Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 24
Текст из файла (страница 24)
11.62 получим дифференциальное уравнениедля формы колебаний Я7(х,у) д4%' д4К д41Г рйр4 — +2 + — = — К. дх4 дх4 ду4 ду4 Р (11.291) К=А„„зш — з1п — у- (т=1; 2; ..; п=1; 2; ...), (11.292) где а и Ь вЂ” стороны пластинки. Зависимость (11.292) иллюстрирована на рис. 11.62. Любая прямая, параллельная оси х, при колебаниях превращается в синусоиду, содержащую в интервале (О,а) т полуволн (на рис. 11.б2 т = 4). Точно так же прямые, параллельные оси у, превращаются в синусоиды с п полуволнами (на рис. 11.б2 п = 2). Выражение (11.292) удовлетворяет граничным условиям на контурах (равенство нулю прогибов и изгибающих моментов): при х=О и х=а д'Р' д'Ю" 1Г=О; —,, +р —,, =О; при у=О и у=Ь дат' дю Ю=О д,. +р дх4-=0 Подставляя выражение (11.292) в уравнение (11.291), получим ( — ) -$-2( ") ( — "") + ( — ) Это дифференциальное уравнение в случае прямоугольной пла- стины с опертыми краями имеет частное решение отсюда находим собственную частоту Частота зависит от чисел т и п, определяющих число полу- волн, на которые подразделяется пластина в каждом из направлений.
Низшая частота соответствует случаю, когда пластина изгибается по одной полуволне в каждом направлении (т = 1; и †. 1); (1!.293) Если одна из сторон пластины значительно больше другой, одно слагаемое в скобках становится весьма малым по сравнению с другим и в пределе исчезает. Пусть, например, аЪ оо; тогда формула (П.293) принимает вид 1/ Е 2Ь~ ~' Зр (1 — р~) (11.294) В этом случае срединная поверхность пластины при колебаниях имеет цилиндрическую форму. Можно сказать, что пластина состоит из множества одинаковых (и одинаково изгибающихся) балок-полосок пролетом б. Если считать, что все такие балки-полоски совершенно не взаимодействуют одна с другой, то их собственную частоту можно найти по формуле (11.12), подставив в нее момент инерции попсречного сечения )' = Й'/12 (ширину балки-полоски можно принять любой, например равной единице) и интенсивность распределенной массы и = рй.
При этом для собственной частоты получится выражение (П.294), но без делителя 1 — ц' пад корнем. Это различие объясняется тем, что поперечные деформации балки-полоски, входящей в пластину, стеснены соседними балками-полосками, тогда как изолированная балка-полоска такого стеснения пе испытывает. Простота приведенного решения связана не только с простой формой пластинки, но и с граничными условиями.
При других краевых закреплениях для решения дифференциального уравнения (П.291) приходится обращаться к приближенным способам. ГЛАВА ! 1! КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 13. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ И СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ Различают устойчивые и неустойчивые состояния равновесия механических систем. В принципе для решения вопроса об устойчивости состояния равновесия нужно исследовать результаты возможного нарушения этого состояния, т.
е., иными словами, изучить общие свойства движения, которое возникает вследствие сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия; такое движение называется возмущенным. Если, совершая возмущенное движение, система удаляется от состояния равновесия (монотонный уход или колебания с возрастающими пиковыми значениями), то такое состояние следует считать неустойчивым. Если же в возмущенном движении система остается в непосредственной близости к равновесному состоянию (например, совершает гармонические колебания) или, тем более, постепенно приближается в этому состоянию (монотонное приближение, или колебания с убывающими пиковыми значениями), то такое состояние устойчиво. Для многих технических устройств вопрос об устойчивости имеет первостепенное практическое значение, но ответ на этот вопрос далеко не всегда так прост и очевиден, как в известном хрестоматийном примере о шарике, расположенном в точках максимума или минимума волнистой поверхности.
Нередко нормальным состоянием механической системы в ее эксплуатации является не равновесие, а некоторый стаг(ионарный, установившийся релсим движения. В подобных случаях также может возникнуть вопрос об устойчивости этого режима, близкий по своему смыслу к вопросу об устойчивости состояний равновесия. Если в результате нарушения стационарного режима сколь угодно малыми мгновенными возмущениями дополнительно возникающее при этом движение носит затухающий характер, то это свидетельствует об устойчивости исследуемого стационарного режима; если же дополнительное движение все далее уводит систему от стационарного режима, то такой режим неустойчив.
152 с„с„.. с„ с2з С11 С42 сп>О; )О; ...; С,„С,, ви~ спи' ' 'впз Здесь с„— ' элемент матрицы коэффициентов жесткости (см. выше, стр. 93). Легко проверить, что для всех рассмотренных в пре- дыдущей главе примеров упругих систем неравенства (111.1) 153 В следующих параграфах этой главы рассматриваются (конечно, в сильно схематизированном виде) некоторые практические важные и в значительной мере типичные задачи об условиях неустойчивости состояний равновесия и стационарных режимов, В п.
14 разобран случай возникновения неустойчивости вследствие действия силы сухого трения, если характеристика этой силы имеет падающий участок. К этому случаю приводят исследования некоторых схем тормозных устройств. В следующем п. 15 анализируются критические состояния ряда схем вращающихся упругих валов и роторов.
Оказывается, что при определенных значениях угловой скорости вращения состояние равновесия становится неустойчивым и как следствие сколь угодно малых возмущений возникают возрастающие колебания, вплоть до поломки конструкции. Обнаружено, что конструкция крыла самолета также может потерять устойчивость — при достижении определенной скорости полета возникают прогрессивно возрастающие изгибнокрутильные колебания, приводящие к катастрофе (флаттер крыла); анализу этой опасной возможности посвящен п. 16.
При малых высотах парения аппарата на воздушной подушке также возможна неустойчивость, что вынуждает избегать в эксплуатации слишком малых высот парения. Анализ этой задачи содержится в п. 17. В целом можно сказать, что при решении многих ответственных технических проблем приходится уделять специальное внимание проверке устойчивости равновесных состояний и стационарных режимов и анализу влияния параметров системы на устойчивость.
Сравнительно просто решается вопрос об устойчивости равновесия для консервативных механических систем с конечным числом степеней свободы, когда справедлива теорема Лагранжа— Дирихле: если в состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то это состояние устойчиво. Применительно к консервативным системам с одной степенью свободы признаком минимума потенциальной энергии служит положительность коэффициента жесткости с. Если число степеней свободы системы больше единицы, то минимуму потенциальной энергии отвечает система неравенств (критерий Сильвестраа): ,~~~ а!!х;+ ~ Ь;!х;+ ~ с;;х, = О (! = 1; 2; ...; и).
(111.2) 1=! 1=! Здесь а;,, Ь;;, с;, — коэффициенты инерции, сопротивления и жесткости. Частное решение системы (!11.2) имеет вид (111.3) х;=Л е". Подстановка частного решения в систему (111.2) приводит к однородной системе алгебраических уравнений относительно величин Л л и Л 3Р ~ а;;А; + Х,'~~ Ь;,А, + ~'! с;;А; = О, (111.4) 1=! 1=1 1=! !54 выполняются, т.
е, соответствующие состояния равновесия устойчивы. Впрочем, об этом свидетельствует сам характер полученных решений задач о колебаниях. Если исследуемая механическая система не обладает свойством консервативности (из-за действия сил трения или неконсерватинных позиционных сил), теорема Лагранжа Дирихле неприменима и для суждения об устойчивости состояний равновесия, а также стационарных режимов необходимо исследовать характер возмущенного движения. Разумеется, для проверки устойчивости нет необходимости изучать возмущенное движение во всех подробностях, достаточно установить его общую тенденцию.
В частности, во многих случаях можно ограничиться анализом начала процесса возмущенного движения, тогда благодаря малости отклонений уравнения возмущенного движения оказываются линейными; в этих случаях говорят об исследовании устойчивости «в малом». Если же по смыслу задачи представляет интерес все последующее развитие процесса возмущенного движеш!я, то необходимо отказаться от предположения о малости отклонения; изучение возмущенного движения «в большом» обычно приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям возмущенного движения. Впрочем, иногда заведомо известно, что нарушение устойчивости состояния равновесия категорически недопустимо, как, например, в задаче о флаттере самолетного крыла; в этих случаях изучение процесса возмущенного движения «в большом» не имеет практического смысла. Таким образом, для исследования устойчивости в малом прежде всего составляются дифференциальные уравнения возмущенного движения, в которых искомыми переменными служат отклонения системы от равновесного состояния; число этих уравнений равно числу степеней свободы системы и.
Как говорилось, при малых отклонениях уравнения оказываются линейными и во многих случаях содержат постоянные коэффициенты, т. е. имеют вид или ~ (Л2а,, +~ Ь,, + с,,) А, = О (1 = 1; 2; ...; п). (111.5) Условием ненулевых решений служит равенство нулю определителя, элементами которого являются величины Х'а,, + +И>+с,;. Это равенство представляет собой алгебраическое уравнение степени 2п относительно Л и имеет 2п корней типа Л, = и, + р,1 (характеристическое уравнение). При этом общее решение системы дифференциальных уравнений запишется в виде и л х; = ~ А,,е~" = ~ А,,е "е~"'. з=-1 я=1 Последний множитель, содержащий мнимую степень е, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении 1. Свойства устойчивости движения связаны с множителем е ': если а, ( О, то соответствующее слагаемое описывает затухающее движение, а если а, > О, то такому слагаемому соответствует удаление системы от невозмущенного режима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
