Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Влияние энергетических особенностей источника возбуждения. Во многих случаях резонансные явления вредны и нужно принимать специальные меры, чтобы в рабочем режиме система была достаточно далека от резонанса. Но существуют технологические процессы (например, вибротрапспортирование), которые основаны на использовании колебаний. Для эффективности таких процессов желательны возможно большие амплитуды колебаний, это может в) у, г),у 7„ б) Ф Рис. 1Ъ'.21 быть достигнуто путем создания резонансных или околорезонансных режимов.
Практически установлено, что иногда работа подобных систем в резонансной области оказывается неустойчивой и система как бы самопроизвольно выходит из этой области. Эти явления были объяснены сравнительно недавно и, как оказалось, связаны с энергетическими свойствами источников возбуждения.
На рис. 1Ъ'.21, а изображено семейство характеристик 1 — 3, типичных для шунтового электродвигателя. Здесь по оси абсцисс отложена угловая скорость о вращения якоря, а по оси ординат— крутящий момент М, который может создать двигатель при данной угловой скорости а. При изменении положения регулировочного органа путем изменения сон р отивл ения в цепи возбужден и я фикс и р уется та или иная характеристика. Характеристики позволяют перейти к определению мощности по формуле У = Ма.
На рис. 1У.21, б приведены кривые мощности 1 3, соответствующие характеристикам на рис. 1Ч.21, а. Каждому положению регулировочного органа (реостата) также соответствует своя кривая 1, 2, 3,... 219 Обратимся теперь к определению энергетических потерь. Для простоты примем, что эти потери имеются только в самой колебательной системе, причем трение носит вязкий характер. При этом за один цикл рассеивается энергия Ч', определяемая формулой (11.61); если в нее подставить п =- 1; 5 = л и частоту а вместо соответствующей частоты р, то получим Ч" =-- лагоа'. Разделив эту величину на период вынужденных колебаний 2л/е, получим мощность, фактически расходуемую при колебаниях: У = Йо'-а'.
2 Подставляя сюда й =- 2лгп и выражение амплитуды а по формуле (1Ч.32), находим для случая, когда амплитуда возмущающей силы пропорциональна оР и составляет сиР (при этом х„=ааР/с) па'-и6 т [(рй в2)~ 1 ~а~лз1 Кривая Л~, (в) приобретает вид, показанный на рис. 1Ч.21, в. Теперь можно сопоставить величины Ж и М, (рис. 1У.21, г).
Допустим, что реостат находится в таком положейии, что характеристикой двигателя является кривая 1; тогда установится режим, которому соответствует точка 1. Пусть далее производится медленное выведение реостата и происходит постепенный разгон системы. На рис. 1Ъ'.21„г видно, что при постепенном выведении реостата кривые будут подниматься выше и выше. Соответственно после состояний 1 и 2 в точке 3 произойдет быстрый разгон системы до режима 4. Затем, по мере дальнейшего выведения реостата, осуществляются режимы Б; б и т.д.
При постепенной остановке машины, когда сопротивление в цепи возбуждения постепенно растет, колебательная система будет последовательно проходить состояпия б, Б, 4, 7, 2, 1 и т. д., причем переход из состояния 7 в состояние 2 будет происходить в виде быстрого падения частоты о. Как видно, в обоих случаях (разгона и остановки) ветвь кривой 3 — 7 остается нереализованной.
Режимы на этой ветви практически нереализуемы, даже если при разгоне после достижения точки 8 снижать мощность Л'. Как оказывается, они неустойчивы, и система уходит от этих режимов на устойчивые режимы. Таким образом, диапазон частот в,— и, вообще неосуществим. Ясно, что такое явление будет возникать во всех тех случаях, когда кривые располагаемых мощностей М могу~ пересекать кривую необходимых мощностей М, более, чем в одной точке. Необходимо заметить, что в подобных случаях точка вверху резонансного пика всегда будет точкой неустойчивого режима; это и служит причиной явлений, о которых было.
сказано выше. 220 Действие периодических импульсов. В качестве исходного выражения примем вместо выражения (1Ч.26) закон свободных затухающих колебаний (11.54) и представим скорость в виде о=х=е — "' оосозр 1 — " ' з1прЛ1 Начало отсчета времени по-прежнему совместим с мгновением 1о (см. рис. 1Ч.15, б). Для мгновения 1, можно записать х,=е — "~(х,совр„т+ ' " ишр„т); ~00+ Р Хо и =е — от о совр Т вЂ” ' о з1ар Т Р~ В мгновение 1, перемещение и скорость вновь равны х, и оо: х, = к, = е —" 1 хо соз р„Т+ — пт Оо + ' з1пр„Т Р~ ПХ Р.
т где Я вЂ” величина импульса. Из этих уравнений находим 5е"~ о1п р„,Т ~от ит Ъ Яе ~е — соир,Т вЂ” — в1п р„Т~ пт/ пт Рж оо ,„(~пт 2 т Т ~1) (1Ъ.39) 2ЛГ Т=гТ р Тогда зш р„Т = О; соз р,Т = 1, и по формулам (1Ч.З9) находим деот хо= О; оо —— о, (еот При малых значениях пТ можно положить е"т = пТ+ 1, т. е. 5 0 о щдТ > 221 Вычислив по этим формулам х, и о„можно затем воспользоваться решением, данным в формуле (11.54). Особенный интерес представляют резонансные режимы, когда период импульсов Т в целое число раз больше собственного периода колебаний Т,. Обозначив это число буквой г, имеем и решение принимает вид х= 5 е — "' з1п р 1.
2лтпг '.г 1-1аибольшее значение (резонансная амплитуда) приблизительно составляет 5 Х ~~~ = 2игппг т. е. обратно пропорционально коэффициенту вязкого сопротивления, как и в случае гармонического возбуждения. Коэффициент Р при резонансе получим, разделив х „на амплитулу колебаний 5/(тр), вызванных однократным импульсом: Р 2ипг р 05 г 1,х 2 г,х со/р Рис. 1Ъ",22 С [е" т яи р, (1 + Т) — ып р„.1) — 5 [е"т соя р, (~ + Т) — сои р, Г) е — пг х— гпр~ 2 ° т,р Т+ ~пт где т т с= [Р(т)е"'совр,тшт; я= [Р~т)е"'в1пр тнт. о о Подчеркнем, что эти формулы выгодно отличаются от зависимостей, которые получаются при разложении возмущающей силы в ряд Фурье, так как избавляют от использования бесконечных сумм.
т. е. с увеличением дК (уменьшением частоты импульсов) резонансные амплитуды убывают. На рис. 1722 показана кривая, подобная изображенной на рис. 1Ъ'.16, но построенная с учетом сил неупругого сопротивления (для случая п)р = 0,1), Из рисунка видно, что с уменьшением частоты импульсов резонансные амплитуды убывают (по линейному закону). Это означает, что показанное на рис. 1Ч.16 сгущение резонансов при убывании частоты импульсов практической опасности не представляет. Действие произвольной периодической силы.
Соответствующие этому случаю выкладки в принципе не отличаются от сделанных на стр. 212 для более простого случая, когда нет затухания. Окончательная формула несколько более сложна, чем формула (1Ч.28), но имеет ту же структуру: Действие силы переменной частоты. Выше (см. рис. 1.9) был дан пример возникновения гармонической возмущающей силы при вращении неуравновец~енного ротора. При этом предполагалось, что угловая скорость вращения постоянна во времени. Рассмотрим колебания, развивающиеся в процессе разгона машины, когда угловая скорость постепенно увеличивается от нуля до некоторого конечного значения.
Особенно важен случай, когда в процессе разгона происходит переход через резонанс. Если переход совершается не очень медленно, то возникающие колебания значительно отличаются от колебаний при установившемся режиме. Поэтому было бы неверным оценивать опасность перехода через резонанс по тем амплитудам, которые могут быть вычислены при расчете установившихся резонансных колебаний.
Если принять, что угловая скорость увеличивается равномерно, и обозначить через в угловое ускорение, то угловая скорость составит а1, а угол поворота еР/2. Соответственно центробежная сила составит тг (ег)', где тг — произведение вращающейся массы на эксцентриситет; при этом вертикальная составляющая этой силы (возмущающая сила) будет Р (1) = пи (е 1)' з 1п— Колебания, вызванные такой силой, можно описать при помощи общего решения (1Ъ'.ЗО). Однако получаемый при этом интеграл не поддается представлению в элементарных функциях.
В искусственно упрощенной задаче, когда амплитуда силы 81 Р=-Р йп— — 0 принимается постоянной (рис. 1Ч.23, а, где за аргумент принято «безразмерное время» е//р), развитие процесса колебаний следует кривым, показанным на рис. 1Ч.23, б и относящимся к некоторому определенному значению коэффициента поглощения. Кривые соответствуют различным скоростям разгона, причем за меру этих скоростей принят безразмерный параметр в/р'. Как видно из рисунка, чем больше темп разгона, тем меньше значение максимума амплитуды колебаний.
В качественном отношении к этому близки результаты решения более сложной задачи, в которой учитывается возрастание амплитуды возмущающей силы в процессе разгона. Эти результаты приводят к следующим выводам: 1) максимальные амплитуды колебаний при переходе через резонанс меньше, чем в случае установившихся резонансных колебаний, причем различие тем больше, чем быстрее происходит переход через резонанс; 2) максимальные амплитуды колебаний достигаются не в момент совпадения частоты возмущающей силы с собственной частотой системы, а несколько позже; в процессе разгона максимум 223 амплитуды смещается в сторону больших частот, а в процессе остановки — в сторону меньших частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
