Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Хотя это уравнение выведено для схемы, показанной на рис. 1.1, б, но к аналогичному уравнению можно прийти при решении любой задачи о свободных колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы без трения. Так, для системы, совершающей крутильные колебания, в эту формулу вместо массы т нужно подставить момент инерции 1, вместо перемещения х — угол поворота ср, вместо восстанавливающей силы Р (х)— восстанавливающий момент М (~р).
Разделив уравнение на массу т, получим (11,96) где 1 (х) = Р (х)'т. (11.97) Ввиду сложности решения уравнения (11.96) обычно ограничиваются определением частоты свободных колебаний, не выясняя деталей протекания процесса колебаний; этого оказывается достаточно для многих практических приложений. Выразив ускорение в виде ЙО ~Ь Й~х Йl х — — -= — О, сп дх Ж йх где а — скорость, получим вместо уравнения (11.96) -Й~ о — —,'-1(х) = О.
Йх Разделяя переменные, находим 'о до = — 1 (х) Йх. 71 При интегрировании выберем за начало отсчета времени мгновение наибольшего отклонения, когда перемещение х максимально (х,„ =- а), а скорость равна нулю (и = 0). Тогда будет или х а — = — ) ((х) (х = ) ((х) (х. а к Это соотношение выражает закон сохранения энергии: в левой части стоит кинетическая энергия, накопленная в процессе движения от крайнего положения (х = ц; и = 0) к текущему положению (х; и), а в правой части — потенциальная энергия, потерянная в процессе того же движения (эта энергия на графике нелинеинои характеристики восстанавливающей силы на рис. 11.27 выражается заштрихованной площадью).
Отметим, что обе энергии отнесены к единице массы. Из последнего выражения получим а х —.— х, — — ')( 2 1((х) с(х. (И.98) х Рис, 1!.27 Из двух знаков перед корнем знак минус взят потому, что в рассматриваемом интервале движения скорость отрицательна. Интегрирование уравнения (11.98) дает время 1 в функции перемещения: дх Йх а (х а с 2 1 ( (*) х* 1х 2 ~ ) (х) х х х к Если вести интегрирование в пределах от х = 0 до х = а, то для системы с симметричной характеристикой будет найдено время четверти полного колебания (четверть периода). Соответственно период колебаний равен 7'=21 2 (П.99) а ~ 1(х) ((х о х эта формула дает возможность найти точную зависимость периода свободных колебаний от их амплитуды.
72 Остановимся на случае симметричной характеристики, описываемой законом 1 (х) = ах2" -' (и = 1; 2;...), (11. 100) где а и и --- постоянные. Последовательно находим а 1 (х) Дх (гг2п х2л). 2л х 1 1 1 а% сг ал )/ 1 гг2л а Ъ Йх 1 / а ( 2л 2л) гг О где ~ = х1'а. Окончательно по формуле (11.99) получаем 1 Т=4 а ал ') г/1 у„ л О (11. 101) 1 О Входящий сюда эллиптический интеграл может быть вычислен при помощи таблиц специальных функций; его значение 1,8541Д" 2. Следовательно, Т = 1,8541. ахи Для частоты свободных колебаний получим р= — = 0,8472а3~ а, (П.102) т. е. частота линейно увеличивается с ростом амплитуды.
73 Отсюда видно, что только при и == 1 (линейная характеристика) период Т не зависит от амплитуды колебаний; в остальных случаях существует связь между периодом и амплитудой. Существование подобной связи вообще типично для нелинейных систем. По этой причине применительно к таким системам избегают пользоваться термином «собственная частота», поскольку частота свободных колебаний перестает быть собственным параметром системы, Рассмотрим колебания в системе с кубической характеристикой Г (х) = ах'. Тогда 11 = 2, и из выражения (11.101) находим д = (а — а,) соз ро1, для полного разжатия правой пружины потребуется время 1~ = л'(-"ро). 1~ этому моменту скорость груза равна "о) Ро Расстояние, равное полузазору а,, груз пройдет за время ~2 (а — ао) Ро Таким образом, общее время, в течение которого груз достигнет среднего положения, составляет 1 и а, ~1+ ~2 + ро ~2 а — ао Очевидно, найденное время колебаний системы, так что записать 4 Т=- Ро есть четверть периода свободных для периода этих колебаний можно Соответственно круговая частота свободных колебаний системы с зазором равна Сравнительно несложно найти точное решение и в тех случаях, когда нелинейная характеристика восстанавливающей силы состоит из отрезков прямых (кусочно-линейная характеристика).
Г1ри этом нет необходимости пользоваться формулой (11.99), достаточно рассмотреть несколько линейных задач, соответствующих отдельным линейным участкам характеристики. В качестве примера рассмотрим систему с зазорами (см. рис. 1.4, а) и обозначим: ао — полузазор, т. е. абсцисса точки перелома характеристики; а — амплитуда колебаний; с — коэффициент жесткости каждой из пружин; и — масса груза; р, = с!и — собственная частота системы, в которой груз неизменно связан с пружиной. Представим, что грузу было задано начальное смещение а от положения равновесия (вправо), после чего груз был отпущен с нулевой начальной скоростью.
Тогда груз начнет двигаться влево, и правая пружина будет разжиматься, пока груз от нее пе отделится. Затем груз будет двигаться в зазоре с постоянной скоростью, достигнет конца левой пружины, начнет ее сжимать до тех пор, пока его координата не станет равной — а; затем весь этот процесс повторится в обратном порядке. На первом этапе движения, когда груз связан с правой пружиной, движение описывается законом Представление движения на фазовой плоскости Для построения фазовых траекторий представим основное дифференциальное уравнение задачи (11.96) в виде двух уравнений первого порядка: дх ди — = — г —" = — 1(х) И ' Л и разделим второе из этих уравнений на первое.
Тогда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий Йи Г (х) в этом уравнении время 1 отсутствует. Совокупность интегральных кривых уравнения образует фазовый портрет системы. Так как переменные разделяются, то можно получить о' = — 2 1 ~ (х) лх -~- с. Постоянная С определяется одним начальным условием: о = = оо при х = х„так что каждой конкретной комбинации х„ оо соответствует определенная интегральная кривая. Пусть, например, 1 (х) — ссх'; тогда ' =- — "+ С. (П.1ОЗ) Для определения постоянной С подставляем сюда х = х„о = ио и получаем их о ~ о о — — ~о.
4 Рис. 11.28 Теперь запишем уравнение (11.103) в виде т. е. На рис. 11.28 сплошной линией представлена типичная кривая о (х), служащая фазовой траекторией для определенных начальных условий хо, ао. При изменении этих условий фазовые траектории принимают вид, изображенный штриховыми линиями. Общий характер фазбвого портрета не отличается от показанного на рис. 11.2 для линейной системы; это сходство объясняется консервативностью обеих систем (линейно-упругой и нелинейно- упругой).
Приближенные решения Хотя формула (11.99) для периода свободных колебаний припципиально точна, но при решении практических задач приводит к громоздким выкладкам, обычно невыполнимым в замкнутой форме. Эти трудности можно обойти, пользуясь излагаемыми ниже приближенными способами определения частоты свободных колебаний. Простейший способ.
1-1аиболее прост (хотя весьма неточен) следующий прием. Примем, что колебания в рассматриваемой системе описываются законом х = а з1п (р ~ + а), (11. 104) подобно тому, как это имеет место в линейных системах. Выражение (11.104) является точным решением только в том случае, когда характеристика 1' (х) линейна, но в общем случае подстановка выражения (11.104) в урав- П =о пение (11.96) не обращает его в тож! дество. Смягчим требования точном ~ сти й потребуем, чтобы уравнение (11.9б) выполнялось хотя бы в те моменты, когда отклонение х достигает максимума, т. е. равно а.
При о Р г Р' этом ускорение х также максио мально: х,„= — ар'. (11.105) Рис. 11.29 Следовательно, для указанных моментов времени должно выполняться равенство — ар' + 1 (а) = О, т. е. р = —. г (а) а Последняя формула определяет частоту свободных колебаний р в зависимости от их амплитуды а.
Хотя эта формула очень неточная, при ее помощи можно получить правильное общее представление о связи а (р'). Так, если нелинейная характеристика имеет вид Г (х) = рох + ах' (р„а — заданные числа), то Р3а 4- ааэ График этой зависимости представлен на рис. 11.29, из которого видно, что с ростом амплитуды свободных колебаний их частота увеличивается при и ) 0 (в случае жесткой характеристики) и уменьшается при а ( 0 (в случае мягкой характеристики). Подобно этому могут быть построены приближенные зависимости а (р') для других типов характеристик, 76 Метод малого параметра.
В основе метода лежит предположение о том, что система обладает «слабой» нелинейностью. Такова, например, система, колебания которой описываются дифференциальным уравнением х + рох + ах' = О, (11. 106) если параметр а достаточно мал. В подобных случаях решение следует искать в виде разложения по степеням малого параметра: х = х„+ их, + и-х., +..., (11.107) х, + ах, + а'х., ~ (р' + ис, + а'с,)(х, + ах, + + а'х,,) + а (х, + их, + а-'х,)' = О. Раскрыв скобки и сохраняя члены, содержащие а не выше, чем во второй степени, получим х„+ р'х„+ а (х, + р»х, ' - с,х, + хо~) + + а- (х., + р-'х» + с,х + с,х1 + Зхох,) = О. Это уравнение должно быть справедливо при любом малом значении и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
