Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 7

Принимая кривую статического изгиба за форму колебаний, находим в первом приближении 40 Числитель указанного выражения нами уже найден в виде (11.40). Разделив второй из результатов (11.40) на (11.41), находим 12,46ЕУ т14 по формуле (11.30) собственную частоту р,. Затем подсчитываем силы инерции в первом приближении; Гц = т;ацрц 2 Принимая их за нагрузку, во втором приближении можно определить соответствующие перемещения а; ц, а затем по формуле (11.30) находим второе приближение для частоты г ~ ~ца'ц рц= ~~„т,а,.

„ Так как все силы Рц могут быть одновременно изменены в любое число раз (это не влияет на значение р-'), то их можно принять равными т;ац, опуская общий для них множитель р~ц Затем процесс повторяем вновь, определяя силы инерции во втором приближении: Г;ц — т;а; ц (величина р1ц, как и раньше, может быть опущена), затем соответствующие перемещения а,,ц и третье приближение ддя частоты ~Р; ца;ц1 рц~ 7 ~ ж.а. Выкладки такого рода продолжаются до тех пор, пока два последовательных значения р не окажутся достаточно близкими. Вторая схема вычислений.

Другой вариант, предложенный Стодолой, состоит в следующем. Задаемся в первом приближении для прогибов балки значениями а;, и записываем соответствующие силы инерции Гц = т;ацр1, считая величину р1 пока неизвестной. Находим прогибы а; ц от сид Рп, уменьшенных в р~ раз (т. е. от сил т;ац); действительные прогибы от сил Гп будут в р~ раз больше, т. е. составят р',а; ц. Очевидно, что кривая, определяемая прогибами а;ц, будет подобна исходной кривой с прогибами ац при точном задании формы последней; в этом случае должно выполняться равенство ац —— р~ а; ц, откуда р1 = ац/а; ц. Однако, поскольку форма колебаний была назначена приближенно, результат окажется также приближенным, причем отношение а;,/а;и будет различным для разных точек 1.

Поэтому за приближенное значение квадрата частоты обычно принимают значение, соответствующее сечению с максимальным прогибом: р1 = а[ гпах/ац шах Таким образом, приближенное значение квадрата частоты равно отношению характерных ординат двух кривых: кривой 41 прогибов а11, которой следует задаться, н кривой прогибов иц„ вычисляемой от нагрузок игац. Если отношения ац/агц практически постоянны для всех точек 1', то можно удовлетвориться полученным результатом.

В случае, когда эти отношения заметно зависят от г, нужно строить следующее приближение: принимая форму агц за исходную, определить силы тгагц, а затем прогибыацц. Тогда во втором приближени 2 р1! = ггц гпах/Сгц1 тах Процесс продолжают до тех пор, пока отношения аО ~,„/а111411 не станут с достаточной точностью одинаковыми. Способы разложения масс и восстанавливающих сил В противоположность способу Рэлея изложенные ниже способы дают заниженные значения частоты. Поэтому они полезны в комбинации с энергетическим способом; при этом для истинного значения частоты получают двусторонние оценки. Способ разложения масс.

а) 122 ' Положим, что в некоторой точке г упругой системы находится сосредоточенная масса иг 6) (рис. 11.14, а) и собственная О частота системы равна рг = 1'в,/гггг. в) иг ггг2 О и = — иг. С' (11.42) Таким образом, перенос массы иг в точку О не вызовет изменения частоты, если приводимую массу умножить на коэффициент приведения сО/сг. Распространим этот прием на случай, когда система содержит несколько масс: ггг„т„..., т„(рис.

11.14„в), Для каждой из этих масс будем пользоваться соответствующим коэффициентом приведения, как это видно из формулы (11.42). Общая приведенная масса СО СО СО и = — и,-~- — -и +. ° + — и . О С С 2 ' С л. 1 2 О (11.43) 42 С некоторой другой точ' кой О, избранной за точку приведения (рис. 11.14, б), мысленно свяжем иную массу т с таким расчетом, чтобы собственная частота новой системы 1/сО/и оказалась равной частоте р;. Приравнивая частоты, находим приведенную массу Разделив обе части полученного равенства на с, и заметив, что т,/с, = 1/р', где р' — квадрат частоты приведенной системы, получим приближенную формулу Донкерлея 1 1 1 1 (11.44) р2 2 2 Хотя законность переноса одной массы соответственно формуле (11.42) сомнений не вызывает, однако распространение этого приема одновременно на несколько масс не строго и основано на предположении, что взаимное влияние этих масс отсутствует.

Поэтому частота р', определяемая по формуле (11.44), не является точным решением задачи. Однако эта формула, будучи весьма простой, в большинстве случаев дает приемлемую точность. Для определения собственной частоты необходимо лишь предварительное вычисление частот р„ р... р„, каждая из которых относится к частной системе с одной степенью свободы; при этом не требуется выбирать и фиксировать точку приведения, чем обеспечивается полная определен~ость решения.

В случае, когда вместо сосредоточенных масс имеется распределенная масса т = т (х), формула (11.43) приобретает вид лг (х) дх то=со ~ о и, следовательно, 1 1 ~ т (х) Йх р с(х) о [1 ецио )'Йх] (т1а~) ) р1. 43 где с (х) — коэффициент жесткости, соответствующий точке с абсциссой х. Опираясь на теорему Рэлея, можно убедиться, что формула Донкерлея дает всегда заниженное значение частоты. Рассмотрим первую частную систему, содержащую единственную массу т„и определим собственную частоту по формуле (11.27).

Если в эту формулу подставить функцию, описывающую форму колебаний одномассовой системы, то получится точное значение частоты р,. Положим, однако, что в эту формулу подставляется функция, соответствующая форме колебаний заданной многомассовой системы; тогда результат, вычисленный по этой формуле, превосходит истинное значение квадрата частоты р,: Рассмотрим второе слагаемое правой части формулы (11.45), которое соответствует случаю, когда балка не обладает изгибной жесткостью; это слагаемое определяет квадрат частоты колебаний гибкой нерастяжимой нити. Используя точную форму колебаний, получим точное значение квадрата частоты колебаний нити р~.

При всякой другой формена (х) частота получится с завышением; если в качестве такой формы снова принять истинную форму колебаний заданной балки, то будет выполняться не- равенствоо У (~')' дх т~'дх ) р,' (11.47) Подчеркнем, что в неравенствах (11.46) и (11.47) 1" (х) — одна и та же функция, описывающая истинную форму колебаний в заданной системе. Складывая левые и правые части обоих неравенств, получим 1 1е3отих-~- ~ л~дтшх 1и~'нх) ) р~+ р1. о б о 2 . О Р2— Согласно формуле (11А5) левая часть неравенства равна квадрату истинной частоты р~о, поскольку 1'(х) есть истинная форма колебаний, поэтому р~о ) р1 + + р~. Су~~у р~+. р~ = р~ м,жно принять за приближенное значение квадрата частоты; как видно, она меньше истинного значения.

Таким образом, вычисление собРис. 11.16 ственной частоты растянутой балки требует предварительного вычисления частот для двух частных систем: нерастяжимой балки и гибкой нити. Первая задача может быть решена любым из изложенных способов. Решение второй задачи очень просто, если учесть, что точной формой колебаний нити является прямая линия 1 (х) = а —, где а — перемещение конца нити. Тогда 1' (х) = а/1 и Ес~и продольные силы Ф появляются в результате вращения балкигс постоянным распределением массы (рис. 11.15), то где го — угловая скорость вращения.

Следовательно, р~ = го"-, это приводит к формуле Лэмба— Саусвелла Р =Рг+ оэ (11.48) т. е. квадрат собственной частоты вращающейся балки приближенно (с приуменьшением) равен сумме квадратов собственной частоты, вычисленной без учета вращения, и угловой скорости вращения. Эта формула справедлива и для случая, показанного на рис. 11.16, так как йг (тяз) = но У = пггоЧ, что опять приводит к формуле (11А8).

Пример 6. Сравнипгь реэульпгаты, получаелгые для схемы, приведенной на рис. !!.!б, по формуле Лэмба — Саусвелла, энергетическим способом и при помощи формулы для коэффициента эгсегпгкости (см. схему !О в пгабл. !). По формуле Лэмба — Саусвелла находим ЗЕ/ р =- — +го. гп гз Воспользуемся энергетическим способом, приняв в качестве ! (х) функцию, описываюгиую прогибы от равномерно распределенной нагрузки: 1(х) =)Π— — ' — т Тогда получим 3 ! "е Е! (!") *' г(х = о Ж (!')з сгх = тгоз! ~ (!')' ггх = 1,2 тгоз!'. о о По формуле (11.45) находим (с завышением) .47 Истинное значение собственной частоты располагается в довольно узком интервале ЗЕУ,, ЗЕ1 — + ыз < рз( +12соз.

т1з а т1з Точное решение задачи может быть получено при помощи формулы для коэффициента жесткости (табл. 1, схема ! 1) азЕУ с'и а1 с =- а1ейа1 — з11 а1 ' в которучо следует подставить Е3 Е1 После этого собственная частота определяется по формуле ра = с,'т. 5. ВЛИЯНИЕ СИЛ НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Общие сведения Выше считалось, что рассеяния энергии при колебаниях не происходит, и был установлен незатухающий характер процесса свободных колебаний.

Опыт, однако, показывает, что колебания упругой системы, вызванные однократным возмуп1ением, постепенно затухают. Причина затухания состоит в том, что при свободных колебаниях кроме упругих сил развиваются диссипативные силы, т. е. силы неупругого сопротивления, связанные с неизбежным трением в кинематических парах, с трением о среду, в которой происходят колебания, а также с внутренним трением в материале колеблющейся конструкции. Особенно значительны силы неупругого сопротивления, возникающие в различного рода демпфер ах или амортизатор ах. На преодоление этих неупругих сопротивлений непрерывно в необратимой форме расходуется работа, вследствие чего постепенно убывает общий запас энергии и уменьшаются пиковые значения колебательного процесса.