Теория тепломассобмена (Леонтьев)

Рис. 1,1. К опрояелоиию граяк- еита температуры к формули- роояе заяока Фурье По оцределепию дг-.~ й-р дгдгаб1= — 3 + — у' + — Й э дя. ду дз (1.2) ф ы (-И) — —. Щ 1 ег о е = -Лйгабг, (1.4) Р а з д ел и е р в ы й. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Г л а в а 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1.1. Температурное поле, градиент температуры н закон Фурье Темпервпзурным полем тела (или системы тел) называется совокупность значений температуры, взятая по его объему в любой рассматриваемый момент времени. Математически поле температур может быть выражено в форме уравнения г'(1, я, у, з, т) = О. В инженерной практике приходится иметь дело как с песпищпопарпым, так и со спз~щеопарпььм температурными полями. Первое из этих полей меняется по пространству и времени, а второе является фупкпией только координат.

Температурное поле обладает всеми свойствами непрерывного скалярного поля. Изменение температурного поля по пространству наблюдается лишь в направлениях, дересекающих поверхности одинаковой температуры (изотермические поверхности); причем наиболее резкое изменение имеет место в направлении иормали к иэотермической поверхиости (рис. 1.1). Предел 1з1 д1 Нш — =% — = ягабс да-ео Ьп дп называется в теории теплообмепа градиептом тпемперепзрры, где й — единичный вектор нормали; и — нормаль к изотермической поверхности.

Градиеит температуры представляет собой вектор, направленный ао нормали к изотермической поверхности и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. где 1, у, и — единичные векторы. Количество теплоты> проходящей в едипкцу времени т, отиесеппое к единице плошади изотермической поверхности Я, называется плотпостью теплового потока й и является вектором, направление которого противоположно температурному градиенту (см.

рис. 1.1): Проекция вектора е па любое падравлепие 1 есть вектор ф, скалярная величина которого равна е соя(п, 1). В начале Х1Х столетия была высказана гипотеза о прямой пропорппопальпости вектора теплового потока градиенту температуры; которая носит название закона Фурье. Знак минус указывает па то, что векторы плотности теплового потока и градиента температур, в соответствии со П законом термодинамики, направлены в противоположные стороны, а множитель пропорциональности Л рассматривается как иекоторая физическая характеристика, именуемая теплопроводпостью. Кроме того, отметим, что производная температуры по направлению 1 определяется через производные температуры по декартовым координатам формулой й д1 — = — соз(г, 1) + — соз(у, 1) + — соз(г, 1), (1.5) д1 дг й дг ' ду ' дг где соз(г, 1), соз(у, 1) и соз(г, 1) — косинусы углов между направлением 1 и координатными осями ОХ, ОУ, ОЯ.

С учетом (1.4) закон Фурье (1.2) можно записать в вкде: (1.0) где НЯ = И' соз(н, 1) — элементарная площадка, перпендикуляр- нзл направлению 1. 1.2, Теплопроводность веществ Теплопроволность А в формуле (1.4) представляет собой коэффициент пропорциональности, чъя роль заключается в уравнивании размерностей в левой и правой частях уравнения (1.4). Измеряется теплопроводность в ваттах на метр-кельвин [Вт/(м К)]. Теылопроволность — это теплофизическая характеристика веществ. Лля различных веществ при одынаковых градиентах температуры, поверхностях Г и времени т количество проходящей через тело теплоты определяется только А.

Чем больше теплопроводность, тем выше будет способность вещества проводить теплоту, и наоборот. тругими словами, теплопроводность представляет собой теплофизический параметр, определяюпшй способность тел проводить теплоту. Для одного и того же материала теплопроводность изменяется в довольно широком диапазоне, причем характер изменения определяется многими факторами: температурой, количеством примесей, наличием влаги, давлением и т.п. Как правыло, зависимость А от вышеперечисленных факторов не поддается строгому аналитическому описанию, поэтому основным источником получения достоверных значений теплопроводности остается эксперимент.

д, ут/1» я) вуу Тенвонроводность мста лов и сплавов (рис.1.2) изменяется в диапазоне яу/уйгур 2...450 Вт/(м К). Самая большая теплопроводность уу/зйуу/ у серебра, наименьшая — у висмута. С увеличением югу уи температуры Л практически яв у всех чистых металлов с и уууу уменьшается. Исключение составляют кобальт, берил- ууу ув лий и некоторые другие ме- му ну/уй у 14/ Теплопровошюсть металлов, так же как н элек- йв тропроводность, определя- !уу Х в %1 ется в основном диффузией в1УУ ззз ~' свободных электронов.

уу ж/уйги/ Зависимость теплопро- и ан~н водности металлических гг сплавов от температуры, гуу у ууу вуу ууу ууу яыув г как это видно из рнс.1.2, имеет довольно сложный характер. Большое алия- Рнс. 1.в. Изменение теплопроние на значение Л оказыва- аокиести металлсе н их сильное ют примеси. Как правило е зависимости от темпепатУРы 1 даже ничтожное добавление ы чистому металлу других веществ ведет не только к резкому уменьшению его теплопроволности, но и к самому неожилалному изменению зависимости А от температуры. Теивонроводность жидкостей (рыс. 1.3) изменяется в диапазоне 0,06...0,7Вт/(м.К).

С ростом температуры теплопроволность у всех жидкостей, за исключением воды и глицерина, уменьшается. Тснвонроводность строитеаьныг и тсн юизоляиионныг материалов (рис.1.4) имеет значения 0,023...2,9Вт/(м К) и Возрастает с увеличением температуры. я, Ьг//««) Согласно кинетической теории, в которой гвз рассматривается как совокупность молекул, находящихся в беспрерывком хаотическом движении, теплопроводность определяется соотношением я Мзяг)!» «) тур л,Ьт г' « 6,6 «6 (1.7) Л ш 13Ест Ур/3, (6 В 266 666 666 666 В;С л.

ге? Ьг)! «) Ь й! Ь 66 66 )26 Ф, Рие. 1.4. Измаввиие таплопроводвоетв етроитальвзлх и теплоизоллпвоииых матерпалоаг ! — возвухг я- маверальаал шерсть; Ю вЂ” шлаковаз вата; ! — выоаель; 6 — совелит; 6-6 — икатомовый, краевый, шлакобетоааый, шамотвый караке соотаетствеиао Рие. 1.З, Измоввввв топлопроводиости ввкоторых изздкоетей в зависимости от температурыг ! — вазеливовое масло; Я вЂ” бевзол; 8- олегов; ! — касгорозое масло; 6 — зтамшый спирт; 6- метилгь вмй свврт; 7- глваерав; Ь- ища 26 6 яр 266 266 е66 Рве.

1.б. Зависимость теплопровоивоетв от температуры иекоторых газообразвых вошеетаг шшвой р; я-у ми газ; У- зозлук; 4 — ортов; 6 — кислород; 6 — азот ннтерполкпконная формула Л = Ла(Т/273) /з, 10 11 Как правило, у материалов с большой объемной плотностью теплопроводность выше; она также зависит от структуры материала, его пористости и влажности. Для влажных материалов теплопроводность значительно выше, чем для сухих и воды, взятых в отдельности. Материалы с низким значением теплопроводности [меньше 0,25 Вт/(м К)] наэыеазозпсл тпетмоиэоллцноннььшн. Теплопроеодмосгпь лазов (рис.1.5) довольно значительно увеличивается с ростом температуры.

Как правило, значения теплопроводности для газов колеблются примерно от 0,006 до 0,1Вт/(м.К). Ксключение составляют водород и гелий, теплопроводность которых в 5... 10 раз выше, чем у остальных газов. где ~й — средняя скорость перемшпення молекул; ! — средняя длина свободного пробега молекул; сг — теплоемкость; )гплотность. С увеличением давления проязведение ) р остается постоянным, поэтому теплопроводиость газов слабо зивискт от давления.

Исключение соств вляют очень малые (меньше 0,3 МПа) и очень большие (бояне 200 МПа) давления. Средняя скорость перемещения молекул зависит от температуры по формуле % = ~/3К«Т~~, следовательно, согласно элементарной кинетической теории газов, Л Те б. Более точные результаты дает где Ле — теплопроводность при Т = 273 К. Теплопроводность водяного пара н других реальных газов, существенно отличающихся от идеальных, сильно зависит также и от давления. Теплопроводность для газовых смесей не подчиняется закону аддитивности и обычно определяется на основании опытных данных. В приложении приведены теплофизические свойства различных материалов, жидкостей и газов.

1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводностн Для составления дифференциального уравнения теплопроводности рассмотрим неравномерно нагретое тело, изображенное на рис.1,6. Пусть поверхность этого тела Я, а объем У. х д, = Цдт, (1.10) Ркс.?.е. К выводу лиффе- реииизльиого уреввюикя те- х плопрозолиост3В Если температура тела вследствие каких-либо причин изменится н станет отличной от температуры окружающей среды, между телом и средой начнется продесс теплообмена.

Первый закон термодинамики для этого случая запишется в виде Я~+ ~)У = йП+ 1„ (1.9) где Яст — количество теплоты, полученное (или отданное) телом через поверхность; Яу — количество теплоты, выделяющееся (или поглощающееся) в теле вследствие декствия внутренних источников (или стоков) теплоты; ЬУ вЂ” изменение внутренней энергии и Ь вЂ” работа, совершенны телом над окружающей средой или наоборот. Примем, что механическал работа равна нулю, т.е. Х = О. Количество теплоты 4)ст может быть вычислейо по формуле т в Яу определено по соотношению ЯУ = От <Пай', (1.11) У О где От — удельная мощность внутренних источников (стоков) теплоты, Вт/мз. Изменение внутренней энергии тела ЬУ = / ) стр — дУЙт.

дт (1.12) У О С учетом уравнений (1.10)... (1.12) уравненке (1.9) принимает вид т т т Я О | д4 Щ дт + йт <6/ йт = стР— МУ йт. (1.13) дт О У О Первый член левой части уравнения (1.13) в соответствки с формулой (1.4) можно расшифровать так: т т сЦ Йт = — Л вЂ” соз(х, 1)+ Я О Ю О + Л вЂ” соз(у, Ю) + Л вЂ” сов(з,!) сй г1т. (1.14) дг д$ др дя Применив к формуле (1.14) преобразование Гаусса — Остроградского, находим T ~Цй = 8 Π— Л вЂ” + — Л вЂ” + — Л вЂ” 4У й (1.15) О стр — = з — Л; — ) +от.

д. Ед.; ~ 'В;/ ° в~1 (1.19) к при Л = сопв1 14 Подставив далее выражение (1.15) в (1.13), имеем — — л — — — л —— 1~ О ~Л вЂ” ~ -у„ПГат=о. (1.18) д т д1~ в.~ в./ Если все характеристики в уравнении (1.18) — непрерывные фуикпии координат и времени, а обьем т" - произвольный, то интеграл равен нулю при равенстве нулю подынтегрального выра жения. Следовательно, сур — = — Л вЂ” + — Л вЂ” + — Л вЂ” + ут (1,17) Пифференцнальное уравнение (1.17) называется дифференциальным уравнением Фурье-КирааоЯа и устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела.

При постоянной теплопроводностя уравнение (1.17) упрощаетсю а /В г Взв Взв~ — =а — + — + — +— дт ~,дхв дуя двз) стр' где а = Л/стр — изохорическвл температуропроводность, м /с. 3 Изохорическая температуропроводность, входящая в уравнение (1.18), является теплофизнческим параметром. Она характеризует способность вещества выравнивать температуру. Последнее означает, что тела, имеющие большую температуропроводность, нагреваются (охлаждаются) быстрее по сравнению с телами, имеющими меньшую температуропроводность. Температуропроводность изменяется от 1, 4 10 т мв/с для масел до О, 2 ° 10 З мз/с для серебра. Уравнение (1.18) есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа..Пля анизотропных тел, у которых теплопроводность за- висит от направления, уравнение Фурье-Кирхгофа принимает вид Если значения Л; и ст в анизотропном теле не зависят от температуры, то уравнение (1.19) путем преобразования х; = ж х ',.