Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При записи решения (11.148) предполагалось, что колебания являются одно- частотными, т. е. для любого диска описываются одной гармоникой: гр; = а; з(п (р1 + дх). Существование ряда значений частот р требует обобщения решения (11.148) и записи его в виде гР; = а; д вдп (Рдг — ~ - Яд) -1 - а; е ейп (Рад —; — Яа) — 1 +а„„дып(р„д1+а, д) (1=1; 2; ...; П). Здесь первый индекс у амплитуды означает номер диска, а второй индекс — номер соответствующей частоты.
Для получения общего решения необходимо учесть возможность вращения всей системы как жесткого целого (что соответствует частоте р =- 0), т. е. добавить слагаемое вида (11.147): гР; = ао + го1 — ~ а д 81п (Рд1 + <хд) - ~- а;о Б1п (Ра1+ Яа) + + . + а„„дз!п(р„д1+ сс„д) (д =1; 2; ...; П). (11.153) В уравнениях (11.153) содержится 2а неизвестных: и — 1 неизвестных амплитуд колебаний первого диска (а„, а„,, а, „,); п — 1 неизвестных начальных фаз (сс„а„..., а„д); угловое смещение а, и угловая скорость од (амплитуды колебаний всех остальных дисков а,д, определяются через амплитуды составляющих колебаний первого диска адь, отношения а ь/ада зависят от номера частоты й и определяют соответствующие формы колебаний).
Таким образом, для полного решения задачи необходимо и достаточно указать 2п начальных условий — угловые смещения и угловые скорости всех гд дисков при д = О. 96 При произвольно заданных начальных условиях колебания каждого диска будут многочастотными, т. е. составятся из суммы гармоник. Если начальные угловые смещения соответствуют одной из собственных форм колебаний, то в дальнейшем процессе будет реализована эта и только эта форма (и соответствующая частота); в общем же случае колебания будут носить сложный характер и представят собой совокупность п — 1 форм колебаний.
Относительное значение каждого из них зависит от близости заданной системы начальных смещений к той или иной собственной форме. Вычисление собственных частот и форм способом последовательных приближений. До внедрения ЭВМ в практику инженерных расчетов для определения собственных частот многомассовых систем широко использовался вариант способа последовательных приближений («способ остатков»), не полностью потерявший свое значение до сих пор.
Способ основан на использовании цепной структуры системы (П.149). Принимая а, = 1 и задаваясь ориентировочным значением р', из первого уравнения системы (11.149) находят амплитуду а.„ из второго уравнения той же системы можно определить амплитуду а„из третьего уравнения — амплитуду а., и, наконец, из предпоследнего уравнения — амплитуду а„, Если в последнее уравнение — с„, (а„— а„,) -'- 1„р'а„= О подставить вычисленные значения а„, и а„, то оно, вообще говоря, не будет удовлетворяться из-за произвольности исходного значения р'.
Полученное значение левой части (остаток) характеризует меру неточности принятого значения р~ и одновременно ориентирует, в какую сторону нужно изменить расчетное значение р' в следующем приближении. Далее производят повторный расчет при новом значении р'. Знак и величина нового остатка помогут указать необходимую поправку в значении р'. Расчет повторяется до тех пор, пока не будет достигнут удовлетворительный результат в последнем уравнении.
Хольцер и Толле предложили компактную табличную схему вычислений, основанную на соотношениях типа с,. (а,.„— а,) = — 1,р'а, — 1,р'а,— — 1,.р'ц, (П.154) которые получаются из уравнений (П.149) после сложения первых 1 уравнений системы. Соотношение (П.154) выражает равенство крутящего момента в сечении 1-го участка вала (левая часть) сумме моментов сил инерции всех расположенных слева дисков (правая часть). Задаваясь значением р' и принимая а, = 1, находим из соотношения (11.154) для ~ = 1 р« а,= — — — '+ 1, с„ 7 я.
Г. нано»ко Далее из того же соотношения для ! = 2 1,р' + 1,р'а, с, Общая формула имеет вид 1ьр'иь ь=1 с; (11.155) а„,= Процесс продолжается таким образом до п — 1-го уравнения. Найдя из него а„, можно перейти к последнему уравнению и вычислить его левую часть. При правильном выборе значения частоты результат должен быть равен нулю, так как если сложить все уравнения типа (11.154), то должно получиться А=и .7л 1ьР'аь = О. 1=1 Рис.
!1,37 Конечно, из-за произвольности принятого значения р' нуля в результате не получится. Полученный остаток выражает неуравновешенный момент, который должен быть равен нулю при правильном выборе величины рг. После нескольких расчетов такого типа (при разных значениях р') можно построить кривую зависимости остатка Я от р' (рис. 11.37). Точки пересечения кривой с осью абсцисс соответствуют истинным значениям частот. Разумеется, все эти выкладки очень просто реализуются на ЭВМ. Объем выкладок может быть уменьшен, если известны ориентировочные значения частот; для их определения часто пользуются заменой заданной системы упрощенной трехмассовой системой.
11 = 12 = 1г = 14 = 1ь = 1 = 2830 кгс см'с; 1, = 85 000 кгс см с'; 1, = — 27 000 кгс см с'; с1 — — сь =- св = с4 = с = с = 740 10 кгс.см; с, = 14,8 10в кгс см. пример !О. Способом последовательных приближений приближенно определить собственные частоты шестимассовой системы (рис. 11.3В, а). Система представляет собои уточненную по сравненшо с примером 8 судовую дизельную установку и состоит из дисков 1 — б, к которым приведены кривошипы двигателей, маховика 7 и гребного винта В с присоединенными массами гребного ва а и воды. Данные системы: ,Г(ля приближенного определений двух нйз!пих частот образуем упрощбнную систему (рис.
1!.38, б); здесь первые шесть дисков заменены одним общим диском 1, для которого 11 —— 6*2830 =17 000 кгс см с'", и изменена нумерация для двух последних дисков (маховик 2 и гребной винт 3). а) 7Ф б) Рнс. !1.38 Жесткость первого участка в упрощенной схеме 740 10' с, = = 211,4. 10' кгс см 3,5 (длина участка 1 — 2 в упрощенной схеме в 3,5 раза больше длины каждого участка между дисками 1 — б в заданной схеме). Для втой упрощенной схемы в рассмотренном выше примере 8 были найдены р~~ —— — 690 с ' и р2 = 15 000 с з. Эти значения примем в качестве исходных и уточним нх способом Хольцера — Толле.
Уточнение значения первой частоты и первой собственной формы колебаний. Принимая р' = 690 с ', заполняем табл. 2. Таблица 2 Расчетная таблица 1-го приближения (при ра = 690 с ') ~', '!р'а Х х 10-В № диска ~р !о- а грр ьо а с ЛО-а 1,95 Сравнительно небольшое значение остатка (0,8 ° 10') означает, что принятое значение р' = 690 с а не слишком сильно отличается от истинного. Для второго приближения принимаем несколько измененное значение р' = 700 с ' и вновь составляем таблицу (табл. 3). Полученный остаток ( — 1,0 10') имеет другой знак, чем в первом расчете; можно утверждать, что истинное значение квадрата первой частоты лежит в пределах 690 — 700 с '. Пользуясь линейной интерполяцией, находим достаточно з точное значение квадрата первой частоты р~ — — 694 с ', т. е.
рг = 26,4 с г. На рис. 11.39 штриховой линией показана найденная уточненная собственная форма 2 830 2 830 2 830 2 830 2 830 2 830 85 000 27 000 1,95 1,95 1,95 1,95 1,95 1,95 58,7 18,6 1,000 0,997 0,992 0,984 0,974 0,961 0,946 — 3,57 1,94 !,93 1,92 1,90 1,87 55,6 — 66,4 1,95 3,89 5,82 7,74 9,64 11,51 67,1 0,8 740 740 740 740 740 740 14,8 0,003 0,005 0,008 0,010 О,О! 3 0,015 4,52 Таблица 3 Расчетная таблица 2-го приближения (при ра = 700 с ') ~~ 1раа х ~ 1р'а Х 10-а № диска 1р~ 10 1р'а.10 740 740 740 740 740 740 колебаний; она незначительно отличаегся от полученной в примере 8 (сплошная линия), Уточнение значения второй частоты.
Заполняем расчетную табл. 4, принимая р' =- 15 000 с -'. Таблица 4 Расчетная таблица 1-го приближения (при ра = 15 000 с ') 1раа ~ 1раа к Х 10 № диска 1р 10- а 1р"-а 10 с 1О 42,4 84,4 0,057 0,111 0,159 0,198 740 740 740 740 0,225 0,239 12,90 740 740 14,8 1275 405 Остаточный момент ( †50.100) настолько значителен, что для второго приближения необходимо резкое изменение расчетного значения р'.
Принимаем для второго приближения р' =- 20 000 с ' и вновь заполняем расчетную таба1. 5. Остаточный момент (6007 10а) также очень велик, но отличается знаком ог пергого приближения. Пользуясь линейной интерполяцией, находим квадрат второй частоты р„ — 17 280 с а. Затем следует вновь повторить вычисления, пока разница между частотами в двух последовательных расчетах не станет достаточно малой. Отметим, что расчет высших собственных частот всегда требует сравнительно больших вычислений.
100 ! 3 4 б б 7 8 2 830 2 830 2 830 2 830 2 830 2 830 85 ООО 27 000 2 830 2 830 2 ВЗО 2 830 2 830 2 830 85 000 27 000 1,98 1,98 1,98 1,98 1,98 1,.98 59,5 18,8 42,4 42,4 42,4 42,4 42,4 42,4 1,000 0,997 0,992 0,984 0,973 0,960 0,944 — 3,64 1,000 0,943 0,832 0,673 0,4?5 0,250 0,011 — 12,39 1,98 1,97 1,96 1,95 1,93 1,90 56,2 — 68,9 42,4 40,0 35,2 28,5 20 2 10,6 14,0 — 5220 1,98 3,45 5,91 7,86 9,79 ! 1,69 67,9 — 1,0 117,6 146,1 166,3 176,9 190,9 — 5029 0,003 0,005 0,008 0,011 0,0! 3 0,016 4,58 Таблипа 5 Расчетная таблица 2-го приближения (рз = 20 000 с ') У. 1р'а с 10 с ~, гр'а х Х 10- № диска 1р 10 1р2а 1О-е 1,000 740 740 740 740 740 740 14,8 0,077 0,147 0,206 0,250 0,274 0,279 — 11,67 0,923 0,776 0,570 0,320 0,056 — 0,223 11,45 Для рассмотренной системы вычисленные с помощью ственных частот имеют следующие значения (с точностью циФР): р; — 692,266 с ~; р~~ — 17786,8 с в; р~~ = 1ЗЗ ЭВМ квадраты собдо шсстн значащих 889 с р4 = 339 361 с ~; р; = 587 200 с ', ра = 820 635 с р-, = 986 189 с Изгибные колебания балок с сосредоточенными массами Общие замечания.
Бо многих случаях приемлемой схемой балочной конструкции служит упругая безмассовая ось («скелет» конструкции), с которой связано некоторое конечное число сосре- доточенных масс т„т„..., т„(НаПрИМЕр, рИС. 11.40, а). и) Р1Г 1пг Л1и Как было указано выше, для решения задач этого Естес типа предпочтительнее обратный способ, основанный ю) на введении сил инерции, приложенных к безмассовому упругому «скелету» — я:;.а1 системы. Пр и этом удобно Р воспользоваться понятием Рис.
11.40 единичного перемещения б;ь как перемещения в направлении 1, вызванного единичной силой, действующей в направлении 7е (рис. 11.40, б) '. Если на систему * Едипичныс перемещения называются также коэффициентами влияния. Под Рь могут подразумеваться пары; тогда 6;ь — перемещение, вызванное единичной парой Ра = 1 в направлении 1. 101 2 830 2 830 2 830 2 830 2 830 2 830 85 000 27 000 56 6 56,6 56,6 56,6 56,6 1700 540 56,6 52,2 43,9 32,3 18,! 3,2 — 379 6180 56,6 108,8 152,7 185,0 203,1 206,3 — 172,7 6007 по Й-му направлению действует сила Р~ = 1 и требуется определить вызванное ею полное перемещение в !-м направлении, то вследствие пропорциональности между силой и перемещением можно написать у; = Р!,Ь:~. При одновременном действии сил ЄР„..., Р„полное перемещение найдем суммированием: (11.156) Эта формула и является основой для составления уравнений колебаний по обратному способу.
Способы определения величин б!!, подробно рассматривать не будем, так как они даны в кур- к м~(к) Рис. 11,4! сах сопротивления материалов; приведем лишь необходимые справочные сведения. Для определения перемещения бд при изгибе стержней используется формула Мора М;М~ к!х о где Е3 — жесткость сечения при изгибе, в общем случае зависящая от абсциссы х; М; (х), Л1(, (х) — изгибающие моменты, вызванные соответственными единичными силами Р; =- 1 и Р, = 1 (рис. 11.41). Во многих случаях удобна формула Верещагина, являющаяся графоаналитической интерпретацией формулы Мора: где Й; — площадь части эпюры Я,; Лк1(, — ордината в эпюре Мь соответствующая абсциссе центра тяжести й;. При пользовании формулой Верещагина необходимо разделить длину стержня на такие участки, чтобы в пределах каждого из них эпюра М~ была ограничена прямой линией. Напомним также о справедливости равенства 6((, — — бд;, составляющего содержание теоремы Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
