Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В случае, когда система испытывает в мгновения т,, т,, ... серию мгновенных ударов * (их импульсы обозначим через 3,, 5„ ...), интегрирование должно быть заменено суммированием, т. е. где и — номер последнего импульса, предшествующего мгновению 1. Существует другой вариант записи общего решения, который можно получить, если представить заданную силу Р (т) в виде суммы бесконечной последовательности толчков (рис.
1Ч.4, б). Прежде всего выделим начальный толчок, соответствующий начальному значению силы Р (О). Его действие согласно выражению (1Ч.5) представляется в виде Р (0) — Р (О) сов р~ (%.9) с Дальнейший закон изменения заданной силы представим как последовательность бесконечно малых толчков Р (т) Йт. Каждый из них вызывает движение, описываемое тем же выражением (1Ч.5), умноженным на значение толчка Р (т) дх, т.
е, Р (т) 11 — соз р (1 — т)1йт. " Здесь речь идет о «безмассовых» ударах, импульсы которых наперед заданы и считаются не зависящими от движения самой системы. Суммарное действие всей последовательности элементарных толчков определяется интегралом х, = ~ (1 — соз р (1 — т)1 Йт = г Ф() с о Р (Π— Р(о) 1 à — — ~) Р (т) соэ р (~ — т) дт. о Сложив это выражение с (1Ч.9), окончательно получим 1 х = ~(Р)С) — Р)0) сох Р1 — 1 Р)т) сот р)) — т) т)т~ . ))))1О) о Случай кинематического возбуждения. Вернемся к случаю, показанному на рис. 1Ч.З, когда вынужденные колебания являются результатом движения точки крепления упругой связи.
Согласно соотношению (17.6) при колебаниях этой точки по закону ~ (1) груз колеблется так, как если бы на него действовала возмущающая сила с~ (т). Это соотношение позволяет записать основное решение (Ю.8) в виде х = р ) ) Ст) х1о р СС вЂ” т) Нт. о Аналогично вместо формулы (1Ч.10) получим при 1' (0) = 0 х = ) )С) — ) ) )т) сох р )) — т) Ыт. ))т).)1) о Некоторые случаи непериодического возбуждения. С помощью общих решений (1Ч.8) и (1Ъ'.10) можно найти движение, вызываемое произвольно заданной возмущающей силой. Однако в случаях периодического возбуждения обычно пользуются другими способами получения общего решения (см.
ниже), а выражения (1Ч,8) и (1Ч.10) применяют лишь к задачам о непериодическом возбуждении. Рассмотрим некоторые типичные задачи такого характера. Действие линейно возрастающей силы (рис. 1Ч.5, а). Если изменение силы задано законом Р = ~1 (р — коэффициент, характеризующий темп возрастания силы), то из (1У.10) найдем х = — — — з(п р1. й Р (1Ч.12) с ср Первое слагаемое полученного решения представляет собой статическое действие силы, а второе слагаемое — динамическую поправку к статическому решению. Перемещения возрастают по 196 сложному закону, представляющему собой сумму линейной функции и синусоиды (рис. 1Ч.5, б).
Рассмотрим теперь случай, когда сила сначала возрастает, а затем, достигнув в момент 1,„некоторого значения Р„= ~1„, остается неизменной (рис. 1Ч.5, в). Такую силу можно представить в виде суммы двух сил Р, и Р„графики которых показаны а) Р Я) Р[ Ряс. 1Ъ'.5 на рис. 1Ъ'.5, г н д. Действие первой силы Р, определяется непосредственно по выражению (1Ч.12), т.
е. х1 = — в1п р1. Р с ср Движение, вызываемое второй силой Р„также можно найти по выражению (1Ч.12), изменив знак результата и заменив 1 на х, = — [ ' — — в~п р а — ! )] . гР(~ — ~.) Р .. с ср Ф При 1 < 1,, движение описывается функцией х„а при 1 ) 1„— суммои функции х, и х . Р Р„ х = — ' — "' [з1п р1 — з1п р (1 — 1 )].
с ср1„ Преобразуя выражение, входящее в квадратные скобки, получаем зш р~. 1 — 2 сов р1 — ~ — * х= — '[ 197 Здесь дробь Р„!с представляет собой перемещение, которое вызвала бы статически прикладываемая сила Р,. Из (1Ч.13) видно, что система продолжает совершать колебания и после того, как прекратилось изменение силы. Они описываются вторым слагаемым в квадратных скобках, причем его наибольшее значение составляет р1.
яп— 2 2 . Сумма р1, (1Ч.14) ~ ртакТ 2 — ~ Р(т) совр(1 — т) дт о Произведение Р,„Т~2 — максимально возможное приращение возмущающей силы за промежуток времени, равный полупериоду 198 есть коэффициент динамичности в рассматриваемом случае. Значения р лежат в интервале 1 — 2 и зависят от характерного произведения р1„отражающего как собственные свойства системы, так и быстроту возрастания силы. При весьма быстром возрастании силы, когда величина 1.„.
(а вместе с этим и величина р1 ) мала, коэффициент динамичности близок к значению 2, что соответствует и полученному выше выражению (1Ч.5). При весьма медленном возрастании силы коэффициент динамичности близок к единице, так как значение р1, велико и второе слагаемое в выражении (Ю.14) мало. При решении статических задач обычно оговаривают, что нагрузка возрастает весьма медленно. С помощью выражения (1Ч.14) можно дать количественную оценку достаточной медленности возрастания нагрузки. Примем, например, что если р < 1,05, то такое нагружение допустимо практически считать статическим. Из (ГЧ.14) можно найти, что это условие выполняется, когда р1„. ) 40; это означает, что длительность возрастания нагрузки должна быть, по крайней мере, в шесть раз (приблизительно) большей, чем период свободных колебаний системы.
Из полученных решений (1Ч.5) и (1У.13) следует, что колебания, вызываемые рассмотренными типами сил, продолжаются неограниченно долго. Конечно, это результат того, что в решении не были учтены силы трения. При учете таких сил выясняется, что в названных случаях колебания постепенно затухают, однако это практически не влияет на полученные выражения для коэффициентов динамичности, поскольку в начале процесса трение не успевает заметно повлиять на отклонения системы. А.
Н. Крылов дал оценку динамической поправки для более общего случая возмущающей силы, когда Р (О) = 0 и кривая Р (~) имеет один максимум (рис. 1Ъ'.6). Обозначив максимальное значение Р (~) через Р,„,„, получи~ свободных колебаний. Отношение ЭтоГо йроизвЕдения к манснмальному значению силы определяет максимум возможной относительной динамической поправки Р,„Т~'(2Р,„). Отсюда также видно, что если период свободных колебаний мал по сравнению с продолжительностью возрастания силы, она может считаться медленно изменяющейся, а ее действие можно рассчитывать без учета динамичности, т. е. считать силу приложенной статически.
Действие быстро исчезающих сил. Обратимся теперь к случаям, когда возмущающая сила действует в течение весьма короткого промежутка времени. Как будет показано, даже весьма значитель- Рис. 1Ч.7 Рис. 1~'.6 ная нагрузка может оказаться безопасной, если длительность ее действия мала сравнительно с периодом Т свободных колебаний системы. Рассмотрим действие силы Р, которая внезапно прикладывается в мгновение 1 = О, остается постоянной в течение некоторого времени 1„, а затем так же внезапно исчезает (рис.
1Ч.7). Можно показать, что если 1,. < Т~2, то максимальное отклонение системы достигается после исчезновения силы. В таком случае для 1 ) ~„ согласно решению (1Ч.8) имеем х = — ~" з1п р (1 — т) Йт = — з1п —,* з1п ~1 — ф 1. о Обозначим отношение промежутка времени 1„к периоду свободных колебаний Т через и, тогда р1„Ы вЂ” = — — = Л(Х.
2 Т Максимальное отклонение соответственно выражению (1У.15) х,.„= — 2к„з1п ля, Следовательно, коэффициент динамичности р — — 2зшлм ~ст !99 имеет следующие значения: и...... 0 0,01 0,02 0,03 0,05 0,10 0,15 0,25 0,5 р, . . . . . . 0 0,052 0,126 0,188 0,313 0,518 0,908 1,413 2,000 Отсюда видно, что р ( 1 при а ( 1))6; если сила действует в течение весьма малой доли периода свободных колебаний, то эффект такой кратковременной силы во много раз меньше статического.
Аналогичный вывод можно сделать в случае, когда возмущающая сила в интервале 1„изменяется 2 по иному закону. Покажем, что действие любой кратковременной силы приближенпо может быть оценено ее импульсом. Для 1 ~ ~,, имеем решение в виде и х = — 1 Р ст) п1п р )) — т) )т, 1 Рис. 1Ч.Я или т1п РС 1 Р )т) сох рт Шт — сот р) 1 Р )т) т)п рт Йт1 о о =4 — 81пр~ ~ Р(т) соэ - ' — йт — соз Р1 ~ Р(т) з1п —, Ыт 1 . 2)т г, 2))т тр~.Т 7" о о Но так как отношение т1Т меньше отношения 1„/Т, то т(Т есть малое число.
В таком случае можно приближенно записать х= -' — - 1 Рст)с)т. тр о Входящий сюда интеграл есть импульс силы Р (1); обозначая его через Я, получим Я х = — з1п р1. напр Как видно, движение системы определяется величиной импульса, а подробности изменения силы за промежуток времени 1 неважны. Колебания подрессоренного груза при движения по неровной дороге (рис. 1Ч.З). Примем, что профиль дороги задан уравнением г = Ь(1 — е-~"), где Й вЂ” предел, к которому стремится высота профиля; 7 — пара- метр, характеризующий кривизну профиля. 200 Обозначим буквой 6 вес груза, буквой о — горизонтальную скорость его движения и примем начало отсчета времени в мгновение, когда опорная точка проходит начало неровности.
Тогда х = И и движение опорной точки по вертикали определится законом ~(1) = — Й(! — е — ~"'). Дифференцируя, находим 1 (1) = уойе- ~'". Пользуясь формулой (1Ч.11), получим закон движения груза по вертикали: 2=~(1) 17ойе — г" соир(! — т)шт. 0 Так как важно пе абсолютное изменение положения груза, а его колебания относительно опорной точки, то рассмотрим разность, определяющую дополнительную деформацию пружины: я, = г ф — ~ щ = — 1 уойе-'" сои р (1 — т) ~т.
о Интегрируя, находим г = 1~созРсс ~е — 1"~ -~- ' ~~' ) 1, ф япи где я определяется соотношением М Р т~\ Отсюда видно, что при весьма малой скорости а - п(2; г — 1"— — О. Наоборот, при весьма большой скорости (а также при весьма большом значении параметра у) а — 0 и колебания приближенно описываются законом г, =Ь(е — ~"' — сов р1). Дальнейший анализ позволит найти максимальное значение разности г,, ускорения и т. д Действие гармонической силы. Случай, когда возмущающая сила изменяется по гармоническому закону Р =Р аппо~ (Р, — амплитуда силы; в — ее частота), является одним из наи- более частых в расчетной практике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
