Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 31
Текст из файла (страница 31)
111.25). В этой, схеме воздух нагнетается специальными вентиляторами в про- Рис. 111.28 странство под нижней поверхностью аппарата (подкупольный объем) и затем выходит в атмосферу через щелевой зазор, расположенный внизу по периметру аппарата. Избыточное давление в подушке создает силу поддержания (подъемную силу), уравновешивающую вес аппарата, В зависимости от производительности вентиляторов возможно равновесное положение аппарата в достаточно широком диапазоне высот, но, как оказывается, не все эти положения устойчивы.
Рассмотрим возмущенное движение аппарата около равновесного положения, имея в виду только вертикальные поступательные перемещения. Введем следующие значения: р и р„= р — р,— полное и избыточное давление воздуха в подушке (р, — атмосферное давление); Р— объем подушки (подкупольный объем); р — плотность воздуха в подушке; б' — массовый расход воз- 188 ~(Р~ ) 6+ И (111.74) С помощью (111.72) и (111.73) и пренебрегая членами второго порядка малости, содержащими произведения уЛр и уЛр, найдем для левой части (111.74) ~Ьй „1, (Ф о) (111.75) Для слагаемых, входящих в правую часть, можно принять следующие выражения: (111,76) Первое из этих выражений соответствует случаю неизменной мощности вентилятора.
Второе выражение записано для условий изоэнтропийного истечения воздуха из подкупольного объема и учитывает изменение площади щелевого зазора при перемещениях аппарата. Таким образом, вместо (111.74) имеем рдо ~ =бо Й о ° (11177) Введя обозначение О = ро~'о/б„получим следующую связь между повышением давления Лр н перемещением аппарата у: (111.78) духа, подаваемого вентиляторами в подкупольный объем; 6— массовый расход воздуха, вытекающего из подкупольного объема в атмосферу; Й вЂ” высота щелевого зазора; Н вЂ” средняя высота подкупольного объема.
Значения этих величин для равновесного положения будем обозначать теми же буквами, но с дополнительным индексом О. При этом 6; = 6, и верхний индекс можно вообще опустить. Далее можно записать 1' = 1'о (1 — ФН); Й = Йо (1 — Нйо) (111 72) где ц = Й, — Й вЂ” отклонение аппарата вниз от равновесного положения. Связь между давлением в подкупольном объеме и плотностью воздуха примем в виде р/ро=(р/ро)", где п — показатель поли- тропы, т. е.
Ар р= ро по!' (111.73) где Лр — отклонение давления от равновесного значения. В основу дальнейших выкладок положим ур.авнение массо- обмена Пусть Š— площадь горизонтальной проекции подкупольного объема, тогда Р = РЛр есть приращение подъемной силы. При этом вместо (111,78) получим аР+Р= Ьу+су, (111,79) где ~~Роо . 1 ~~~Рип ~~0~ .
2Р о~ ~~~ (111 80) ЗпРо ' ЗН ЗН ' Зао 36~ есть постоянные аппарата. Полезно отметить, что соотношение (111.79) аналогично соотношению (11.75), т. е, воздушная подушка обладает свойствами сложной вязко-упругой подвески. При возмущенном движении аппарата нужно принять ту = = — Р. Здесь знаки соответствуют принятому выше правилу: положительное направление у — вниз, а положительное направление Р— вверх.
Исключив с помощью этого соотношения из (111.79) силу Р и ее производную Р, получим дифференциальное уравнение третьего порядка, подобное (11.84): Ь с ау+у+ — у+ — у=О. (111.81) Характеристическое уравнение имеет вид Х'+ — + Х+ — = О. РР, Ь с а ' ат ат (111.82) Для устойчивости аппарата необходимо, чтобы были удовлет-. ворены условия Гурвица (111.8); в данном случае содержательным оказывается лишь последнее из них, остальные тождественно удовлетворяются, т, е.
О' ас, или при учете (111.80) ) 1. ЗаоаРо ~~Роо Отсюда следует, что аппарат устойчив лишь при достаточно больших равновесных высотах парения, причем критическая ЗР.о высота парения равнай„р= Р"' Н. Так, если принять р„о/ро = = 0,05, а = 1,4, то й, = 0,024Н. Для устойчивости апйарата необходимо, чтобы эксплуатационная высота парения была больше критического значения, Разумеется, при выходе аппарата на эксплуатационный режим неизбежен переход через неустойчивую полосу значений высоты, но если это делается достаточно быстро, то неустойчивость в полной мере не успевает проявиться.
ГЛЛВЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ НОЛЕБАНИЯ 18. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ НЕУПРУГИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ Основное уравнение Вернемся к простейшей системе, изображенной на рис. 1.1, б, которая является как бы эталоном линейной системы с одной степенью свободы. В отличие от предыдущего будем рассматривать вынужденные колебания этой системы, т. е.
колебания, вызываемые заданной возмущающей силой Р =Р(1). -сх ', ' ~9) В любой момент процесса вынужденных колебаний на груз массы т действуют две силы: сила упругости пруРис. !Ч,1 жины, пропорциональная смещению х груза, и возмущающая сила Р (1), изменяющаяся во времени по некоторому так или иначе заранее заданному закону (ниже будут исследованы наиболее важные частные случаи).
При помощи схемы сил, изображенной на рис.1 1У.1, составляем дифференциальное уравнение движения груза Р (1) — сх = тх, (1Ч. 1) где с — жесткость пружины. Введя прежнее обозначение р' = с/т, перепишем уравнение (1Ч.1) в форме х+ р'х = (1Ъ'.2) 191 которую и будем называть основной. Конечно, уравнение (1Ч.2) представляет интерес не только в связи с простой схемой, показанной на рис. 1.1, б. Дифференциальное уравнение колебаний любой механической системы с одной степенью свободы при отсутствии диссипативных сил также приводится к виду (1Ъ'.2). В качестве простого примера рассмотрим задачу о колебаниях, вызываемых единичным толчком, т.
е, внезапно прикладываемой в момент времени 1 = т и затем постоянно действующей силой Р = — 1 (рис. 1'т".2, а). Для 1 =.- т дифференциальное уравнение приобретает вид 2 х-1- р'х =— (1Ч.З) Решение уравнения должно удовлетворять начальным условиям (при 1 = т) х=О;х=О. (17.4) Это решение представляет собой сумму, составленную из решения соответствующего однородного дифференциального уравнения х, = С, з1п р1+ С, соз р1 и частного решения заданного дифференциального уравнения (1Ч.З) 1 1 а) р х,= тр' с т. е. х = С,з1п р1+ 1 + С, соз р1+ —.
Рис. 1Ч.З Рис. 1Ъ',2 Из условий (1Ч.4) определяем постоянные ь1п рт, С сои рт с и находим 1 — соя р (1 — т) Х= (1Ч.5) Полученный закон движения иллюстрирован на рис. 1Ъ'.2, б. Как видно, наибольшее значение х составляет х = 2,'с, т. е. вдвое больше перемещения, вызываемого статически приложенной силой Р = 1. К той же форме (1У.2) можно привести задачу о вынужденных колебаниях, вызываемых кинематическим способом (т.
е. при кинематическом возбуждении). Чтобы пояснить это, вновь рассмотрим ту же одномассовую систему, но предположим, что 192 причиной колебаний груза служат заданные колебания точки крепления пружины (рис. И.З); положим, что закон движения этой точки задан в виде ( (1). Рассмотрим сначала абсолютное движение груза и обозначим через х текущее значение его перемещения. Тогда удлинение пружины равно х — ) и, следовательно, на груз действует сила упругости пружины — с (х — ~). Соответственно дифференциальное уравнение движения имеет вид — с(х — )') =тх, или 2 ~1() Произведение с~ (1) можно рассматривать как приведенную возмущающую силу Р (() = с1 (1), (1У.6) что вновь приводит к основной форме (1Ъ'.2).
В некоторых случаях (например, для расчета прочности пружины) представляет интерес не абсолютное, а относительное движение груза. Обозначим через х„относительное перемещение груза в системе координат, связанной с левым концам пружины; тогда дифференциальное уравнение относительного движения запишется в виде тх., + сх„= — т~ (где — т)' — переносная сила инерции груза) или также в форме (1Ч.2): х, + р'х„= — ~. Таким образом, при любом подходе к решению задачи кинематическое возбуждение мажет быть заменено некоторым эквивалентным силовым возбуждением. Решение основного уравнения Общее решение. Решение неоднородного уравнения (1Ч.2) следует искать в виде суммы решения соответствующего уравнения без правой части (т.
е. уравнения свободных колебаний) и какого-либо частного решения заданного уравнения (1Ч.2). Вместо того чтобы в каждом конкретном случае подбирать частное решение, соответствующее заданному виду правой части, можно воспользоваться известным в теории линейных дифференциальных уравнений общим методом вариации произвольных постоянных. Для того чтобы отчетливее выявить физическую сущность результатов, поступим по-иному и рассмотрим сначала свободные !3 я. г.
Пановко !93 колебания груза на упругой связи, вызываемые единичным мгновенным импульсом Я = 1; пусть этот импульс прикладывается в мгновение т. Тогда при 1 ) т движение описывается выражением (11.3) х = а ип (р1 + а), а скорость — выражением о =- х = ар соз (р1 + а). Для определения постоянных а и а нужно использовать начальные условия, которые относятся к моменту исчезновения мгновенного импульса. В этот момент перемещение груза еще а) Рис. 1Ъ'.4 О = а з1п (рт+ а); 1~т = ар соз (рт+ а). Отсюда находим 1 а= —; тр ' Следовательно, движение происходит по закону х= — з1п р(1 — т).
1 тр (1Ъ'.7) Решив эту вспомогательную задачу, вернемся к случаю действия произвольной возмущающей силы и будем рассматривать ее как последовательность бесконечно малых импульсов Р (т) дт (рис. 1Ъ'.4, а). От одного такого импульса перемещение в мгновение 1 ) т согласно формуле (1Ч.7) составит Р(т) йт И~Э зш р (1 — т). 194 отсутствует, т. е.
х (т) = О, а скорость согласно закону об изменении количества движения системы имеет конечное значение о (т) = 5/и. Таким образом, начальные условия имеют вид: Перемещение, вызванное всей последовательностью импульсов, расположенных в интервале (О, 1), найдем при помощи интегрирования; х = — ~ Р (т) з1п р (1 — т) Ит. 1 тр о (И.8) Интегрирование ведется по переменной т, и поэтому' при вычислении интеграла, входящего в (1Ч.8), букву 1 следует считать постоянной; после подстановки пределов образуется зависимость перемещения х от времени 1, что и представляет собой решение задачи, соответствующее начальным условиям хе=О, ов=О. Подчеркнем, что использованное в процессе вывода формулы (1Ъ'.8) суммирование результатов справедливо ввиду линейности системы; подобный подход для нелинейной системы был бы необоснован.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
