Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 6

Осуществляя соответствующий подбор значений Р и Е, можно как угодно близко подойти к зэ данному пачальыому распределепию температуры. Таким образом„частные решения записываются так: Т = Р А(й х)е ~~1~+ Е В(й х)е в~1' Тз = Рз А(йзх) е ~~э~ + Ез В(йзх) е в~э~ Т = ~ РвА(йвх)е ~~"~+ ~~) ЕвВ(йвх)е в~"г. (Ш.14) Необходимым условием решения задачи является возможность разложения фуыкции Те(х), описывающеи пачальвое распределение температуры в ряд по собственным функциям: То(х) = ~ Рв А(йвх) + ~ Ев В(йвх) Применение метода разделения переменных показано ниже па примере пестациопарпого температурного поля плоской пластины, цилиндра, шара. Метод исшочяыхов является одним из классических методов, особенно удобным ыри решении задач теплопроводпости для неограниченной или полуоткрытой области. Примером такой задачи может служить рассмотрение ыестапиоыарпого температурного поля в почве при изменении выешпих условий.

Физическая сущность метода источников заключается в том, что пропесс распростраыепия теплоты в теле теплопроводыостью представляется как совокупность процессов выравнивания температуры от множества элемеытарпых источников теплоты, распределенных как в пространстве, так и во времени. Рассмотрим задачу по определению пестапиопарпого одно. мерного температурного поля для неограниченной области при заданных начальных условиях. В качестве физической модели такой задачи может служить стержеыь бесконечной длины с постоянной по длине площадью поперечного сечения Е = 1 мз, боковая поверхность которого теплоизолироваыа.

В стержне задано начальное распределение температур. Зля этой задачи справедливо уравнение (Ш.1), т.е. ВТ/дт = = адзТ(дхз при -оо < х < +оо, Начальное распределение температуры в стержне при г = 0 имеет вид Т(х, 0) = Те(х). Как было показано выше, метод разделения переменных позволяет получить из уравнения (П1.1) два обыкновенных линейных дыффереппиальыых уравнения: Т'+ай~Т= 0; Фа+ й~Ф = О. Частные решения этих уравыепий имеют вид Т=С е в" ~ и У=С е~~~ а частное решение уравнения (Ш.1) таково: Т(й) = Т(т)Ф(х) = С(й) е вй ~~'~*. Фуыкпия Т(й) удовлетворяет условию ограниченности.

Так как й — любое веществепыое число (-оо < й < +оо), в уравнении (П1.16) будем брать знак плюс. Образуем функцию которал удовлетворяет уравнению (Ш.1) как сумма частных решений этого уравнения, если производные можно вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла. Используя на- чальные условия, имеем С(й) = — ~ Т®е 'в4Ц. 1 1 21г (П1,19) Подставляя выражение (Ш.19) в (П1.18) и меняя порядок интегрирования, получаем +00 +00 гь, ~= — ! ( |Ц0 "ц).-""~"г— 21г,/ - — ' | ) |.-""~0О-Оа) Ог1ц.

(пио~ 2х,/ Козффипиенты С(х) найдем по формуле обратного преобразования интеграла Фурье, т.е. представляет собой температуру в точке х в момент времени г, если в начальный момент времени г ж ге в точке с координатой 4 выделяется количество теплоты Я ю ср (злясь ге можно принять равным нулю, с — теплоемкость, р — плотность материала стержня). Действительно, функпия (П1.23) удовлетворяет уравнению теплопроводности (Ш.1), так как дб ! а* = г 2ь<, „~~О дхз 2х ~ 2(а(, ))з/з 4(а(, г,))Ъ3 ',1 2(а(т — гв)) ~й 4(а(т — гп)) /З1 +оо О- — е О~ ~+'~(О-О) ~гх — е 4а~), (Ш,21) 2фат Это выражение называется йзридамекггмьаьмамв решеиием рраемемих тегьаовроеодмосггзи.

Решение называется также функпней источника иа бесконечной прямой и обозначается 1 (О с)~ С(х, с, т) = — е 40г 2~/хат (П1.22) Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция ОО,Г, -~)= . "~ -~~ ОП2з) ЪР ( Интеграл, заключенный в скобки, после преобразований принимает вид и, следовательно, дб дз6' — =а— дт дхз' Количество теплоты, находящееся в стержне в момент г) ге, +ОО + 1х-с)з ср 6(х, С, г — гв)<Ь = Я/~/и) с 40(г г0 2а(г — ге) -00 -00 +ОО =(1;г/с/х) е а йг=Я=рс, (1П.24) -00 так как +оо ,1х ~ з о— Йз = 1 — и =,/.

2,Я - ОГ 2~/Ь7 — 0) / Как следует из уравнения (П1.24), количество теплоты в стержне ые меняется с течением времени. Фупкпия (П1.23) зависит от времени только через и = а(т — те), и ее можно записать так: 1 1 10-41~ (П1.25) 2с/х /й Вид фуыкции 6 представлен ыа рис. П1.1, из которого следует, что почти вся площадь под кривой находится над промежутком (4 — е) — (~ + е) где е может быть сколь угоди 4РР по малым числом, если и = а(т — те) достаточно мало. и 'Р,l Плошадь под крявой, умпожеппвл па ср, равна количеству теплоты подведенному в пачальРыс. 111.1. Выл фуияапи О пый момент. Лля малых зпа- ченый и почти вся теплота сосредоточивается в малой окрестыосты точки ~.

Следовательпо, в момент т = тв все количество теплоты сосредоточено в точке ~, а температура в точке при малых и неограниченно велика,. Интересно отметить следующее: формула (П1.23) показывает, что во всякой точке х температура, создаваемая мгновенным точечным источником теплоты, действующим в начальный момент т = О, отлична от пуля для сколь угодно малых моментов времени.

Этот результат можно рассматривать как следствие быстрого распространения температуры, а следовательно, и теплоты. Однако это противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о природе теплоты. Несоответствие объясняется применением при выводе дифференциального уравнения теплопроводпости феноменологических представлепый о переносе теплоты, пе учитывающих инерционность движения молекул. Возвращаясь к выражению (П1.20), запишем его в виде +00 1 Ь-11 Т(х, т) = — / Т(г) е зФ с1с. (П1.26) ~4ахт 64 Эта формула и является общим решением задачи определения температурного поля в пеограпычеппом одпомерпом теле.,Пля начального момента времени уравнение (П1.26) представляет собой замену начального распределения ' температуры суммой частных решений (рис.

П!.2). Мегподы интегральных преобразований. Для решения многих задач теплопроводности классические методы оказываются недостаточ- РИС 111 П НВЧаааыов Рав- аределваые температуры ными, в связи с чем в пастоящее время нашли широкое применение различные методы интегральных преобразований дифференциальных уравпепый и грапичвых условий. Сущность методов интегральных преобразований состоит в том, что изучаются пе сами функции, определяемые постановкой задачи, а их видоизменение — так называемое изображение; сама же функция называется оригиналом.

Если преобразование берется по пространственной координате х, то интегральное преобразоваиие функции оригинала /(х) может быть представлено в виде Др) = Й(р, х) 1(х) Их, (П1.27) 0 где Др) — изображение функции 1(х); й(р, х) — ядро преобразования, "р — некоторый параметр. Пределы интегрирования могут быть как бесконечными, так п конечными, В последнем случае интегральное преобразование иазывается конечным и имеет выд Др) = х(р, х) 1(х) ах. в аб У(*) = — / У(р) с-'Р* 1р 1 ~/2я / (П1.31) ув >-»>в> 1>ь> в~> >в> О й(р, х) = ~/2/яг звп(рх); й(р> х) = /2/х ° соз(ря). (Ш.32) (П1.28) й(р *) = у(~ ) (Ш.ЗЗ) У(г) = г ~(р) Ятр) ввр о (П1.34) — для преобразования Ханкеля; а+все 1(р) = ят)е р~ввт.

о 2кв,/ 1 (П1.35) (П1.30) Вид ядра преобразования определяется условиями рассма триваемой задачи. Так, для тел неограниченной протяженности удобно пряменять комплексное преобразование Фурье, для которого Й(р, *) = — с я и пределы интегрирования в уравврв Лк ненни берутся от -оо до +оо. При задании на поверхности тела граничных условий 1рода (задано значение функции) следует использовать синус-преобразование Фурье, а прн граничных условиях П рода — косинус- преобразование Фурье.

Прн этом ядра преобразований соответственно имеют вид Для тел с осевой симметрией (например, для цилиндра) ядром преобразования должна быть функпия Бесселя: (П1.29) где г — независимзл переменная, изменяющаяся от 0 до Л (Л— наружный радиус); Ярг) — функция Бесселя. Интегральное преобразование в этом случае носит название преобразования Ханкеля. При решении задач нестационарной теплопроводности наибольшее распространение получили метод интегрального преобразования Лапласа и операционный метод Хевисайда.

В первом из них интегральное преобразование зависящей от времени функпии 1(т) определяется формулой Применение метода интегральных преобразований к дифференпнальным уравнениям в частных производных позволяет получить для одномерного случал обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения. Применение же интегрального преобразования к обыкновенным дифференпиальным уравнениям переводит их в алгебраические относительно изображений. Отыскивая затем значение функции, являющей- ся изображением, необходимо (для решения задачи) перейти к оригиналу. Этот переход осуществляется по так называемым формулам обращения: — для комплексного преобразования Фурье; — для синус-преобразования Фурье; >> >=>>в> ~>в» в >в> 0 — для косинус-преобразования Фурье; — для преобразования Лапласа.

В связи с широким дрименением операционного метода рассмотрим его несколько подробнее. Преобразование Лапласа осуществляется в соответствии с формулой (П1.30), где параметр р = и+ в4 — некоторая комплексная величина, которая при постоянной ~, а С, изменяющейся от Рис. 1П.З. Рпласть сувзествовеюы азонразсеиия У(з) Фуикзпся У(г) при 1(т) = Ст 1(р) = С т е вг йт = С(рз; е (Ш.37) при У(т) = сьс (т > 0) Дт)=0 при т <О. (П1.38) !У(т)~ < Мее" при т < О, Если же Дт) = с ег, то У(р) = —. 1 р+ й' 011.39) (1П.40) яв вв -оо до +ос, меняется от а' — 1оо до и+ 1ао (рис. 1П.З), пробегая в комплексной области р прямую Ке(р) = а, параллельную мнимой оси. Преобразованию Лапласа могут быть подвергнуты функции со следующими свойствами: 1. При отрицательных значениях аргумента функция равна нулю, т.е.