Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 22
Текст из файла (страница 22)
О (11.260) 136 Это уравнение выражает равенство нулю возможной работы, совершаемой силами упругости и инерции на перемещениях 1 (х). Если принять ) (х) в виде (11.255) и рассматривать каждое из слагаемых 1,(зс) как возможное перемещение, то вместо (11.260) получим соотношение, выражающее равенство нулю возможной работы: ~ ((ЕЛ1")" — игр'Д ~; сКх = О. о (11.261) Пример 16. Определить мепгодом Бубнова — Галеркина низшую частоту поперечных колебаний конев ги, рассмотренной в примере 15 (рис. д'д.58).
Принимая в качестве формы колебаний 1 (х) = с, 1 — — + с, — 1 —— удовлетворяем как геометрическим условиям на правом конце, так и силовым условиям на левом. Е)да Дифференцируя 1 (х) два раза, уьдножая на Е1 = —, х' и вновь дифферен- 121» пируя два раза, получаем ЕДЗ Г 6 г~ (ЕЗ~')" = — ~(сд — 2с,) х+ Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых содержится в принятом выражении (11 255). Каждое из уравнений (11.261) однородно и содержит неопределенные величины с„ с„... в первой степени.
Приравняв нулю определитель системы (11.261), получим частотное уравнение. Метод Бубнова — Галеркина обладает одной особенностью, которая относится к граничным условиям. Если функции ~;(х) удовлетворяют только геометрическим граничным условиям (как говорилось, такие функции могут быть использованы при решении по способу Ритца), то это может привести к большим ошибкам при решении по способу Бубнова — Галеркина. Если при выборе функций 1';(х) не считаться с силовыми граничными условиями "Г (например, не обращать внимания на условия 1'; = О и 1'; = О на свободном конце балки или на условие 1; = О на шарнирной опоре), то будет неявно признано существование на концах балки таких граничных усилий, которых в действительности нет.
Из-за этого возникнет ошибка, так как в выражение (11.261) войдет работа несуществующих усилий. Для компенсации ошибки следует вычесть из левой части выражения (11.261) «излишнюю» работу этих граничных усилий (обобщенный метод Бубнова— Галеркина). Обычно поступают иначе — заранее подчиняют функции не только геометрическим, но и силовым граничным условиям. При таком выборе функций методы Ритца и Галеркина дают совпадающие результаты.
Подставляя в выражение (11.26!), находим ]<[ —,( — 2~,! ! ' ] — — [, (1 — — ) -(- о +с,— 1 — — 1 — — дх = О; 1 2 2 '! — [(, — 2,(*-(- — ' — ] — — [,* (! — — ) -(- о +.,— ' 1 — " ' " 1 — " '~я=О. Отсюда получим те же уравнения (11.259), что и по методу Ритца. В задачах о продольных или крутильных колебаниях стержней уравнения метода Бубнова — Галеркина (1!.261) составляются подобным же образом. Метод последовательных приближений '! (((л+()в(ах Р1=— Ыл) п(ах (11. 262) Представим исходную кривую а,(х) в виде ряда а1 (х) = Х! (х) + бгХя (х) + бзХз (х) + .. (11 263) в котором Х,- (х) — неизвестные собственные формы, Ь; — постоянные коэффициенты.
Тогда нагрузка, соответствующая прогибам а„будет та, = тХ, + тб,Х, + тбаХ, +... (11.264) Рассмотрим одно из слагаемых этой нагрузки тб;Х;. От нагрузки тр",Х, прогибы будут Х;; поэтому' от нагрузки тЬ,Х; Ь, прогибы будут в —.' раз болыпе, т. е. составят —., Х;. ( ледовара Р тельно, кривая прогибов от суммарной нагрузки определится рядом а = — + -(- —,+..., Ха ЬаХа ЬаХа ра ! р(а (11 265) 138 Прежде всего докажем, что обычный процесс последовательных приближений (см.
п. 7) приводит именно к первой собственной фор~е. Основой процесса является сравнение двух кривых а„и ал+,, вторая из которых получается как линия прогибов, вызванных нагрузкой та„; при этом приближенное значение квадрата частоты определяется формулой который отличается от ряда (П.264) тем, что каждый член разделен на квадрат соответствующей частоты.
Так как р, < р„ р, < р„..., то кривая а,(х) ближе к Х,(х), чем исходная кривая а,(х). Члены, содержащие Х,(х), Х,(х) и искажающие основную форму Х,(х), представлены в ряде (11,265) слабее, чем в ряде (11.263). Продолжив процесс далее, получим для (и + 1)-й кривой а„„= — „-, [Х,+Ь, (~') Х,+ о, (Р') Х,-,',...~. (112бб) Как видно, при и оо высшие формы исчезают и, следовательно, какой бы ни была выбрана исходная кривая (например, даже очень похожей на вторую собственную форму), процесс в конце концов приведет именно к первой собственной форме.
Поэтому может показаться, что попытка построить, например, вторую собственную форму при помощи этого метода обречена на неудачу, так как всякое искажение, вносимое первой формой в приближенную вторую форму, будет постепенно увеличиваться и после большого числа приближений второй тип колебаний исчезнет совершенно и останется лишь первый тип.
Однако, несколько видоизменяя метод, можно добиться того, что в результате последовательных приближений «очистится» не первая, а именно вторая собственная форма колебаний; этот прием нашел практическое применение при расчете изгибных колебаний крыльев самолетов и лопаток турбин. Прием основан на устранении формы Х,(х) из исходной функции а,(х). Допустим, что в разложении (11.263) в самом деле совершенно отсутствует слагаемое, соответствующее первой форме; тогда оно не сможет возникнуть при всех последующих операциях, ряд (11.266) примет вид и при и —.
оо изчезнут все формы колебаний, кроме второй. Чтобы процесс последовательных приближений привел именно ко второй форме, нужно из исходной функции а,(х) исключить первую собственную форму Х,(х). Это можно сделать, приняв в качестве основы для построения второго приближения функцию а,(х) = а,(х) — а,Х,(х), (11.267) где а,(х) — подходящая функция; Х,(х) — предварительно найденная первая собственная форма. Коэффициент а, следует принять таким, чтобы форма а,(х) была ортогональна первой собственной форме Х, (х): ~ та, (х) Х, (х) дх = О. о, Подставив сюда выражение (11.267), получим ! ~ та, (х) Х1 (х) йх о а,= тХ1 (х) Ых о Далее от нагрузки п~а, следует определить прогибы аг.
Если при помощи выражения (11.267) первая форма Х, исключена совершенно точно, то функция аг будет ближе ко второй форме, а следующие операции обеспечат дальнейшее уточнение решения. Однако первая собственная форма Х, может быть известна лишь приближенно; поэтому операция, указанная в выражении (11.267), практически не гарантирует полного освобождения от первой формы Х,.
Это заставляет при продолжении процесса снова исправить функцию аг и принять аг(х) = аг(х) — а,Х,(х), (11.268) где коэффициент а, также определяется условием ортогональ- ности функций аг и Х, ) п20г (х) Х1 (х) Йх = Оэ о которое дает после подстановки выражения (11.268) 1 тиг(х) Х, (х) Нх о аг =- тХг1 (х) дх о Затем следует определить кривую аг от нагрузки та„вновь исправить ее по формуле аз(х) = а,(х) — а,Х,(х) и т,д. В таком процессе последовательных приближений ортогона- лизация сопровождает каждую ступень выкладок н, непрерывно вытесняя «примесь» первой формы, приводит ко второй собственной форме и ко второй частоте; последняя подобно выражению (11.262) определится формулой г (оп+1) пах Рг= (~в) Таким же образом при помощи сопровождающей ортогонализации можно определить третью собственную форму и третью частоту и т.
д. 140 10. ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ При исследовании колебаний вращающихся дисков обычно считают, что диск представляет собой тело вращения и что существует плоскость симметрии диска, перпендикулярная к оси вращения (срединная плоскость).
Кроме того, принимают, что наклон боковых поверхностей диска к этой плоскости весьма мал, а толщина диска мала по сравнению с его диаметром. При этих предположениях можно говорить о двух типах колебаний. К первому типу относятся случаи, когда любая точка срединной плоскости диска колеблется в той же плоскости, т. е. совершает плоские колебания; в свою очередь, их можно подразделить на радиальные и тангенциальные колебания. Второй тип колебаний — изгибные колебания диска, которые характеризуются пространственной картиной деформаций и перемещениями точек срединной плоскости по перпендикуляру к этой плоскости. Установлено, что центробежные эффекты, связанные с вращением диска, практически не влияют на формы и частоты свободных плоских колебаний; поэтому вращение диска учитывают только при исследовании изгибных колебаний.
Радиальные колебания Радиальными называются осесимметричные плоские колебания, при которых любая точка срединной плоскости диска движется только вдоль соответствующего радиуса; при этом отсутствуют перемещения в окружном (тангенциальном) направлении, а также в направлении перпендикуляра к срединной плоскости диска. Мысленно выделим двумя ради- 6„+~~"~~ альными и двумя цилиндрическими сечениями бесконечно малый элемент б~ диска (рис. 11.59). Расстояние от центра диска до этого элемента обо- ду значим через г, а соответствующий бесконечно малый центральный угол — через дО. Нормальные напряжения в кольцевом и радиальном сечениях обозначим соответственно через а, и а0. Благодаря осевой симметрии касательные напряжения на гранях выделенного элемента отсутствуют.
Нормальные усилия на обеих боковых гранях элемента составляют авй дг, где й — толщина диска, являющаяся в общем случае функцией координаты г. На внутренней грани нормальное усилие равно произведению напряжения с, на площадь грани йгНО, т, е. составляет с,йгйО. На наружной до, грани нормальное напряжение составляет а,+ — Йг, а нор- д мальное усилие равно о,йг ИО + — (о,йг ИО)Иг.
141 1-1а основании закона Гука для плоского напряженного состояния можно записать 0'~ оа, аа (Ур Р = — — ~А — ' Рв — — — — ~.~— Е Е ' Е Е где р, — коэффициент Пуассона. Последние соотношения представим в виде зависимостей напряжений от деформаций Е 0г = 1 ~ (е, ~- Рво)' ~ Е пв = 1 (~а+ Р") ) (11.269) Вспомнив известные из курса сопротивления материалов формулы ди и аг д дг т выражающие деформации через перемещения (и — радиальное перемещение текущей точки), запишем соотношения (11.269) в виде (11.270) Таким образом, оба нормальных напряжения о, и аа выражены через одну функцию и = и (г,1). Проектируя все силы, действующие на элемент, на направление радиуса, получим дифференциальное уравнение движения с о,Лг + (о,йг.) сг ~ й0 — о,Ь.
~10 — 2ооЬгй — = рlи.и й. ИО, д «о где р — плотность материала диска. Правая часть дифференциального уравнения записана с учетом того, что рйгйМΠ— масса элемента. Подставляя сюда выражения (11.270) и преобразуя, приходим к основному дифференциальному уравнению задачи о свободных радиальных колебаниях диска и —,'- и ( — + — )+ и~ — — ) = — (1 — р) . (11.271) 2 г ' д) ~ м г~) е где Я (г) — функция радиуса г; Т (1) — функция времени 142 Для решения этого уравнения воспользуемся методом Фурье и будем разыскивать решение в виде произведения двух функций: и (г, 1) = К (г) Т (1), (11.272) Подставив решение (11.272) в основное уравнение (11.271), разделим переменные и получим дифференциальное уравнение для неизвестной функции Й (г), которая по смыслу решения определяет собственную форму колебаний: д"-~ р' ( — (- ' ) ~. Я(" —,+ Р, ) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
