Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 35
Текст из файла (страница 35)
точку О на рисунке). Тогда для любого момента времени 1 можно записать 1 х = х, сов р 1 + — ' з 1п 01+ — ~ Р (т) з1 и р (1 — т) с(т. р тр о Первые два члена этого выражения описывают влияние начальных условий, т. е. влияние перемещения х, и скорости о, в момент, 212 обозначенный на рис. 1У.17 через О; второй член учитывает силу, действующую'на систему в интервале О, 1 !см. формулу (1Ч.З)1. Соответственно для скорости в момент времени 1 получим 1 о = — рх, з1п р1+ о„саара+ — ~ РЯ соз р (1 — т) йт, т о Применим последние два выражения к моменту времени Т, т. е. к концу периода. По условиям периодичности результаты должны соответственно быть равны х, и о,: т х, = х, сох р Т -)- — ' х1 и р Т )- — ] р )х) х 1п р ) Т вЂ” х) Нх; р о т 1 о,= — рх,з1п рТ+ о,соз рТ+ — ] Р(т) созр(Т вЂ” т) от.
о ьт Рис. 1Ч.18 Отсюда можно найти неизвестные х, и о„после чего, вернувшись к исходной записи для перемещения х, получим рт х= — — — ~С1 с1п соз р1 — з1п р~ + 2т))р ~ ), 2 +5 с1п п)п р1 -]- соз р1 + ) Р(т) з1п р () — т) й, О (1Ч.28) где С =- ~ Р (т) соз рт Йт; Я = ] Р (т) з1п рт ~1т. Конечно, последним результатом можно пользоваться для значений 1, не выходящих за пределы интервала времени О, Т (в остальных интервалах движение повторяется). Пусть, например, Р— -- Ы в пределах О, Т (рис. 1Ъ'.18). Выкладки совершенно элементарны и приводят к замкнутой форме решения: х = — ) 2рС + рТ ) ~ох р) — сф +х)п р)) ] )О -' С .==' Т) .
6 и рт ср 2! 3 19. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЬ! ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛ НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ Влияние вязкого сопротивления Общее решение. Если учесть вязкое сопротивление, то основное уравнение вынужденных колебаний примет вид х-~ 2пх+ р х = 2 Р(О (1Ъ'.29) Оно отличается от дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний (11.52) наличием правой части, а от уравнения вынужденных колебаний системы без неупругих сопротивлений (1Ъ'.2) — вторым слагаемым в левой части. Для получения общего решения воспользуемся способом, который выше был применен для подобной задачи при и = О.
Пу'сть в системе с одной степенью свободы в мгновение т прикладывается мгновенный импульс Я, последующий колебательный процесс можно описать уравнением (П.53). Определим постоянные а и а из условий начала движения: при 1 — т должно быть х = — О; х =- Я!гп.
Первое условие дает Из второго условия найдем Ь'е"~ тр„. где р, определяется формулой (П.55). Таким образом, свободные колебания, вызванные импульсом 5, описываются законом х. =- — е-" "— '1 з1П р. Ч вЂ” т) 3 з лр х1 и носят затухающий характер. Как и выше, представим возмущающую силу Р (т) в виде последовательности бесконечно малых импульсов Р (т) дт. Тогда при нулевых начальных условиях общее решение задачи примет вид х = — ) Р (т) е " 1' '1 з1п р„, (1 — т) дт. (1Ч.ЗО) "о (1Ч.31) х == а яп (вг — у), 214 Эта формула применима при любом законе Р (~) и переходит в формулу (1Ч,8) прн п = О.
Гармоническая возмущающая сила. В частном случае действия гармонической силы Р = Р, з1п в! из (1Ч.29) можно найти уста-' новившиеся колебания в виде где а и у выражаются следующим образом: ~ст (1У.32) 2ап (17.33) Здесь принято прежнее обозначение: х„= Р „/с =- Р,/тр'. Зависимость амплитуды ~ колебаний от частоты воз- )/с буждения (1Ч.32) представляет собой амплитудно- частотную характеристику 9 системы. Введем, как и выше, коэффициент динамичности й ~л = — = ~ст 0 Д~ 10 1У ~П йф (1У.34) Отметим, что он не обращается в бесконечность ни при каких значениях частоты возмущения в; этим найденный результат существенно отличается от решения, полученного выше без учета неупругого сопротивления.
Зависимость р от отношения частот в/р при различных Рис. 1Ъ'.19 значениях 2а/р приведена на рис. 1Ч.19, а. Общий вид кривых напоминает рис. [Ч.10, однако наибольшее значение динамического коэффициента остается при в — — р конечным. Максимум коэффициента динамичности несколько смещен в сторону от абсциссы в/р = 1, но это смещение мало, и можно приближенно определить и „. =- р/(2и), подставляя в формулу (%.34) а = р. Таким образом, максимум коэффициента динамичности обратно пропорционален коэффициенту и. Из графиков на рис. 1Ч;19, а видно, что силы вязкого сопротивления оказывают заметное действие лишь в околорезонансной области. Это позволяет в удалении от резонанса принимать для р кривую, построенную без учета вязкого сопротивления, а во всей околорезонансной области принимать р = р „ (рис.
1Ч.19, б). 3!5 Такие упрощенные кривые особенно удобны в случаях, когда силы неупругого сопротивления нелинейно связаны со скоростью; при этом достаточно вместо определения всей кривой ограничиться вычислением только резонансной амплитуды. Из выражения (1Ч.З1) видно, что перемещения системы происходят с частотой возмущающей силы, но отстают от изменения силы по фазе.
Это отставание характеризуется углом у, который определяется формулой (И.ЗЗ) и зависит от отношения частот о/р. Как видно, при малых частотах а угол у невелик. При резонансе (и = р) фазовый угол равен л/2, т, е. в те мгновения, когда сила максимальна, перемещение равно нулю. При весьма высоких частотах фазовый угол близок к л, т. е. максимуму силы соответствует минимум перемещения. Вязкое сопротивление существенно влияет на общую силу, передающуюся от колеблющегося объекта основанию. Эта сила состоит из двух слагаемых, соответствующих упругой и вязкой связи: 1Ч = сх+ Йх.
Подставляя сюда х = рх„яп (о1 — у); х =- цвх«, сов (а/ — у), получим Для максимального значения М найдем 4п«ы« ~~гпах = Рро ~/ 1 «Р' Ро — о где Величина р, называется козффш4иенаом усиления. На рис. 1Ч.20 показано изменение этого коэффициента в зависимости от отношения а/р при различных значениях 2п/р. Все кривые про- ' ходят через одну и ту же точку, абсцисса которой равна 1 2, а ордината 1. В области со/р ( 3: 2 затухание полезно, так как снижает коэффициент передачи силы; в области а/р - ~~'2 с ростом демпфирования увеличивается коэффициент передачи силы, Поэтому в случаях, когда режим работы находится в зарезонансной области, сила, передающаяся основанию, возрастает вследствие демпфирования.
Физический смысл этого явления связан с тем, что при колебаниях основанию передаются как бы две силы — по «упругому пути» и по «вязкому пути»; при высокой частоте возбуждения 216 имеют место относительно большие скорости и соответственно возникает большая сила вязкого сопротивления. Пример 21. При испытании свободных загггухаюи1их колебаний авпгомобиля обнаружено: 1) собственная часпгота составляет 7,33 с т; 2) пиковые значения образуют геометрическую прогрессию, причем отношение двух последовательных амплипгуд равно 3,1.
Определить мш.-симальный коэффициент динамичностп, который может быть досгггигнуиг при вынужденных колебаниях этой системы. Рис. 1Ч.20 Находим период свооодных колебаний Т = =- ' — — 0,856 с. 2п 6,28 р 733 Подставив в выражение логарифмического декремента 111.56) значение периода Т и отношение пиковых значений, получим 1п 3,1 п = 0,856 - 1,32. Максимальный коэффициент динамичности [см. формулу (1«г.34)) р 733 Ртах = = -' — — — = 2,77. 2п 2 1,32 При решении этой задачи не учитывалось различие мегкду частотой р„ обнаруженной в эксперименте, и частотой р, которая должна быть подставлена в фоРмУлУ длЯ Рт,х. Эта Разница нс очень велика; действительно, если Р.
= = $~ р' — 1,32' = 7,33 с ', то р — 7,45 с '. В последнее время приобретает все большее распространение комплексная форма решения. К ней можно прийти следующим путем. 217 тх, + ах, + сх, = Р з1п в1, а при действии косинусоидальной силы — в виде тх + ЙХ2 + сх2 = Р соз и1. Умножим первое уравнение на мнимую единицу 1 и сложим со вторым уравнением. Имея в виду равенство е'<" = соз а1 + 1 зш со1, получим дифференциальное уравнение задачи о колебаниях в комплексной форме: тх -!- йх -'- сх = Ре'"'. (1Ч.З5) Здесь Ре'~' — комплексная возмущающая сила; х = 1х, -+ х,— комплексное перемещение, мнимая часть которого описывает движение, вызываемое силой Р з1п в1, а действительная часть — движение, вызываемое силой Р сов а1.
Установившееся движение следует искать в форме х = Ае'~' Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (1Ч.35), получим равенство — то'А+Ин+сА = — Р, из которого можно найти комплексную амплитуду Р (1Ч.З6) Г Последнее выражение запишем также в показательной форме; А = ае'~. (1Ч.37) При переходе от (1Ч.36) к (1Ч.37) можно убедиться в том, что символы а и у имеют прежний смысл [см. выражения (1Ч.32) и (1Ч.ЗЗ)). Таким образом, модуль комплексной амплитуды а есть амплитуда колебаний, а аргумент у — сдвиг фаз.
Поэтому можно сказать, что комплексная амплитуда содержит информацию не только об амплитуде колебаний, но и об их фазе. Знаменатель выражения (1Ч.36) Й = — — ть> тйо — 'с Я представляет собой отношение амплитуды силы к комплексной амплитуде перемещения и называется динамической жесткостью системы. Обратная величина 1 — пю'+ йв+с (1Ч.38) есть комплексная амплитуда колебаний, вызываемых единичной возмущающей силой, и называется частотной характеристикой 218 При действии синусоидальной возмущающей силы уРавнение (1Ч.29) запишется в виде системы. Она описывает зависимости амплитуды и фазы от частоты возмущающей силы, и поэтому ее также называют амплитудносразовой характеристикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
