Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Без ущерба можно опустить общий множитель р', так как масштаб формы колебаний не имеет значения; следовательно, первое приближение для формы колебаний определяется амплитудами (пд) 1 (1~д) 0) (п2) д ((д2) 01 в (д~л) 1 ((дл) 0 Подставив эти величины в правые части системы (11.166), аналогичным образом получим второе приближение и т.
д. Продолжая этот процесс, можно (и довольно быстро) дойти до приближенного повторения результатов, когда система амплитуд в А — 1-м приближении будет отличаться от системы амплитуд в А-м приближении только общим масштабам, т. е. ( д /Г ( 2)дд ( л)А (ад)д, д (а,)», д (а,,)д, д Этим завершается определение основной формы колебаний. Затем сразу находим и основную частоту: так как (а;) = р'(а;) то для квадрата частоты получим 2 (ддд)д (ад)дд д Колебания автомобиля Будем рассматривать автомобиль как систему упруго связанных жестких тел 1 — б (рис. 11.45, а).
Здесь тело 1 схематически представляет собой кузов автомобиля, а тела 2 — 5 — колеса, массы которых примем сосредоточенными. К подобной же схеме приходят при рассмотрении колебаний железнодорожных вагонов, локомотивов и других транспортных средств этого типа. Движение такой системы в процессе колебаний характеризуется семью координатами: д, — — вертикальное перемещение центра тяжести кузова; д2, д„д„д, — вертикальные перемещения центров тяжести колес; д, — поворот кузова относительно поперечной оси; д, — поворот кузова относительно продольной оси. Распределение масс автомобиля и жесткостей упругих связей почти симметрично относительно средней продольной плоскости, поэтому в расчетах колебаний некоторую малую асимметрию игнорируют.
При этом общий процесс колебаний можно рассматривать состоящим из двух взаимно не связанных процессов: продольных колебаний (рис. 11.45, б), характеризуемых вертикальным перемещением кузова (д,), поворотом кузова вокруг поперечной оси (д,) и попарно равными перемещениями обоих передних колес (д, = д,) и обоих задних колес (д, = д,); поперечных (боковых) колебаний (рис. 11.45„в), характеризуемых поворотом ку- !08 зова вокруг продольной оси (у,) и попарно равными перемещениями обоих левых колес (у., =- у,) и обоих правых колес (у4 — — у,). Соответственно этому продольные колебания описываются четырьмя, а поперечные колебания — тремя дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим продольные колебания, которые представляют основной интерес. Обозначим жесткости шин через с, жесткости передних и задних рессор соответственно через с„и с„массы кузова н колеса через и и т„. Радиус инерции кузова относительно поперечной Рис. 11,45 оси, проходящей через его центр тяжести, обозначим через р. При этих обозначениях осадки передней (Л„) и задней (Л,) рессор составляют Л„= У~ + У6 — У2' ~з = У~ "Ув Уз Здесь а и Ь вЂ” расстояния от центра тяжести тела 1 до передней и задней осей (рис.
11.45, 6). Уравнения движения составим в форме Лагранжа. Кинетическая энергия системы складывается из следующих частей: кинету, тр у6 тической энергии кузова — + —; кинетической энергии ° з '2 кУ2 т„уа передних колес 2 — '; кинетической энергии задних колес 2 — "' . Суммарная кинетическая энергия 2 ~~ну~ + р У6) + 2~п„(У~+ Уз)~ ° (11. 1б7) Потенциальная энергия состоит из энергии деформации рессор 2 — '" + 2 — '' = с„(у, — у, + ау6)'+ с, (у, — у,, — Ьу,)' и энергии сжатия шин с 2 си~ 2 2 + 2 2 с(У~+ Ув). 109 Суммарная потенциальная энергия П = — св (у~ — дз + аув) + с, (уд — уз — Ьув) + с (Уз + Уз) (11.168) В данном случае уравнения Лагранжа имеют вид ту, + 2с„(у, — у, + ау,)' + 2с, (у, — у, — Ьу,) = 0; 2твуз — 2с„(у, — — у, + ау,) + 2су, = О; 2т.уз — 2с, (уз — уз — Ьув) + 2суз = 0' тР Ув + 2с (У~ — Уз + аув) а — 2с» (ув — уз — Ьув) Ь = О.
(11.169) П = с (у, + ау,)' + с, (у, — Ьу,)'. Уравнения Лагранжа примут вид ту, + 2с„(у + ау,) + 2с, (у, — Ьу,) = 0; пудов + 2с„(д, + ау,) а — 2с, (у, — Ьу,) Ь = О. Подставив сюда частное решение (11.170), получим систему — та,р' + 2с, (а, + аа,) + 2с, (ав — Ьа,) = 0; — тр'р'а, + 2с„(а, + аа,) а — 2с, (а~ — Ьа,) Ь = О, или а, ( — тр' + 2с„+ 2с,) + а, (2с„а — 2с,Ь) = 0; а, (2с„а — 2сзЬ) + ав ( — трзр' + 2с,а' + 2сзЬз) 0 3 п з в и 3 ' ~ (11 171) 110 Частное решение этой системы у; = а; з1п (р1+ св) (1 = 1; 2; 3; 6). (11.170) Подстановка выражения (11.170) в систему уравнений (11.169) приведет к уравнению той же структуры, что и в задачах, рас- смотренных выше; в ча- а | стности, соответственно числу степеней свободы обнаружатся четыре значения собственной частоты колебаний.
Задача может быть упрощена, если считать шины недеформируемыми (рис. 11.46), Такая система обладает двумя степенями свободы, соответствующими координатам у, и у,. Положим в выражениях (11,167) и (11,168) у, = у,. = О. Тогда соответственно для кинетической и потенциальной энергии получим 7 = — (У~+ Р Ув)» Для получения нетривиального решения необходимо приравнять пулю определитель, составленный из коэффициентов при а,иа6: — тр'+ 2с„+ 2с, 2с„а — 2с,Ь Развертывая определитель, получим частотное уравнение второй степени относительно р'. р4 рд(с (аЯ+ра) ~ с (Ь2+р2)д д и э (а ~ Ь)2 О (11.
172) После определения частот из этого уравнения, можно найти обе собственные формы колебаний. Для этого из какого-либо (например, из первого) уравнения системы (11.171) нужно образовать отношение амплитуд а тр — 2с„— 2с, (11.173) ад 2спа — 2сзЬ и подставить в него поочередно оба корня частотного уравнения. То же можно получить при помощи второго уравнения (11.171). Остановимся на частном случае такого распределения масс, когда р' = аЬ, т.
е. когда радиус инерции автомобиля равен среднему геометрическому между величинами а и Ь (рис. 11.46). Отметим, что для этого расстояние а + Ь между осями автомобиля должно быть значительно меньше его общей длины (это на самом деле имеет место в автомобилях современной компоновки). В этом случае корни частотного уравнения (11.172) 2с„ (а + Ь) . 2 2с, (а †,'- Ь) тЬ ' Р та (П. 174) Для определения собственных форм колебаний подставляем эти корни поочередно в выражение (11.173). Тогда получим для первой формы а„= аддИ и для второй формы а„= — а„lа. Эти формы показаны на рис. 11.47, а и б; их особенностью является неподвижность одной оси автомобиля при колебаниях другой. Формулы (11.174) показывают, что в этом частном случае частоты можно вычислять, пользуясь схемой, показанной на рис. 11.47, с, т. е. распределяя общую массу по закону рычага.
В другом частном случае, когда с,а = с,Ь, уравнения (11.171) становятся независимыми: а, ( — тр' -~- 2с, + 2с,) = О; а, ( — тр'р' д; 2с„а' -1- 2с,Ь"-) -- О, (11. 175) 111 что означает возможность чисто вертикальных колебаний при отсутствии поворотов («подпрьдгивание» вЂ” рис. 11.47, г), а также чисто угловых колебаний при неподвижности центра тяжести («галопирование» вЂ” рис. !1.47, д). Действительно, система (11.175) удовлетворяется решением а, + О, ав = О при выполнении равенства — пгра+ 2сп + 2с,.
= О (11. 176) и решением а, = О, а, + О при выполнении равенства — тир'р' + 2с,а' + 2с.,1га = О. (1! . 177) ф) а и) ага 2) Рис, 1!.47 Из равенства (11.176) находим первую собственную частоту 2 <с„+ с,) Рд=— т Э а из равенства (11.17?) — вторую собственную частоту 2 <Спа» 1- Сзгд') Можно далее найти, что если параметры автомобиля удовлетворяют равенству < С„а + Сзгг» ~Д 4Спе, <а+ гг)а г, с+с+ то одновременно удовлетворяются оба рассмотренных выше усло- вия спа = — с,Ь и р' = — аЬ и обе гастоты рд и ра оказываются оди- наковыми.
Пример 14. Определипгь собственные частоты и собсгпвенньге форлгьс колебаний автолсобиля, для которого известны: т = 1,6 кгс.с'см ', р = 122,5 см; 2с„=- 48,4 кгс см ', 2с, = 37 кгс см '; а = 131 см; гг = 139 см. Уравнение (!!.172) принимает вид р4 117 8рд + 3400 = 0 откуда р' — 58,9 ч 8,3 с ' Значения частот: рд = 7,11 с д и рд = 8,20 с '. 112 Для определения собственных форм колебаний воспользуемся формулой (11.1731: ав, 1 6 50,6 — 48,4 — 37 а,~' 48,4 131 — 37 139 0,0037 см ', ав, 1,6 67,2 — 48,4 — 37 ат, 48,4 131 — 37 139 — 0,0183 см т. Эти формы показаны на рис. П.48, а и б; первая форма представляет собой в основном «подпрыгивание» кузова, а вторая — «галопирование».
и) гз! Ю Рис. 11.48 Убедимся в ортогональности этих форм. В нашем случае условие ортогональности имеет вид /' „а„а„'~ та„а,в+ тр-ав,а«в = тана„( 1 ~ р — — 1 = О. а„ а„ / Подставив значения, получим та„а, (1 — 15000 0,0037 0,0183) = О. 8. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ (ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ) Основная особенность систем с непрерывно распределенной массой заключается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системах с несколькими степенями свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных.
Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать граничные условия, характеризующие концевые закрепления стержня. Продольные колебания стержней Основное уравнение и его решение. При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис, П.49, а) будем считать, что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают поперечных движений и перемещаются только в продольном направлении. Пусть и — продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение зависит от местоположения се- 113 8 я.
г. пвнввко чения (координаты х) и от времени 1, Таким образом, и = — и (х, ~) есть функция двух переменных; ее определение н представляет основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения ди равно и + — с(х, и, следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого элемента с(х равно — Ых (рис. 11.49, б), а относиди ди тельное удлинение в = —, дх ' дА й+ — ~» д» Рис. 11.49 Соответственно этому продольная сила в сечении с координатой х может быть записана в виде Л' = ЕГе = Еà —, (11.178) — ~+(У~ — '~ )=р»».—, д~~' х д2и дх ) д»2 или дФ д'и — =рà —,, дх д»'» (11.179) Учитывая выражение (11.178) и принимая, что Г = сопэ1, по- лучаем д'и д'-и с' — = —., дх' д»'» ' (11.18О) где (11.181) с~ = Е1р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
