Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 33
Текст из файла (страница 33)
201 Описание колебательного процесса, вызываемого такой силой, при нулевых начальных условиях можно получить при помощи формулы (1Ч,8): х — ып готз1п р (1 — т) г1т. (1Ч. 17) шр о Вычислив интеграл, найдем (прн оз + р) О х =,. — —, 1 з1пго/ — — з1п р1 гп (р' — со~) 1, р (1Ч.18) Заменив тр' = с и обозначив далее Р,/с = х„(прогиб, вызываемый статически приложенной постоянной силой Рв), получим :сст 0) х = —, ~з1пго1 — — з1п р1 Ш р 1 —— )2 (ГЧ.19) Рассматривая решение (1У,19), замечаем, что при нулевых начальных условиях возникают сложные колебания, состоящие из двух частей: колебаний, происходящих с частотой в возмущающей силы (первое слагаемое), и колебаний, происходящих с собственной частотой р (второе слагаемое) '.
4/ 2л/и У,1 Ял/р У Рис. 1Ъ'.9 Отметим, что допущенное при выводе (1т/.19) пренебре>кение силами трения скрывает важный факт: второе слагаемое с течением времени в действительности затухает, тогда как первое сохраняет постоянную амплитуду. Если учесть зто влияние трения, то результирующий процесс вынужденных колебаний будет происходить так, как это показано на рис.
1Ч.9. Рис. 1Ъ'.9, а относится к случаю, когда го: р, а рис. 1Ч.9, б — к случаю, когда со ( р. Для обоих случаев характерно быстрое исчезновение сопровождающих сво- * Иногда первые колебания называют вынужденными, а вторые — свободными. Следует иметь в виду условность применения второго термина в данном случае. Дело в том, что и вторые колебания вызнаны заданной возмущающей силой и что ик амплитуда зависит от той же силы; в этом смысле вторые колебания также можно признать вынужденными.
Для того чтобы избежать смешения поня. тий, эти колебания иногда называют сопровождпющими гвободньсии. 202 бодных колебаний. 11оэтому часто ограничиваются изучением стационарной, незатухающей части решения (Ю.19) х = —, з1па1. Хст ! —— р2 (И.20) (1У.21) г,е Хст отличается от перемещения х„, соответствую- у щего статическому действию силы Р,. Данная в выражении (1Ч.21) зависимость амплитуды колебаний а от частоты возмущающей силы называется амплитудна-частотной характериспгикой системы. Отношение а/х, можно назвать коэффициентом динамггчности; он равен Р га геш/р Рис. 17.10 (1 ~г 22) и зависит только от отношения частот о/р. Кривая зависимости коэффициента р от св/р приведена на рис. 1Ч.10. При малой частоте возмущающей силы коэффициент динамичности близок к единице.
С ростом частоты в он быстро увеличивается и при ог =- р обращается в бесконечность. Это соответствует состоянию резонанса, когда амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Если в ) р, то амплитуды снова оказываются конечными; при о/р ) ~' 2 динамический коэффициент становится меньше единицы, т. е, динамический эффект слабее соответствующего статического эффекта. При очень больших значениях отношения ог/р динамический коэффициент становится весьма малым. Это означает, что сила высокой частоты не вызывает ощутимых колебаний в низкочастотной упругой системе, последняя как бы не успевает отзываться на весьма быстрые изменения возмущающей силы. Несколько подробнее остановимся на случае совпадения частот сг -- р (резонанс).
При этом интеграл (17,17) приобретает вид х — ~ зш рт згп р (/ т) г/т юр о юз Как видно, вынужденные колебания совершаются с частотой возмущающей силы, которая как бы подчиняет движение системы характеру своего изменения. Амплитуда вынужденных колебаний После вычисления получим х = х„(з!и р1 — р1'сов р1). Пример 18. Посередине двухопорной свободно спертой балки пролетолг 5 м установлен неуравновеигенный двигатель весом 4 тс с и = Р 1»гг 11 = 800 об1мгнь Определить динамический коэффициент, если балка спгальная, ггрокатная, двупгаврового сечения Ай 80а (Х = 5950 см4). Находим собственную частоту системы, принимая Е = 2,1 ° 10' кгсгсм' и не учитывая относительно малую массу самой балки: 1/ 48Е1 1/ 48 2,1.10в 8950.981 т(а = ~' 4000,500з Частота возмущагощсй силы пп 3,14 800 6Э вЂ” — ==: 30 300 =83,8 с т.
Динамический коэффициент 1 83,8' » 2 1— р2 оказывается значительно меньшим единицы. Отметим, что замена этой балки более жесткой может ухудшить, а не улучшить условия работы конструкции. Так, например, замена двутавра № 30а двутавром № 45а (1 = — 35 280 см4) приводит к повышению собственной частоты до значения 83,7 с ', причем динамический коэффициент, подсчитываемый по формуле (17.22), увеличится в сотни раз. Пример 19. Опредегигть динамггческие напряжения в среднем сечении балки, рассмотренной в примере 18, если центробежная сила, развиваемая двигателем, составляет 1000 кгс. Изгибающий момент, вызываемый статической нагрузкой, М„= — = = 500000 кгс.см. Р1 4000 500 4 4 Наибольший изгибающий момент, вызываемый динамической нагрузкой, ° Идггн = 0,338 =- 42200 кгс см.
1000 500 4 График движения показан на рис. 1Ч.11. Как видно, при совпадении частот пиковые значения возрастают по линейному закону и за конечный промежуток времени не обращаются в бесконечность. Из этого вытекает принципиальная возможность перехода через резонанс в процессе разгона машин: равенство ог = р выполняется лишь одно мгновение и пиковые значения отклонения могут не достигнуть опасных величин.
Впрочем, это особая задача и мы обратимся к ней ниже. Полный изгибающий момент М вЂ” 500 000 + 42 200 = 542 200 кгс см. Напряжение изгиба М 542 200 о- 1Г 597 = 907 кгс/см'. Пример 20. Двигатель весом 2,4 тс установлен на десяти одинаковых пружинах диаметром В = 12 см. Диаметр сечения витка пружины И = 3 см; модуль сдвига магпериала пружины 6 = 0,8. 10в кгс/см', и = 800 об/мин. Определигиь число витков пружины, необходимое для того, чтобы динамический коэффициент устиновки бйл равен 0,2.
Из условия находим ю/р = 2,45. Так как ьэ= — = ' =838с1, пп 3,14 800 30 30 то необходимое значение собственной частоты 83,8 р — '=342 с1. 2,45 Следовательно, должно выполняться равенство Рс/т= 34,2 с '. Подставляя сюда т = 2400/981 =- 2,44 кгс сЧсм, находим необходимую жесткость всех пружин с = — 34,2'2,44 = 2850 кгс/см. Коэффициент жесткости одной пружины ст =- 2850/10 = 285 кгс/см. Пользуясь табл.
1, находилг Пй4 с — †, = 285 кгс см, 8Вап т. е. 0,8.10в.34 8 12а-и отсюда и = 16,5. Следует принять, по крайней мере, 17 витков, так как увеличение числа витков снижает жесткость системы и уменьшает динамический коэффициент. Если принять и ( 16,5, то динамический коэффициент окажется большим, чем задано в условии. Выше считалось, что амплитудное значение возмущающей силы не связано с ее частотой, Однако чаще бывает обратное; например, 205 при вращении неуравновешенного ротора на опоры передается возмущающая сила Р = ~пьсоге з)п со1, где ио — масса ротора; е — ее эксцентриситет; со — угловая скорость. В данном случае амплитуда возмущающей силы птьсоге пропорциональна квадрату частоты сог и вместо решения (1Ч.18) следует принимать (при со + р) а арг т,еюг 1 И х =,, ! з1п со1 — — з1п р1 т (рг — ыг) р Амплитуда стационарных колебаний при этом определяется выраже- нием серг )г — — 1 ы~г 0 / со/р в котором параметр системы сс — т.се~ т не зависит от частоты со.
Рис. 111.!2 На рис. 1Ъ'.12 представлено изменение амплитуды колебаний в зависимости от отношения н/р. Как видно, при со = р имеет место резонанс, а при со )) р амплитуда стремится к значению арг. Рассмотрим теперь случай кинематического возмущения.
Согласно сказанному выше амплитуда эквивалентной возмущающей силы вычисляется путем умножения амплитуды возмущающего колебания на коэффициент жесткости связи. Так, если амплитуда гармонических колебаний основания равна А, то амплитуда эквивалентной возмущающей силы составляет Ро =- сА. Соответственно х ==- Р /с — А.
ст О Согласно формуле (1Ч.21) амплитуда колебаний системы равна а = — —, . (1Ч.23) Рис. 1ч'.13 Пример 2!. Определить скорость движения автомобиля, при которой наступает резонанс задней подвески. Профиль дороги описывается законом (рис. 1К13) й 1 2лг ~ х =- — ~! — сов — 1!, 2 (~ еде й — глубина впадины; 1 — длина одной волны (принять 1 = 7 и). Статическая нагрузка на заднюю рессору О =- 715 кгс, жесткость рессоры с =- 2250 кгсlм. При расчете считать колебания задней части автомобиля не зависимыми от колебаний передней части и не учитсчвать упругости саин. 206 Находим собственную частоту с~д а / 2250 9,81 =- ф~ —" = ~/ =5.Ы вЂ”.
6 г 715 Вертикальные колебания колеса описываются законом й / 2лоà — 1 — соз — ) ' 7 )' их частота 2ло в = — с-т. 7 Приравнивая эту величину собственной частоте, находим резонансную скорость 5,56.7 о — †, ', = 6,2 м!с. 2 3,14 При дальнейшем увеличении скорости движения коэффициент динамичности быстро уменьшается. Например, при о = 25 м/с т. е, амплитуда колебаний кузова составит всего 6,6% от половины глубины впадины.
В связи с примером 21 остановимся на вопросе о плавности движения автомобиля. На первый взгляд, естественным критерием плавности движения является вертикальное ускорение. Однако при колебаниях кузова по закону х, =- а, з1п о,~ и по закону х, = а, з1п от,1 физиологические ощущения могут быть разными даже при совпадении наибольших ускорений: а,ш1 —— а,от~. Дело, оказывается, не только в величине наибольшего ускорения, но и в том темпе, с которым происходят изменения ускорения. При данном максимальном ускорении более неприятны колебания с быстрым изменением ускорения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
