Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 37
Текст из файла (страница 37)
На рис. 1У,24 показаны зависимости максимальной амплитуды колебаний, достигаемой в процессе перехода через резонанс, от темпа перехода (параметр е/р') и диссипативных свойств системы (параметр ф(2л), где ~ — коэффициент поглощения). Каждой кривой соответствует определенное значение отношения максимума амплитуды а,„к амплитуде колебаний а~ в рабочем режиме.
Показанными здесь графиками пользуются также для того, чтобы найти необходимый коэффициент поглощения системы, если параметр в'р' задан, а отношение амплитуд а,„~а, выбрано определенным образам. Если найденная по графикам величина ф/(2л) == 0,03, то можно не вводить в систему никаких специальных средств увеличения демпфирования (см. [41]).
Влияние произвольно заданных сил неупругого сопротивления Рассмотрим общий случай, когда сила неупругого сопротивления является некоторой нелинейной функцией скорости: К = = й (х). Ввиду сложности точного учета влияния такой силы ограничимся приближенным простым приемом. Заменим силу Р эквивалентной силой вязкого трения (1Ъ'.40) и определим коэффициент Й из условия равенства работ, произведенных силами К и Я„, за период колебаний.
При этом придется ввести еще определенное предположение о характере колебательного процесса. При действии гармонической возмущающей силы естественно предположить, что и в общем случае сил неупругого сопротивления колебательный процесс описывается законом (1Ч.31), т. е. является гармоническим. Удобнее сместить начало отсчета времени с таким расчетом, чтобы закон колебаний принял более простой вид х — — а соз о1.
(1Ч.41) Тогда элементарная работа эквивалентной силы К определится в виде й,дх= й.,х Ж. (1Ъ'.42) Подставляя сюда выражение (1Ъ'.40), получаем — й х'й= — а'(оЧг з1п'Ий соответственно этому работа силы Р за период равна т ~ Р х'Л= — лй а'а). О ~ст (1Ъ'.44) 2 + Следует заметить, что неизвестная амплитуда входит в обе части этого равенства. Определив из выражения (1Ч.44) зависимость амплитуды от частоты колебаний о, можно построить кривую, подобную кривым на рис. 1Ъ'.15, а. Проследим за этими операциями на примере силы неупругого сопротивления, заданной в виде й= — И!х!" — '. (1Ч.45) Аналогично выражению (1Ъ".42) элементарная работа этих сил У~ сРх =- Йх Ж = — Йх' ~ х ~" ' й. Если сюда подставить выражение (1Ч.41), то получится ~х2 ! х ) и — 1 Д1 ~па — ', 1с~л+1 ! з1п ~1 ~а+1 Д1 н работа силы Р за период равна т т ~ йх п1 = — Ьа" +'в" +' ~ ( з1п с11 ) "+' Ж = б о сЛ ,~~пл ~ 1~,~и ~ ~ з1п.~ ~л+1 Ду о Входящий сюда интеграл был выше обозначен через о (см.
формулу (11.62)1, так что т Ях,1Я /~цп — , '1~п$ о (1Ч.46) Г1рнравниваем выражения (1Ч.43) и (1Ъ".46): :тй а'о = — /га" +'а" о отсюда находим эквивалентный коэффициент вязкого сопротивления (пщ)Р1 — 1 Ю л который и следует подставить в соотношение (1Ч.44); из последнего можно определить амплитуду колебаний. Так, например, если 22б Лналогично должна быть представлена работа, совершаемая заданной нелинейной силой неупругого сопротивления. Положим, что указанные операции выполнены и определен эквивалентный коэффициент Й, (как правило, его величина окажется зависящей от амплитуды колебания а). Подставим найденное выражение й„в решение (1Ч.32): и =- 2, то на стр. 55 находим Ь' — 2,667, т.
е. й„= 0,85/гасо. Под- ставляя это выражение в формулу (1Ч.44), получим "ст 1/( ' )' (0,8!! ')'-' Решив это биквадратное уравнение, получим окон нательное выра- жение для амплитуд колебаний а= —,, 1/ 1 (1 — —,) -!-4х„( ' ) — (1 — —,) Резонансная амплитуда приблизительно соответствует равенству !! — р и равна 1)85 ~/ !!!хст где и — приведенная масса.
С помощью того же способа можно найти эквивалентный коэффициент для случая гистерезисного трения. Приравнивая выражение (11.51), определяющее потерю механической энергии за один цикл деформирования системы, абсолютной величине выражения (1Ч.43), найдем !г!! й Л!!! Здесь следует обратить внимание на то, что эквивалентный коэффициент трения обратно пропорционален частоте колебаний. Для того чтобы найти амплитуду колебаний, подставим полученное выражение 7г в соотношение (1Ч.32). Тогда получится следующее уравнение относительно а; (1Ч,47) В некоторых частных случаях из уравнения (1Х'А7) может быть сразу получено решение. При и == 2 соотношение (1Ч.47) приводится к биквадратному уравнению, из которого получим т (Р' — аР) 1 / 1,Г 4Рф 1/ И 1/ У !!! (Р— !!! ) При и = 1 из соотношения (1Ъ'А7) находим ~СТ Г ( -%)'-(! )' Обратим внимание на одинаковую структуру последней формулы и формулы (1Ч.32), полученной для случая вязкого сопротивления, 227 При и — О (кулоново трение) соотношение (Ю.47) дает Из этой формулы виден неограниченный рост амплитуд при совпадении частот а = р, При ~г) Р, колеоания невозможны.
Полученные выражения позволяют полностью построить соответствующие амплитудно-частотные характеристики. Однако чаще всего такое построение дает лишь иллюзию высокой точности, поскольку исходные значения и известны лишь сугубо приближенно и, кроме того, приближенной является сама исходная зависимость (11.51). Поэтому более логично и практически достаточно воспользоваться упрощенным построением, идея которого была пояснена выше в связи с рис, 1Ъ'.19, б. Для этого нужно сначала построить амплитудно-частотную характеристику без всякого учета трения в системе, а затем произвести «срезку» ординат на уровне, соответствующем резонансной амплитуде.
Это значение легко найти из соотношения (1Ъ'.47), положив там а = р; при этом для любых значений п получим простую формулу Пг Яр«» 1' РОМ э которая с достаточной точностью решает весь вопрос. Случайные колебания Любому закономерному явлению в той или иной степени сопутствуют случайные отклонения.
Однако во многих практических задачах этими случайными «примесями» можно пренебречь и считать рассматриваемые явления полностью определенными, детерминированными. В частности, именно так рассматривались выше возмущающие силы, которые полагались детерминированными функциями времени, хотя в действительности такие силы всегда содержат некоторые случайные составляющие, которые не были учтены вследствие их предполагаемой малости. Наряду с этим существуют задачи, в которых возмущающие силы вообще не поддаются детерминистическому описанию и представляют собой случайные функции времени (случайные процессы). Примерами таких сил могут служить нагрузки на рабочие органы экскаваторов, сельскохозяйственных машин, горных выемочных машин, действие ветра на инженерные сооружения или морского волнения на корабль, сейсмические нагрузки и т.
п. Со случайными функциями времени приходится иметь дело и в некоторых задачах о кинематическом возбуждении, например при анализе колебаний автомобиля, движущегося по неровной дороге; детерминистическое решение этих задач сугубо условно. 228 Приведем основные сведения, относящиеся к описанию случайных функций н к анализу случайных колебаний. Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, причем заранее неизвестно, какой именно. Конкретный вид, принимаемый функцией в результате опыта, называется реа~гизаг(ией с,гдчайной функции. Случайный характер рассматриваемых здесь явлений не означает, что при их протекании отсутствуют какие бы то ни было закономерности.
Случайным функциям (в частности, случайным функциям времени) свойственны некоторые закономерности, которые, однако, имеют только статистический смысл. Всякую случайную функцию характеризуют неслучайными функциями — математическим ожиданием, дисггерсией и коррегяггионной функиией. Эти характеристики случайной функции по самому своему существу не могут быть заранее определены на основании каких-либо теоретических соображений, и их можно найти только путем обработки результатов экспериментальных наблюдений.
В задачах о случайных колебаниях механических систем наиболее сложно и ответственно именно определение названных характеристик для возмущающих сил; последующий анализ движения системы (которое при этом также представляет собой случайную функцию времени) поддается теоретическому определению и относительно прост, в особенности для линейных механических систем. Обозначим через Х (1) случайную функцию времени, а через Х; (1) — ее г-ую реализацию. Конечно, задать (описать) функцию Х (1) — это значит задать (описать) достаточно обширпу[о серию ее реализаций. Ыателгатическим ожиданием случайной функции называется се среднее (по всем реализациям) значение т, [[) = Пт — ~ М[Х,[[)[= М [Х [[)[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
