиндрических координатах будет соответственно следующим: др» Ф» Щ др» Р + Ри>в + Ри>з + Ри>в дт дг " ду дг = РЮ ~ — + — + — ) + ут ', (1Ч.62) ~д'р» дзр» д у»~ др» др» 1 д( А) Р + Ри>в + Р'от дт дг т дт =РЮ~ — + — — ~.

(1Ч.6З) Гдз р» 1 д'(тяМ ~ дхз т дтз Уравнение диффузии типа (1Ч.61) следует записать для каждого компонента смеси. Обпме количество уравнений диффузии на единицу меньше числа компонент смеси> так как для массовых долей компонент смеси имеется еще одно дополнительное условие (1Ч.64) »=1 В частности, для смеси двух газов (бинарной смеси) достаточно к исходной системе уравнений добавкть одно уравнение диффузии для какой-либо компоненты смеси. Сисгпела уравнений для гпурбуленгпного движения жидноснзи Из гндродинамики известно, что существуют два режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном нзеиении частипы жидкости следуют в потоке по вполне определенным главным траекториям, все время сохраняя движение в направлении вектора средней скорости потока, а возникающие в потоке случайные нерегулярности не развиваются, а гаснут.

Прн нзурбулензгвном вменении в потоке возникают пульсадии скорости, отдельные объемы жидкости начинают двигаться поперек потока, причем зтн объемы сушвствепно больше тех, к которым можно применить понятие днфференпиального объема сплошной среды. Следовательно, общие уравнения гндродинамики применимы и к турбулентному течению. Турбулентное течение, строго говоря, является нестапионарным, однако если осредненные по времени скорости не изменяются или изменяются медленно, то действительную скорость можно представить в виде суммы (1Ч.65) где ву — вектор осредненной скорости в данной точке; «' — вектор пульсапионной составляющей истинной скорости, дающий отклонение скорости по величине к направлению от осредненного значения.

Величина осредненной скорости потока и данной точке определяется кнтегралом 1 Е Ф = — / и>ат> д>т 1 где промежуток времени Ьт должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсапий, но в то же время достаточно малым по сравнению с каким-либо характерным для осреднеииого движения интервалом времени, чтобы учесть возможные измененкя средней скорости до времени.

Тогда, естественно, (1Ч.бт) 163 1ЕВ поскольку за период Ьт все пульсационные составляющие скорости взаимно компенсируются. Пульсации скорости в турбулентном потоке вызывают пульсации давления, температуры, конпентрации и т.п. Лля вывода уравнений осредненного движения турбулентного потока, следуя Рейнольдсу, примем следующие правила осредненпя: 1 1 / 1)если ф= — ! рот, то ф= — ~ фут= щ ~1т/ ' Ьт/ Ь~ 2) ГФ=1РФ' 3) Фет=О, ~р йзпУ вЂ” — + и — + — (-Резин) ж О. ~Ь пуз яр Введем понятие турбулентного касательного напряжения: (%.69) Из уравнений видно, что пульсации скорости вызывают появление новых членов, стоящих в квадратных скобках, аналогичных по смыслу членам вязкого трения, Эти члены называются «зррбрле««з«ыез««а«рл«се««нм«н характеризуют дополнительный перенос количества движения молярными объемамн жидкости, перемещающимися вследствие пульсапнй скорости, В частности, для плоского установившегося турбулентного потока, когда скорость Ж вЂ” функция только поперечной координаты р, из уравнений (1У.68) имеем Юуй, др р — =- — +РЕМУ 16,+ Ют дг д + ~ — (-РМ+ — (-Рея е) + — (-Р6Ж ~дг " ду дг Ю а~я др Р— ~ — — +Р~1 юя+ Ют др (д + ~ — (-Ф %я)+ — (-~ )+ — (-Р9%) ' 1дг др и дг Ю76, др Р— =РР- — +РЧЪ,+ Ют др 1д д д + ~ — (-Ф %)+ — (-Р% .)+ — (-Ре,))' ~дг др дг — + — а+ — = О.

доз ~® дчрз дг др дг (1У,68) где Ф вЂ” пульсапианиал составляющая ~Р. Подставляя в уравнения Навьс-Стокса истинные значения скорости в соответствии с (1У.66) и применяя правила осрщ~- непия Рейнольдса для случая течения несжимаемой жидкости, получаем (1'т' 70) 'гт ~ -Регия ~ Ртйп/ду> тогда выражение для суммарных касательных напряжений = (и+Р ) 7Ф/6р. (%.71) Величина Рт называетсЯ тУРбУлентной вЯзкостью. В отличие от вязкости Р турбулентная вязкость не является физическим паРаметРом. В Развитом тУРбУлентном потоке Рт > Р. В неизотермическом турбулентном потоке пульсации скоростей вызывают пульсации температур н (17.72) (1У.73) — = а%' Т+дь /(с„р)+Йт(-$~9).