Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 19
Текст из файла (страница 19)
114 где Еà — жесткость стержня при растяжении-сжатии. Сила Ж также является функцией тех же аргументов — координаты х и времени 1. Для составления дифференциального уравнения движения воспользуемся прямым способом и рассмотрим элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями. Клевой граниэлемента (рис.11.49,в) приложенасила Ж, а к пра- дЛ' вой — сила Л» + — »1х. Если обозначить через р плотность матедх риала стержня, то масса рассматриваемого элемента составляет рГдх. Поэтому уравнение движения в проекции на ось х принимает вид Следуя методу Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (11.180) в виде и = Х(х) Т(1), (11.
182) т. е. предположим, что перемещение и можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х, а другая — только от аргумента 1. Тогда вместо определения функции двух переменных и (х, 1) необходимо определение двух функций Х (х) и Т ф, каждая из которых зависит только от одного переменного. Подставив выражение (11.182) в уравнение (11.180), получим с'Х" Т = ХТ. Здесь и далее штрихами обозначена операция дифференцирования по х. Перепишем это уравнение и виде с'Х "/Х = Т(Т. Здесь левая часть зависит только от х, а правая — только от 1. Для тождественного выполнения этого равенства (при любых х и 1) необходимо, чтобы каждая из частей была равна постоянной, которую обозначим через — р': с~х" 2, т Х = ' т (11.183) Отсюда следуют два уравнения Т'+р'Т=0; Х"+ — ", Х=0.
(11.184) Первое уравнение имеет решение Т = а з1п (р1 + к), (11. 185) указывающее на колебательный характер процесса. Из выражения (11.185) видно, что пока неизвестная величина р имеет смысл частоты свободных колебаний. Второе уравнение (11.184) имеет решение Х = С~1~ Р + 0~м ~~ (11.186) и определяет собственную форму колебаний. Частотное уравнение, определяющее величину р, как показано ниже, составляется путем использования граничных условий. Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким образом, число собственных частот бесконечно, причем каждому значению частоты р„соответствует своя функция Т„(1), определяемая зависимостью (11.185), и своя функция Х„(х), определяемая зависимостью (11.186). Решение (11.182) является лишь частным и не дает полного описания движения. Полное решение получается путем наложения всех частных решений: 115 ~ Х (х) Х„(х) с(х =- О.
о Граничные условия. Рассмотрим несколько типовых случаев. 1. Закрепленный конец стержня (рис. 11.50, а). В концевом сечении перемещение и должно быть равно нулю; отсюда выте- кает, что в этом сечении Х = О. (11.187) 2. Свободный конец стержня (рис. 11.50, б). В концевом сечении продольная сила й =-- ЕЕХ'Т (11.188) в) должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении г) = -а1Ю4 Х'= О.
г) Щ~ Рис. 11.50 3. Упруго закрепленный конец стержня. Г!ри перемешении и концевого сечения возникает упругая реакция опоры — с,и = = — с„ХТ (с, — жесткость опоры), Учитывая выражение (11.188) для продольной силы, получим граничное условие в виде с,Х = ЕЕХ', если опора расположена на левом конце стержня (рис. 11.50, в), и в виде — СОХ = ЕРХ', если опора расположена на правом конце стержня (рис. 1!.50, г).
4. Сосредоточенная масса т, на концестержня. Развиваемая массой сила инерции равна д и — т, —,= — и ХТ. о Дга о 116 Функции Х„(х) называются собственными функциями задачи и описывают собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удовлетворяют условию ортогональности, которое при с = сопз! и т,'- а имеет вид Так как согласно уравнению (11.184) Т = — р'Т, то сила инерции может быть записана в виде т„р'ХТ. Учитывая выражение (11.188), получим граничное условие в виде — тоР'Х = ЕГХ если масса находится на левом конце (рис.
11.50, д), и тор'Х = ЕРХ', (11. 189) если масса связана с правым концом (рис. 11.50, е). Частотное уравнение. Рассмотрим типичные частные случаи. 1. Определим собственные частоты консольного стержня, показанного на рис. 11.51, а. Согласно выражениям (11.187) и (11.188) Х = 0 при х = 0; Х' = 0 при х = 1. Подставляя поочередно эти условия в решение (11.186), получим В=О; С Р соя Р =О. Условие С ф 0 приводит к частотному уравнению сов — = О, рг с Корни этого уравнения = (2п — 1) —; (л = 1; 2; ...) определяют собственные частоты (2и — 1) яс л= (11.190) Число частот бесконечно.
Первая (низшая) частота при и = 1 лс л ч/ Е ' ~ 21 21 ~ р 2, Определим собственные частоты стержня, показанного на на рис. 11.51, б. Согласно выражениям (11.187) и (11.189) имеем Х = 0 при х = 0; т„р'Х = ЕЕХ' при х = 1. Подставляя эти условия в решение (11.186), получим В=О; т,р з1п — = — соз —.
р1 Ерр р1 с с с правая часть уравнения представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза, 117 Следовательно, частотное уравнение при учете выражения (11.181) имеет вид -р1 р1 рИ вЂ” 1ф — =— с с т0' Значения первого корня уравнения р,1/с в зависимости от отношения а = рЯ/т, следующие: О,!О 0,30 0,50 0,70 0,90 1,00 2,00 4,00 10,00 0,32 0,52 0,65 0,75 0,82 0,86 1,08 1,27 1,42 а. р16 с / При малых значениях а решающее влияние на частоту оказывает масса груза и приближенно можно принять ЕР 1~ то1 (1+ и/3) Крутильные колебания вапов Крутильные колебания вала с непрерывно распределенной массой (рис.
11.52, а) описываются уравнениями, которые по структуре точно совпадают с уравнениями, приведенными выше. Основное уравнение и его решение. Из теории кручения стержней известно, что крутящий момент М в сечении с абсциссой х связан с углом поворота ~+ — 1х а) а дифференциальной зависимо- Л стью где 6 — модуль сдвига; У вЂ” поРис.
11.52 лярный момент инерции поперечного сечения. В смежном дМ сечении крутящий момент равен М + — йх (рис. 11.52, 6). Обозначая через рУр (где р — плотность материала вала) интенсивность момента ийерции массы вала относительно его оси (т. е. момент инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно записать так: или, подобно уравнению (1[.179), дМ дз~р дх и д1Р ' =ф —. Подставив сюда выражение (11,191), получим при 1 = сопз1 совершенно аналогично уравнению (11.180) д'ср д'~р С' — = дх~ д12 (11.192) где с1 = 6/р.
118 Общее решение уравнения (11.192), как и уравнения (11.180), имеет вид причем Х„(х) =С„зж Р" +Р„сов ~"~; С т и С Ф (11.193) Т„(1) — — а яп (р„.1 + а„), Если левый конец закреплен, а на правом конце имеется диск, получим прежнее трансцендентное уравнение Если оба конца вала закреплены, то граничные условия будут Х = 0 при х =-- 0 и х =- 1. В этом случае из выражения (11.193) получим С з1п =- 0; П = О, р1 с, т.
е. р1/с,=па (и= — 1; 2; 3; ...). Отсюда находим частоты р„= ипс,Л. ы9 Собственные частоты и функции определяются конкретными граничными условиями. Граничные условия. В основных случаях закрепления концов аналогично задачам о продольных колебаниях получим следующее: на закрепленном конце (~ = 0) Х = 0; на свободном конце (М = = 0) Х' = 0; на упруго закрепленном левом конце (с, — коэффициент жесткости закрепления) с,Х = 6УрХ'; на упруго закрепленном правом конце — с,Х = 6ХрХ'; йри диске на левом конце (1, — момент инерции диска отйосительно оси стержня) — 1,р'Х = 6УрХ'; при диске на правом конце У„р'Х = — 6УрХ'. Частотное уравнение. Частотное уравнение составляется так же, как и в задачах о продольных колебаниях. Если вал закреплен на левом конце (х =- 0), а правый конец (х = 1) свободен, то Х = 0 при х = 0 и Х' = 0 при х = 1; результат аналогичен выражению (11.190): Если левый конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то Х' = О при х = О; 1,р'Х =- 61рХ' при х = 1.
При помощи выражения (11.193) находим С=О; 7р2соз р = — 6У, р з1п р С, ~ С4 С~ " или Изгибные колебания балок Основное уравнение. Из статической теории изгиба стержней известно соотношение (11.194) (11.195) где т — интенсивность распределенной массы балки. Таким образом, получим (Е~'")4-т9=4. Как видно, при выводе этого дифференциального уравнсния в сущности был использован обратный способ (приложение сил инерции к безмассовому скелету системы в качестве внешней нагрузки). В частном случае постоянного поперечного сечения, когда Е,7 = сопз1, и = сопз1, получим д'у ЕУ д'у д~ 4 !и дх4 (11,196) Решение уравнения.
Для решения уравнения (11.196) полагаем, как и выше, у = Х(х) Т(1). (11. 197) Тогда Т Е3 Х~~ Т т Х 120 в котором у (х) — прогибы, вызываемые поперечной нагрузкой д; ЕУ вЂ” — жесткость при изгибе. Это соотношение может быть положено в основу вывода основного дифференциального уравнения свободных колебаний балок, если считать, что прогибы становятся функцией двух переменных (координаты х и времени 1), а внешней нагрузкой служат распределенные силы инерции Для тождественного выполнения равенства необходимо, чтобы каждая из частей равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через — р', получим два уравнения т'+рт=о; (11. 198) (11.199) Первое уравнение имеет вид уравнения (11.1), и, следовательно, движение носит колебательный характер с частотой р.
Второе уравнение определяет собственную форму колебаний. Решение уравнения (11.199) соответственно его порядку содержит четыре постоянные и может быть записано в виде Х = С, з1п /гх + С, соз ~гх + С., з11 йх + С, с11 йх, где Д= 1~. (п.2оо) Удобен предложенный А. Н. Крыловым вариант записи общего решения Х вЂ” С,5 —, С,т,— С,и+ С,1, (11.201) где велич ин ы 5 — — (сЬ Ах + соз lгх), Т = 2 (зЫгх-~- з1пйх); Г = (зЫгх — зш Йх) 1 2 (11.202) и = — (с1т Йх — СОЗ Йх); 1 2 Поэтому производные выражения (11.201) записываются в виде Х = Уг(С11г + С~5 1- Сзт -1 — С4и); х" = й'(с,и + с,ъ' + с,5 + с,т); (11.204) х = й'(с,т + с,и + с,Р -1- с,5).
Как и в задачах о продольных и крутильных колебаниях, число собственных частот р„бесконечно велико; каждой их них отвечает своя функция времени Т„и своя собственная форма Х„. Общее решение получится путем наложения частных решений вида (11.197): д=,~~ Х„(х) Т„ф. п=1 (11 20'~) представляют собой функции Л. Н. Крылова. Следует обратить внимание, что 5 — 1; Т = и = $' = 0 при х = О. Функции 5, Т, и, 1'связаны между собой следующими дифференциальными соотношениями: 5 — — — тт', т=т и'; и=тг; 11= — 5' (11203) Для определения собственных частот и собственных форм необходимо рассмотреть граничные условия.
Граничные условия. Для каждого конца стержня можно указать два граничных условия. 1. Свободный конец стержня (рис. 11.53, а), Нулю равны поперечная сила Я вЂ” ЕЗХ'"Т и изгибающий момент М = ЕЗХ'"Т. а1 Поэтому граничные условия принимают вид Х" = 0; Х'" = О. (11.206) 2. Шарнирно опертый конец стержня (рис. 11.53, б). Нулю равны прогиб у = ХТ и изгибающий момент М = = Е3Х"Т. Следовательно, граничные условия будут Х = О; Х" = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
