Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 5

Пнфференпиальное уравнение для рассматриваемой задачи нмеет внд Граничные условия имеют вип откуда находим решение в виде 3 »» = — — + Сз 1п т + Сз. о»» т 4Л (П.87) =о; тжт» й -Л— ет = а(Фстз — 1ж), т тя С, — — тг+ — = О 2Л» откуда Сз = йтт,72Л. = а(1ст — гж). тжтс дт т»7ттз 2 зстз = + — 1п тз + Сз» 4Л 2Л имеем »=»ж+ + (О т). отто ят 3 2 2а 4Л (П.88) д = а (ссг — $ж) = —. 9 то 2 (П.89) Г = »ст+ (то т )» »7»' з 4Л Температура наружной стенки зстз = »ж+ 1— (П.91) Используем полученное решение для некоторых частных задач.

1. Сплошной пнлиндр неограниченной протяженности т = ж то, на поверхности которого происходит конвективный тепло- обмен. Граничные условия в зтом случае будут следующими: = 0 (в силу симметрии температурного пола); тже Прн зтнх условкях константы интегрирования в выражении 3 (П.87) приобретают значения Сз = О, Сз = гж + — + —, и Ф то Чтто температурное поле описывается уравнением Плотность теплового потока на поверхности пилиндра При больших значениях козффипиента теплоотдачи уравнение (П.88) приобретает вид которому соответствуют граничные условия 1 рода. 2.

Цилиндрическая стенка (труба) с внутренним радиусом тз и наружным тз, внутренняя поверхность которой теплоизолнрована, а на внешней происходит конвективный теплообмен. где Гстз — температура наружной поверхности трубы. Используя первое граничное условие, можно записать Из второго граничного условия, так как 9 тз Ют~ »7т тз д„т~ 3 2 Сз = Гж+ — + — — — — — — 1птз. 2а, 4Л 2а то 2Л Уравнение температурного поля будет иметь вид + — з 1+ — 21п — — — . (П.90) Плотность теплового потока на поверхности й~ жО; ~~" ~г=г й! -Л вЂ” ~ = а(1ст, — Ф,„), ~г гмг1 В рассматриваемом случае константы интегрирования будут следующими: С1 = йгф2Л; Сз = $ж+ — + — — . — 1пг|.

2а 4Л 2а ~~ 2Л Уравнение температурного поля имеет вид Ф=Ф + — — — 1+ + — 3 2 1п — + — — — . (П.93) Температура внутренней стенки зст1 = Зж+ Плотность теплового потока ф= — — — 1 (П.95) 3. Цилиндркческая стенка, теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы, наружная поверхность теплоизолирована. Граничные условия имеют вид П.4. Температурное поле полуограннченной пластины На рис.П.17 представлена полуогранкченная пластина с однородными свойствами, не зависяшнми от температуры.

Толшина пластины б, температурное поле — стационарно. е ,Пля двумерной стапяонарной задачи без внутренних источников теплоты температурное поле описывается уравнением Рис. П.17. Полуогревн- чеииая пластина дз1 дз1 + — = О. (П.96) дх2 дуя В качестве граничных условий принимаем — при х=О н х=б, 0<у<со; г = Дх) при у = 0; — при у -+ оо. Введя избыточную температуру д ж $ — 11, из уравнения (П.96) получаем дзд дзй — + — = О.

дх2 дуя (П.97) 4. Цилиндрическая стенка, теплота отводится конвективным теплообменом с обеих сторон трубы. Пля указанных условий очевидно, что имеется изотермическал поверхность с радиусом ге, находяпгаяся между т1 и гз, где градиент температуры равен нулю. Юля части трубы, расположенной между г1 и ге, справедлквы выражения (П.93) и (П.95), а для части трубы между радиусами ге и гз — выражения (П.90) к (П.92). Совокупность указанных выражений при условии замены т1 на ге в (П.90) и (П.92) и гз на ге в (П.93) н (П.95) дает возможность определить неизвестный радиус ге, а затем величины г и д. 1 и = ио с4сб (П.11З) Исключив нз уравнений (П,111) и (П.113) неизвестную температуру гст„получаем окончательное выражение для распределения температуры по толщине поркстой пластины: чз В, ч о 1 — 1 гстз гиа = е ( У).

(П.114) В ВГ ВВ йб ВВ х/В На рис. П.19 показаны результаты расчета температуры стенки по формуле (П.114) для различных значений параметра Ссо. Рис. 11.19. Распределение температуры в пористой стенке 67 Постоянные СЗ и С4 находим нз граничных условий: ги = 1 пРи х = -оо; (11и Й Л вЂ” и = Лс(1 — Р) — прн х = О. Их Их ВРЕУ ~У ~С~=3, СИ= 1 УР пение (П.112) принимает вид Г л а в а Г1. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОЛНОСТИ Ш.1. Основные методы решения уравнения теплопроводностн при нестапионарном режиме Лифференцнальное уравнение теплопроводности прн отсутствии внутренних источников теплоты и постоянных теплофизнческих параметрах имеет вид дТ /дгТ дгТ дгТ вЂ” = а ~ — + — + — ~ = н1Угт.

(П1.1) д — (Д г дуг д г~)— Уравнение (П1.1) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решения такого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка, для которого решением является выражение С1Т1 + СгТг, где С1 и Сг — произвольные постоянные; Т1, Тг — частные решения уравнения. Уравнение (Ш.1), являясь уравнением в частных производных, имеет бесчисленное множество решений. Лифференциальное уравнение теплопроводности относится к разряду так называемых дифференциальных уравнений математической физики, для решения которых разработаны как классические методы решения, так и приближенные. К классическим методам относятся, например, метод разделения переменных н метод источников.

По своей стройности н разработанности равноценным классическим методом является метод интегрального преобразования. В настоящее время широко используются приближенные методы, позволяющие получить кнженерное решение практически для любой задачи. К приближенным методам относятся метод конечных разностей (метод сеток) н метод аналогий (злектроаналогия и гидроаналогия). Мегпод разделения переменных, разработанный Фурье, в применении к задачам теплопроводности состоит в том, что находится совокупность частных решений уравнения (П1.1), которые затем, как уже упоминалось, суммируются: Т = С1Т1 +СзТз+...

ж ~~~ С;Т;. (П1.2) > 1 Правомерность применения принципа суперпозиции (наложения) для бесконечного ряда, так же как и возможность его почлеппого дифференцирования и интегрирования, доказывается в литературе по математической физике. Существенным является ограниченность функции Т (Т < М) для всех значений координат и времени т > О. Решение уравнения (П1.1) представляют в виде произведя.

пия двух функций, одна из которых Т(т) зависит толыю от времени, а другая в>(х, у, в) — только от координат, т.е. Т = С Т(т) >х(х> у, «), (П1.3) где С вЂ” произвольная постоянная. Взяв производные функции Т по времени и координатам п подставив их в уравиепие (П1.1), получим Т'(т) Ф(г, у, х) = а Т(т) 0>З>х(х, у, х).

(Ш.4) Произведя разделение переменных, зависящих только от времеви п только от координат, приведем уравнение (П1.4) к ви- (1/а)Т>(т)/Т(т) = Л> Ч~й>(г, у, г)/Ф(г, у, в) = Л. !П1.8) (П1.7) Каждое из этих уравнений является линейным диффереппяальпым уравнением. Решением уравнения (П1.6) является Т(т) = Сев". (Ш.8) Т'(т)/Т(т) = а>>язв(х, у, г)/Ф(г, у, х). (Ш.б) Так как левал часть уравпепия (П1.5) пе зависит от координат, а правая — от времени (причем равенство справедливо при любых значениях времени и координат), то правая и левая части представляют собой постоянную величину Л: Вид функции Т(т) указывает, что для процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина Л должна быть меньше нуля (Л < 0), в противном случае де удовлетворялось бы условие ограиичеипости функции Т = Т(т) я>(х, у, г) < М, Таким образом, можпо обозначить Л=-хз, (Ш.О) где х — любое вещественное число. В связи с этим уравнение (П1.7) примет вид ЯзЯ(г, у, в) + йзФ(х, у, х) ж О.

(П1.10) Решение уравнения (Ш.10), называемого ураемемхем По- мелл, определяется геометрической формой тела, а постоянные иптегрировапия — граничными условиями (температурой, тепловым потоком пли условиями теплообмепа па поверхности тела). В простейших случаях, когда у> — функция лишь одной координаты (папример, х), уравпеппе (П1.10) является обыкновенным дифферепциальпым уравнением второго порядка> решение которого можно представить как сумму двух частных решений: У>(х) = С1 А(йх) + Сз В(йх), (П1.11) гяв С1 и Сз — постоянные, а А(йх) и В(йг) — липейпо кезависамые интегралы уравнения (П1.10), т.е.

такие, отношение которых А(йх)/В(йх) ф сопвФ. Подставив выражения (П1.8) и (П1.11) в (П1.3) и объединив постоянные, получим Т = е в~ т [Р А(йх) + Е В(йг~Я, (П1.12) где Р и Š— постоянные. Это выражение, удовлетворяя уравпепию (1П.1), тем це медее пе пригодно для расчета температурного поля, так как пз пего нельзя определить постоянные Р п Е.

Например, если по условию для начального момента времени (т = 0) температура постоянна (Т = Те = сопев), то из уравнения (П1.12) этого пе следует, так как в этом случае оказывается, что постоянная равиа переменной: Тв = Р А(йх) + Е В(йх), чего быть пе должно. и т.д. Общее решение имеет вид в=1 (1П.15) (П1.16) в=1 Т(х) = С(й) е' *дй. (П1.18) 61 вв Поэтому для получения общего решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего начальным условиям, берется сумма частных решений, в каждом из которых постоянные Р и Е имеют свое определенное значение.