Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 11

Отсюда находим, что при М ) М, М = спг'~р + пР,г. Эта зависимость показана на рис. 11.25, б (участок аЬ); на рассматриваемом участке жесткость муфты равна спг'. Аналогично можно построить характеристику для муфты с зазорами Л, (рис. 11.25, в). Момент не возникает, если ~р < ур, = =- 0,5Л,!г (участок Оа на рис, 1!.25, в). Лишь при ~р ) Ч, происходит передача крутящего момента. Крутящему моменту М соответствуют сила сжатия одной пружины М((пг) и сжатие пружины на величину Л = Му(спг). Следовательно, дополнительный угол поворота (сверх угла ~р,) Стоу~ Полный угол поворота, считая от среднего положения, 7 = Ч'О+,.„, отсюда находим уравнение упругой характеристики при ~р > ~ро: М = спг М ~ро) (участок аЬ на рис. 11.25, в).

Рассмотрим теперь коническую пружину (рис, 11.25, г). Такие пружины находят все более широкое применение в качестве упругих элементов виброизоляторов различного оборудования. При постепенном увеличении нагрузки до значения Р„пока не происходит посадка рабочих витков на опорную поверхность, пружина обладает линейными свойствами.

Затем витки начинают ложиться на эту поверхность, длина деформируемой части пружины постепенно уменьшается, а жесткость пружины возрастает. При некотором значении сжимающей силы Р, вся пружина ложится на опорную поверхность и в этом состоянии представляет собой почти плоскую спираль. На этом этапе деформирования характеристика пружины нелинейная (жесткая). вж 67 Построение такой характеристики пружины — сравнительно несложная задача сопротивления материалов. Приведем окончательные результаты ее решения, обозначив: 6 — модуль сдвига материала пружины; д — диаметр проволоки; г, и г, — наименьший и наибольший радиусы рабочих витков пружины; Н вЂ” осевая длина (высота) пружины в несжатом состоянии; у~ — осадка пружины, соответствующая началу посадки рабочих витков; 1 — число рабочих витков.

При этом на первом этапе деформирования ДД4у 1 б1 (г4~ + г3) (г + ~~) На втором, нелинейном этапе деформирования (,*~- в(,~-..) ~"'~ и —. 1' "') Еще более распространены в практике резиновые амортизаторы, работающие на сдвиг или сжатие. В первом случае их можно считать практически линейными в широком интервале значений их нагрузки. Однако амортизаторы, работающие на сжатие, обладают заметными нелинейными свойствами. Так, для цилиндрического амортизатора с круговым сечением можно принять следующее выражение упругой характеристики: Р =фЕГ Здесь Š— динамический модуль упругости резины; Р— площадь поперечного сечения амортизатора; Н вЂ” высота недеформированного амортизатора; р — коэффициент, определяемый формулой — )'б — Уб — й 1Г6 где г — радиус поперечного сечения.

В автомобильных подвесках и шасси самолетов применяются пневмопоршневые упругие элементы (обычно в сочетании с гидравлическими демпферами). Связь между объемом 1' и давлением р воздуха (или иного газа) обычно определяют уравнением политропного процесса рГ" = сопз(. Значения показателя политропы и чаще всего лежат в пределах 1,15 — 1,35 (при относительно медленных движениях можно принимать п = 1). Если 5 — площадь сечения элемента, Н вЂ” расстояние от днища цилиндра до поршня в его начальном положении, р, — начальное давление, то Р45Н~ (и у)п Схема пневмоэлемента и его упругая характеристика показаны на рис.

11.25, д (см. также [19)). 68 Малые колебания систем с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы;равночастотные виброизоляторы При весьма малых колебаниях систем с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы можно пользоваться изложенной выше линейной теорией. Пусть, напримср, система па рис.

11.25, г нагружена значительной статической силой Р и совершает малые свободные колебания около соответствующего положения равновесия, обозначенного на рис. 11.25, г буквой А. При этом колебания можно считать линейными, принимая за коэффициент жесткости системы тангенс угла наклона касательной к нелинейной характеристике в точке А: с=( — „) =Р'(А).

Тогда для частоты свободных колебаний получится Р' (А) Р= (П.88) Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение искомой нелинейной характеристики пружины. Решение уравнения (11.89) имеет вид 1п Р= — 'у+ С. (!1.9О) И Отсюда непосредственно видно, что интегральные кривые уравнения (11.89) одинаковы по форме, как это показано на рис. 11.26, а. Любая из этих характеристик удовлетворяет уравнению (11.89), но для определенности решения нужно выбрать постоянную С 69 Этот результат зависит от уровня статической нагрузки Р, но пе зависит от амплитуд колебаний (если они малые!).

Это свойство нелинейной системы нашло практическое применение в равночастотпых виброизоляторах, предложенных Ю, И, Иоришем. Положим, что на верхнем конце фасонной пружины (типа изображенной на рис. 11.25, г) могут располагаться различные грузы, обладающие неодинаковыми массами. Каждому значению массы груза соответствует определенное значение осадки пружины и соответственно некоторое, также определенное значение коэффициента жесткости.

В некоторых случаях полезно так спроектировать пружину, чтобы с увеличением массы груза пропорционально возрастал и коэффициент жесткости; тогда частота свободных колебаний окажется во всех случаях одной и той же. Пусть р — выбранное фиксированное значение собственной частоты. Заменяя в (11.88) и = Р~д, получим йР ~Р (П.89) "У Я и тем самым зафиксировать одну конкретную интегральную кривую. На первый взгляд для этой нели должно быть использовано начальное условие у =- 0 при Р =- О, так как статическая характеристика должна проходить через начало координат.

Однако ни одна из бесконечного множества интегральных кривых (11.90) через начало координат не проходит и, следовательно, не может быть принята за характеристику. Чробы преодолеть эту трудность, обычно пользуются следующими соображениями. Г1усть Р, — наименьшее возможное значение веса груза (оно определяется конкретными обстоятельствами и соответствующими техническими требованиями). В таком случае при Р < Р, система О У, а У, У Рис. 11.26 может иметь характеристику, не удовлетворяющую уравнению (11.89), в частности линейную характеристику Р— с д. (11.91) Далее будем стремиться к плавности перехода от линейного участка к нелинейному, как это намечено штриховой линией на рис.

11.26, а, т. е. подчиним выбор искомой характеристики условию: при Р = Р, должно быть АР Р Ид ц (П.92) Согласно (11.89) это условие выполняется, рис. 11.26, а) у, = д/р'. Таким образом, чтобы найти постоянную ваться условием Р =- Ро при у =- дlр'. если принять (см. С, нужно пользо- (11.93) Тогда из (11.90) найдем Р'У Р=Р„е Я (П.94) причем эта кривая начинается в точке с координатами у = д/р', Р = Р,.

От этой точки к началу координат проводится прямая,, уравнение которой (11.91) приобретает вид Р=Р,—. (11.95) Ы На рис. 11.26, б изображена вся характеристика, составленная из двух частей — (11.94) и (11.95). Теперь возникает задача конструирования такой пружины, которая обладает только что построенной характеристикой. Не останавливаясь на сс решении, отметим, что форма такой пружины довольно близка к конической и поэтому часто условие равночастотности приближенно удовлетворяется путем использования конических пружин, относительно более простых в изготовлении. Основное дифференциальное уравнение и его точное решение Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (11.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х): тх ~-Р(х) = О.