Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 12

Помимо переменных граничных условий при интенсивном теплообмене и больших перепадах температур, имеющих место в ракетной, космической, ядерной и многих других областях техники, возникает необходимость учета лучистого теплообмена на гранипах тела, изменения физических свойств материала с температурой, внутренних источников теплоты и фазовых переходов.

Поэтому решение многомерных нелинейных задач теплопроводности точными аналитическими методами без упрощающих предположений не представляется возможным. В этом случае дТ дзТ вЂ” =а— дт дхз (П1.217) шт наиболее эффективными оказывакпся приближенные численные методы.

йля решения дифференпнальных уравнений теплопроводности наибольшее распространение получил метод конечных разностей или сеток. Конечно-разностные методы решения уравнений в частных производных были предложены еще в 30-х годах, но массовое распространение получили лишь после появления быстродействующих ЭВМ с достаточно большим объемом оперативной памяти. При численном решении задача ревностным методом нельзя получить решение во всех точках некоторой области пространства. Приближенное решение может быть получено лишь в некотором конечном множестве точек, называемых свгоиое.

Продедура численного решения начинается с замены цифференпиального уравнения его конечно-разностным аналогом. Чтобы написать разностный аналог исходного дифференпиального уравнения, необходимо, во-первых, заменить область непрерывного изменения аргумента дискретной областью н, вовторых, заменить дифференциальный оператор уравнения так называемым разностным оператором. После этого задача о приближенном численном решении днфференпиального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, т.е. системы конечно-разностных уравнений.

Близость приближенного (разностного) решения к точному будет зависеть от выбора сетки. Рассмотрим численные методы решения наиболее простых задач нестапионарной теплонроводностн. Зля численного решения таких задач могут быть использованы разностные уравнения, составленные как по так называемой явной, так и неявной конечно-разностной схеме. Явные конечно-раэиосшиые уравнения. При разностном решении одномерного уравнения теплопроводности т,.', — гтй+ т,.", Т~+ -Тй 3 1 (П1.218) дг (Ьх)з 11В входящие в него производные приближенно представляются (ап- проксимируются) производными в конечных разностях: Тв+1 тй дт дт Ьт дх Ьх ' дх Ьх Прн этом разностный аналог дифференпиального уравнения теплопроводностн примет вид В уравнении (П1.218) значения частных производных от температуры Т по времени т н от температуры по координате х заменены их приближенными значениями, а соответствующие дифференциалы — конечными приращениями.

В частности, Ьх и Ьт — зто малые приращения независимых переменных х и т (Ьх— шаг по координате, Ьт — шаг по времени). При решении этого уравнения температуры определяются лишь в отдельных точках 1 = 1, 2, 3,..., и, лежащих на оси х. При этом прецполагают, что в каждый момент времени т распределение температур в промежутке между соседними точками является линейным. При решении многомерных задач этн точки обычно называют узламн пространственной сетки.

Интервалы между ними в простейшем случае одинаковы и равны Ьх. Выражение (П1.218) следует рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений, число которых и равно числу неизвестных температур. Индексы й и й+ 1 характеризуют моменты времени, которым соответствуют температуры Т е (значение температуры в некоторый момент времени т) и Т~+ е+1 (значение температуры в момент времени т+ Ьт). Каждое из конечно-разностных уравнений содержит лишь одну неизвестную температуру т;"~~. Эта температура возникает в узле 1 после того, как истечет малый промежуток времени йт. При этом предполагается, что исходная температура в каждом нз узлов равна Тв. Э Разностный аналог уравнения (П1.217) может быть получен и более строгим методом, с заранее выбранной погрешностью аппроксимапин, если значения температур в узлах четырехточечной разностной сетки предварительно представить в виде следующего конечно-разностного уравнения с неопределенными коэффициентами: А т,"+1 + В т,й + С ТВ, + Р Тв+1 ~""'~д~вая функцию Т(х, т) в ряд Тейлора в окрестности точки (х = 1Ьх, т = ийт), получаем абдт 1~ 1 /дзт1е Т;+1 = Т; + Ьх — + (Дх)З + й й г дт1 1 удят~~ т+,-т,.

-~1х~~ ~ + (д,)зу ( редполагается, что все входящие в эти выражения частные гП производные напрерывны.) С учетом этих данных разность между конечно-разностным уравнением, содержащим коэффициенты А, В, С, Р, и ясходным дифференциальным уравнением (П1.217) составит е(Т) = (А + В+ С+ Р) Т; + (А — С) Ьх — + 1,дх/; 1 У д2Т~" , /в'т~" ,1,-(А.?-С)(дх)з ~ — ~ + — (А — С)(Ьх) ~~ 4) + 2 где Т вЂ” точное решение уравнения (П1.217). При этом дТ дзТ вЂ” — а — = О.

дт дхз Т перь чтобы исключить члены имеющие более низкни е порядок малости, чем 0(Ьт) и 0((Ьх) ], надо положить А+В+С+Р=О; А — С=О; А+ С = -2а/(Ьх)з; Р Ьт = 1. 1 ( 2аЬт] Следовательно, А = С = -а/(Ьх); В = — — ~1 —— и Р = 1//зт. Т им образом подставив найденные значения коэффициенак ! Тй тов А, В, С и Р в линейное уравнение, связывающее Тй+1, Тй и Т;+, получим рассмотренную выше разностную схему (1П.218), Подставив А, В, С и Р в выражение для е(Т), вычислим погрешность, возникающую в результате замены дифференци- ального уравнения (П1.217) его конечно-разностным аналогом; — дзт а д4Т с(Т) = — Ьт — — — (Ьх) —. 2 дтз 12 дх Указанный метод удобно применять при использовании тре- угольных, пятиугольных и более сложных разностных сеток.

П иведенная здесь разностнзл аппроксимация не является Р единственно возможной. Уравнение (1П.218) построено по явной классической конеч- но-разностной схеме и легко разрешается в явном виде относи- тельно неизвестной функции. Для вычисления неизвестных температур Т; +1 система, состоящая из и алгебраических уравнений типа (П1.218), последовательно решается для каждого шага по времени. При этом уравнения необходимо решать столько раз, сколько шагов (слоев) содержится в расчетном промежутке времени.

Когда выполняется первый шаг по времени и система (П1.218) решается первый раз, значения исходных температур Тй берутся из начальных условий. (Согласно начальным условиям, распределение температур в момент времени т = О должно быть задано.) При последующих решениях значения Т;" берутся с предыдущего шага по времени. Решающее значение при решении системы конечно-разностных уравнений имеет правильный выбор Ьт и Ьх. При использовании явных конечно-разностных схем величина допустимого шага по времени ограничена и для внутренних узлов зависит от выбранного шага по координате и температуропроводности материала а = А/(ср). Устойчивость системы явных конечно-разностных уравнений 9 = аЬт/(Ьх)з характеризует рнс.

Ш.21. аЬт 1 Сравнение показывает, что вычисления при — = — ирк(ах)з 2 водят к вполне удовлетворительным результатам, в то время как аЬт 1 при — > — возникает явление, называемое неустойчивостью. (Ьх)з 2 Оно не связано с ошибками округления и является свойством самой системы конечно-рззностных уравнений. Из приведенного примера следует, что при проведении расчетов надо прежде всего позаботиться о том, чтобы значение Ьт удовлетворяло условиям устойчивости системы конечноразностных уравнений.

Разрешая уравнение (1?1.218) в явном виде относительно неизвестной функции Т; +, получаем Т; ~~' = А Тй+1 + В Тй -?- С Тй, (?П 218) где А = С = а Ьт/(Ьх)1, В = 1 — 2а Ьт/(Ьх)1, причем А+ В+ +С=1. 120 следовательно, Дт се О,б (Дх)е/а, хя ия ыя ьс Рис. Ш.31. Результаты точного и чисеиииого решеиия задачи иествциоиариой теилоироводиости длх плоской стоики, разбитой иа четыре иитервада Лля простоты рассуждений будем считать, что все Т > О. В общем случае среди известных значении Т;+1, Т; н Т; 1 найдется одно наибольшее и одно наименьшее значенияе). Если сделать В сеучае двумервсй задачп в правой частя уравпеппя (П1.219) будет стоять пять раздпчпмх температур, а в сяучае трехмерном — семь. предположение о том, что Т;+1 имеет наибольшее значение, а Т;, — наименьшее, то в сялу того, что Т; = Т;+1 — В(Т;+1— й -Т; 1), при положительных А, В, и С значение температуры Т~+1, которое предстоят вычислить при решении, будет удовлетворять неравенству Т+ > я; > Т; 1 и, следовательно, будет заведомо ограничено.

Значения А и С из физическях соображений не могут быть меньше нуля, поэтому, чтобы исключать неограниченный рост Т;+ в пропессе решения, при выборе Дт необходимо соблюдать условие устойчивости системы разностных уравнений, которое состоит в следующем: В = (1 — 2а(Дт)/(Дх) > О или аДт/(Дх) < 1/2, где Дтим — макскмально допустимое значение шага по времени. В рассматриваемом случае достаточность этого условия можно доказать также следующим образом.

Если условие аДт/(Дх)З < 1/2 выполнено, то коэффициенты А, В, С положительны и их сумма равна единипе. Поскольку разностные уравнения могут быть представлены в форме (111.219), то тпах )Т; + ) < (А + В + С) шах )Т; 1 = шах )Тй) < шах )Т;" и, следовательно, решение ограничено. Это простое доказательство в несколько нзмеяенном виде пркменимо и в том случае, когда А, с и р, входящие в температуропроводность а, имеют переменные значения.