Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Критические состояния жесткого ротора на упругих опорах Схема упругого вала с несколькими массивными дисками (см. выше) часто применяется при анализе критических скоростей многих реальных конструкций. Однако в случае, когда жесткость ротора велика сравнительно с жесткостью опор (например, в некоторых типах веретен ткацких станков), более подходящей оказывается схема упруго опертого абсолютно жесткого ротора. Рис. 111.22 При рассмотрении этой схемы (рис. 111.22, а) будем считать коэффициенты жесткости обеих опор с, и с, различными и не зависящими от направлений перемещений концов ротора, перпендикулярных к оси ротора х; такие опоры называются изотропными.
Ротор будем предполагать полностью уравновешенным; его моменты инерции относительно проходящих через центр тяжести осей х, у, г равны 1„1,. Для определения критической скорости вращения рассмотрим предполагаемое возможным состояние прямой синхронной прецессии (рис. 111.22, б). Здесь левый конец ротора описывает окружность радиуса г вокруг своего невозмущенного положения, а ось ротора отклонена па угол сс от первоначального положения и описывает коническую поверхность.
Как было отмечено выше, в критическом состоянии система центробежных сил и упругих реакций находится в равновесии 182 независимо от масштаба отклонений. Поэтому в данном случае можно записать та", (г+ аа) = с~»+ с2 (г+ а1), (111.51) где г + аа — радиальное смещение центра тяжести ротора; тоз'„(г+ аа) — центробежная сила инерции ротора; г+ а!— радиальное смещение правого конца ротора; с,г и с, (» + а1)— реакции опор. Кроме того, в рассматриваемом движении на ротор действует момент опорных реакций вокруг оси у М, = — сдгй + сз (» + а1) Ь.
(111.52) Его значение должно удовлетворять динамическому уравнению Эйлера 1, до, + (1, — 1,) до,до, = Мр, где до„до„оз, — проекции угловой скорости оз на связанные с ротором оси х, у и г. Соответственно на рис, 111.22, б Тогда уравнение Эйлера принимает вид Мд = (1х 1г) доЙра (1!1,53) В частном случае весьма короткого ротора, который можно рассматривать как диск, 1, = 21, и формула (111.53) переходит в выражение (111.22)'. Приравнивая выражения (111.52) и (111.53), получим сдга + с. (г+ а1) Ь = — (!, — 1,) оз';ра. (111.54) Система уравнений (111.49) и (111.54) однородна относительно перемещений г и а. Перепишем эту систему в виде г (тоз'„- — сд — сз) + а (ать'; — сз1) = — О; — г (с~й с2Ь) + а д(1х 1г) дддкр + сзЬд1 — О. Чтобы г и а были отличными от нуля, необходимо равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы.
ти~р — с~ — ся дгтоз р — с2д 2 3 =О, (сда — сзЬ) (1,— 1,) оз',р — , 'сзИ Р азвертыва я определитель, получим биквадр атно е ур авнение 9 (сдо +сгб сд+сг ~ д сдсг" О Икр -~- ~йр ( ддд / лд (д х — Уг) позволяющее найти критическую скорость. * Различие в знаках объясняется тем, что выражение (!1!.22) определяет действие диска на вал, противоположное рассматриваемому здесь действию вала на диск. 183 16.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДИВЕРГЕНЦИИ И ФЛАТТЕРА Если упругая конструкция типа крыла самолета находится в потоке газа (жидкости), то свойства состояния ее равновесия (устойчивость или неустойчивость) зависят от параметров потока, т. е. от плотности газа (жидкости) р и скорости о, или, проще, от скоростного напора роЧ2. Как оказывается, система, устойчивая при малых значениях скоростного напора, может потерять устойчивость при достаточно больших его значениях; тогда после сколь угодно малого возмущения начинается движение, все дальше уводящее систему от ставшего неустойчивым состояния равновесия.
Движение, представляющее собой монотонное возрастание отклонений от состояния равновесия, называется дивергенцией, а движение, на- К сящее характер колебаний с воз- растающими пиковыми значеу ниями, — флаттером, Скорость, при которой возникает потеря устойчивости того или иного Су Сг типа, называется критическои скоростью.
Для того чтобы получить хотя бы самое общее представление об этих явлениях дивергенции и флаттера, рассмотрим следующую простейшую задачу. Жесткая упруго закрепленная пластинка находится в потоке газа (жидкости), скорость о которого направлена вдоль срединной плоскости в невозмущенном состоянии равновесия (рис. 111.23). В этом положении аэродинамические силы равны нулю (если пренебречь весьма малой силой трения потока о поверхность пластинки) и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакции опор. При отклонениях пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения пластинки ср.
Такая схема может служить сильно упрощенной моделью сечения крыла самолета: ее вертикальные перемещения соответствуют изгибу крыла, а угловое перемещение — закручиванию. Соответствующие количественные закономерности устанавливаются в аэрогидродинамике; мы приведем их в готовом виде. Равнодействующую давлений можно разложить на составляющие (111.55) Здесь й„й„— постоянные аэродинамические коэффициенты; 1— размер пластинки вдоль потока (перпендикулярный плоскости рисунка размер принят равным единице).
Вместо того чтобы воспользоваться условиями (111.9), можно непосредственно проанализировать свойства корней Ч С11 + С22 ~ / С11 + С22 1 2 ~1, 2, 3, 4 ~ ~ / ~ 1 1/ ~ ) (С11С22 С12С21) ° (111,63) Если разность с„с„— с„с,„— отрицательная, то один из корней, соответствующий двум знакам пл1ос в формуле (111.63), оказывается вещественным и положительным; отвечающее этому корню движение согласно (111.59) представляет собой апериодический монотонный уход системы от положения равновесия— дивергенцию.
Если же эта разность положительная и удовлетворяет неравенству С11 + 222 ~12 С11С22 С12С21 ) ! ~ ) > то корни (111.63) оказываются комплексными: Х1 = а —,'- ф; Х2 = — а — 1!2; Х2 — — а + 2!2; Х, = — и — 1р, (111.65) где и и Р— положительные и вещественные значения. Первой паре этих корней соответствует движение, описываемое уравнениями д = а„е2 '+ а12е2' = В,е ' 81п (р1+ /1); (11!.66) с! = — а21ех '+ а22е2'= В,е'"'81п (р1+ у2), (111.67) ' / С„+ С22 '12 О ( С11С22 С12С21 ( ! (111.68) При нарушении первого неравенства возникает дивергенция (рис. 111,24, а), а при нарушении второго неравенства — флаттер (рис.
111.24, 6). Если вести исследование устойчивости системы по методу Эйлера, то нужно искать, при каких условиях наряду с невозмущенным состоянием равновесия существует смежное состояние равновесия, характеризуемое отличными от нуля значениями 1/ 186 т. е. колебания с монотонно возрастающими амплитудами — флаттер. Отсюда заключаем, что в случаях, когда выполняется неравенство (111.64), состояние равновесия также неустойчиво.
Таким образом, для того чтобы рассматриваемая система после возмущения оставалась в окрестности положения равновесия (что и принимается здесь за признак устойчивости), необходимо, чтобы разность с„с„— с„с„удовлетворяла двум неравенствам: и ср. При этом система (111.57), в которой теперь нужно положить у = О и ср = О, приобретает вид с11у + с12Ц~ = О, с„у+ с„<р = О. Отсюда следует, что для существования отклоненного состояния равновесия должен равняться нулю определитель =О.
С21 с22 Таким образом, получится правильный ответ для критической скорости дивергенции, но опасность флаттера останется невыяв- Рас. 111.Ы 2) критическая скорость флаттера 1 с( — С1С.~ + С2 Зрь с1 — с (Ш.7О) Отметим, что при малых жесткостях правой опоры, когда с~ ( с1 (1 — Ь)/Ь, критическая скорость о„оказывается мнимой, т.
е. апериодическая неустойчивость невозможна. Если, напротив, 187 ленной. На этом примере можно видеть ограниченность и неполноту результатов, которые дает исследование устойчивости по методу Эйлера. Вернемся к (111.68). Границы области устойчивости получим, заменив знаки неравенств в (111.68) на знаки равенств. Если затем подставить в (111.68) выражения (111.58), то можно найти два критических значения скорости, которая служит параметром, определяющим устойчивость: 1) критическая скорость дивергенции 2с,с.,1 рь,1,(ь — О-1-,ь1 ' (111.69) жесткость левой опоры меньше жесткости правой опоры, то мнимым становится выражение критической скорости о,, т. е. невозможен флаттер.
В изложенном решении аэродинамические силы считались чисто позиционными, т. е. зависящими только от положения пластинки (от угла поворота ср). Более точное решение можно получить, если учесть, что эффективный угол атаки зависит также ат вертикальной скорости движения центра пластинки. Тогда для подъемной силы получится вместо (111.55) следующее выражение: (1П.71) Уравнения окажутся несколько более сложными, но общий ход дальнейшего решения в основном остается прежним. 17.
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ АППАРАТА НА ВОЗДУШНОЙ ПОДУШКЕ Одним из эффективных средств умепьшепия сопротивления движения транспортных средств является использование воздушной подушки, представляющей собой слой воздуха повышенного по сравнению с атмосферой давления. Аппараты (в частности, суда) на воздушной подушке приобретают все большее распространение в современной технике. Ниже рассматривается простейшая, так называес'(' мая камерная, схема такого парящего аппа- рата (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
