Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ооозпачив через У„момент инерции диска относительно оси у, получим М„= !и'(г+~) «1~а йп = 1„и'1ци; (т) М, = со'уг 1д сс йт =- О. (т) Имея в виду, что в нашей основной задаче угол а,мал, будем пользоваться далее следующими окончательными выражениями Р = «)га'«М =1 и'а. (111.22) На рис. 111.9, в показаны результаты приведения элементарных центробежных сил к центру диска. Следует обратить внимание на то, что момент М, как бы стремится установить плоскость диска перпендикулярно оси вращения. Конечно, поскольку ось системы считалась абсолютно жесткой, это «стремление» останется неосуществленным, но в реальных случаях, когда ось деформируется, момент М~ окажет влияние на упругие перемещения. Теперь можно обратиться к основной задаче. Обычно перекос диска не является заданным, а возникает вследствие изгиба вала, например когда диск расположен в стороне от середины пролета (рис. 111.10, а).
Начальный эксцентриситет будем считать отсутствующим и определим, при какой угловой скорости возможно состояние стационарного изгиба вала, при котором его изогнутая - ось остается неизменной во времени и вращается вокруг оси, проходящей через центры подшипников, причем угловые скорости 165 вращения изогнутой оси и собственного вращения диска равны между собой (случай прямой синхронной прецессии). В этом случае изогнутый вал с диском представляет собой как бы твердое тело, вращающееся вокруг оси, проходящей через центры подшипников.
Пусть г - — прогиб оси вала в сечении, с которым связан диск; а — угол поворота этого сечения в плоскости, содержащиг2 т щей вращающуюся ось вала. а) гр Такая схема полностью соответ! и/к м ствует рис, 111,9, и, следовательу кр но, нужно принять, что со стороны диска на вал действуют центробежная сила тси'„рг и момент 1уа„'ра. Воспользуемся еди- 6 р ! пичными перемещениями (рис, 111. 10, б, в): Ь,г — прогиб вала в месте расположения диска от единичной центробежной силы; Бг Ь,а — прогиб вала в месте расположения диска от единичного момента, положительное направление которого показано на рисунке и противоположно направлению действующего момента; Ьаг — угол поворота плоскости диска от единичной центробежной силы (Ьа, =- бги = Ь,а); Ь „— угол поворота плоскости диска от единичного момента.
При помощи единичных перемещений можно записать полные перемещения г и а в следующем виде: г = ШыкрГЬгг 1угикраЬга1 и 2 а = пьдкргЬаг 1уакраЬаиь или г (1 — ггкик р Ьгг) + 1уг~к р Ьгаа = — О; — гггг~к Ьаг + а (1 + ! ®к Ьаа) Полученные два алгебраических уравнения однородны относительно неизвестных (прогиба г и угла а); поэтому, чтобы перемещения г и а не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов системы уравнений (111.23): 1 „,у Ь вЂ” О. (111.24) ггкикрЬаг 1 + 1угикрЬаа Развернув определитель, получим биквадратное уравнение для критической угловой скорости: гибгг — !убаа т! (6 6 — 6~) Рис. 111.10 (111.23) — О.
(111.25) Уравнение (П1.25) имеет только один положительный корень для ы',р и поэтому определяет единственное значение критической угловой скорости. Если действительная угловая скорость отличается от в,, то определитель, составленный из коэффициентов системы (111.24), будет отличаться от нуля и вместе с тем получится г = О и я = О. 3 0 / 2 Л 3 Рис. 111.11 Для примера остановимся на случае, когда диск связан с концом консольного вала (рис.
111.11, а). В этом случае 13 12 ЗЕ,7 ' '~ ~' 2Е7 ' ~" ГЛ и уравнение (111.25) принимает вид Для дальнейшего исследования удобно ввести безразмерные параметры 2 13 Тогда вместо уравнения (111,26) получим т. е. К=2 3 — — + 3 — — + — ' (отрицательный знак перед корнем опущен как приводящий к физически невозможному результату). На рис. 111.11, б представлен график зависимости К = К (й).
Здесь видно, что вследствие поворота диска критическая угловая скорость увеличивается. Предельными являются. случаи 1? =- О (отсутствие инерции поворота диска) и 12 оо (бесконечно большая инерция поворота диска). В первом из этих случаев получается К = 3, т. е. обычный ЗЕ1 ~ результат в' — —,), а во втором — К = 12, т.
е. результат, 1б7 соответствующий такому диску, который сохраняет неизменную плоскость вращения. Пример 1?. На конце консоли двухопорного вала (рис. ?l!.12) находится тонкий диск диамео1ром О,ба (а — пролет вала); длина консоли равна 0,ба. Определить критическую угловую скорость враи1ения вала с у<етом гироскопического эффекта. Прежде всего находим единичные перемещения аа бlг == 0>125 —; 5аг — бга = 0,202 баа = 0,833— Е,? ' Рис.
1П.12 Далее находим момент инерции массы диска 7„'. = 0,0225 тав. т (О,ба)а 10 Уравнение (!!!.25) принимает вид юяР ~- 250 —,,— ь, — 2350 ( ) = — 0; отсюда а Е1 3,02 1Г Е7 кР ' таз ~ ЯР а в та Если не учитывать гироскопического влияния, то по элементарной формуле получим Таким образом, в данном случае гироскопический эффект повышает критическую скорость почти на 7%. Критические состояния вала, сечение которого имеет различные главные моменты инерции Рассмотрим случай, когда сечение вала имеет различные главные моменты инерции (вал со шпоночпыми кшгавками или снятыми лысками, вал ротора двухполюсной электрической машины с продольными вырезами для обмотки и т.
д.). Положим, что начальный эксцентриситет отсутствует, и не будем принимать во внимание гироскопический эффект. Эти упрощения позволяют наиболее четко определить влияние основной особенности — различия изгибных жесткостей вала. Угловую скорость вращения вала с диском будем считать неизменной во времени. Воспользуех!ся прежним спосооом рассуждений и рассмотрим возмущенное положение сечения, показанное на рис. 111.13. Здесь необходим более определенный выбор вращающейся координатной системы. При рассмотрении рис. 111.7 указывалось, что 188 координатная система уг вращается с той же угловой скоростью и что и диск; сейчас дополнительно отметим, что оси у и г выбраны параллельно главным осям инерции сечения вала (1---1 и 2 — 2).
Параллельность будет сохраняться все время, так как угловые скорости вращения диска и системы координат одинаковы. В таком случае уравнения движения диска будут иметь вид (111.17), но вместо жесткости с придется иметь дело с двумя жестко- стями с, и с.„различными для осей 1 — 1 и 2 — 2.
Тогда получим систему дифференциальных уравнений — с,у+ тоРу -[- 2то!г — ту; — с,.7. +. тоРг — 2т!оу = — тг. (111.27) Замени!! ст и с по форму'лам с, = тр'„с, =- тр~~, (111.28) Рис. 111.13 где р, и р, — собственные частоты колебаний невращающейся системы.
Тогда подобно уравнениям (111.18) получим у+ (р2 — оР) у — 2о!г = О; г+ (р,' — оР) я+ 2о!у= О. (111.29) Решение системы уравнений (111.29) ищем в форме у= а,е!'; я= а,е'"'. (Ш.ЗО) (7Р+ р', — оР) а, — 2ойа, = — О; 2соЛа, + (У + р,, '— оР) а,, = О. Условие ненулевых решений для а, и а, имеет вид Л2 + р2 — оР— 2о!Л 2ой Л + Р~~ — о! =О, т. е. Л4 + Л~ (р~ [- р,' + 2оР) — (р~ — оР) (р~2 — оР) = О. Решив это биквадратное уравнение, получим два действительных корня для Л'. ~,г [ (ф Р2 ! ~щг! ~у'[ф ф1~ ящ~!Рг ! Р~! ! 16Э Подставив выражения (111.30) в уравнения (111.29), получим два однородных уравнения относительно а, и а,; Так как Р— действительные числа, то все корни Х, (1 = 1; 2; 3; 4) — чисто мнимые или действительные.
Мнимым корням соответствует колебательное движение с постоянными амплитудами, а отрицательным действительным корням — апериодический затухающий процесс. Однако, если имеется положительный корень Х, то с течением времени смещения р и г будут стремиться к бесконечности, т. е. исходный режим неустойчив. Но для положительности одного из корней необходимо, чтобы выполнялось неравенство ~Г(Р' — Р.'")" -1- 8оР (Р' + Р2) ) Р~ -~- Р'" + 2оР. (111.31) Возводя обе части (111.31) в квадрат и приводя подобные члены, получим более простое неравенство (оР— р') (в'- — р') <О, Это неравенство удовлетворяется, если р, ( в ( р„т. е. система неустойчива во всем указанном интервале угловых скоростей вращения.
Из сказанного вытекает, что различие жесткостей с, и с, вызывает увеличение опасности наступления критических состояний. Критические состояния валов, связанные с наличием масляной пленки в подшипниках Подвижность смазочного материала в подшипнике оказывает влияние на движение шейки вала в подшипнике; в условиях эксплуатации по этой причине могут возникнуть опасные критические состояния. Ограничимся схематическим рассмотрением основных особенностей тех сил, которые возникают в указанных условиях. При вращении шейки вала в подшипнике в движение частично вовлекается масляная пленка, которая образует замкнутый поток в кольцеобразной полости между шейкой и подшипником.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
