Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Вал вращается в подшипниках с угловой скоростью а, причем его изгибная жесткость одинакова во всех направлениях; диск расположен посередине между опорами. При вращении вал будет изгибаться под с1 41 Ф г действием центробеже ной силы диска, причем 3 возможен стационарг ный режим движения, при котором изогнутая — ось вала представляет 3 р собой неизменную во времени жесткую кривую, вращающуюся е с угловой скоростью ь вокруг оси, проходящей через центры подРис, 111.5 шипников. Если обозначить упругий прогиб вала в среднем сечении через г, то результирующий эксцентриситет окажется равным е+ г и, следовательно, центробежная сила определится выражением тоз' (е + г).
Прогиб можно записать также в виде частного от деления центробежной силы на коэффициент изгибной жесткости вала с: то12 (с+ г) г= с Отсюда находим, что прогиб вала пропорционален начальному эксцентриситету и весьма своеобразно зависит от угловой скорости вращения: гс г= '1 с — тю' (111.14) Из формулы (111.14) следует важный вывод: если выполняется равенство с = та', то знаменатель правой части формулы (111.14) обращается в нуль и прогиб формально становится бесконечно большим. Это критическое состояние насту. пает при вполне определенном значении угловой скорости а„„= ~1/с/и, (111.
15) которое, как видно, зависит только от параметров системы. Такую скорость называют критической скоростью вращения. Она совпадает с собственной частотой р поперечных колебаний невращающейся системы вал — диск и тем больше, чем жестче вал и легче диск. 160 С помощью формулы (111.16) можно получить выражение для относительного прогиба вала (111. 16) Кривая зависимости г/е от отношения а/а,р —— в/р приведена на рис.
111.5, б. При медленном вращении прогибы г малы и возрастают с ростом угловой скорости; при этом центр тяжести диска 5 расположен дальше от центра вращения О, чем центр сечения вала %' (рис. 111.6, а). Если со/а„„= 1, то прогиб стремится к бесконечности (критическое состояние). В закритической области, о И' 5 когда со ) о,р, прогибы вновь оказываются конечными, но имеют знак, противоположный 6' 5 начальному эксцентриситету. На рис. 111.6, б показано соответствующее этому случаю взаимное расположение цент- Рис. 111.6 ров 5, О -и 1р'. При быстром вращении, когда а > а,р, центр тяжести диска 5 оказывается ближе к центру вращения О, чем центр вала 1Г.
Чем больше угловая скорость, тем ближе располагается центр тяжести диска 5 к центру вращения О; при ю — со центр тяжести диска неограниченно приближается к оси вращения. Таким образом, при весьма больших угловых скоростях происходит самоцентрирование диска. Поэтому, делая вал весьма гибким (т. е. добиваясь малых значений вар), можно получить хорошую сбалансированность системы в условиях эксплуатации; этим пользуются при проектировании валов быстроходных турбин, в которых гибкие валы оказываются рациональнее жестких. Выше критическое состояние было определено как состояние неограниченного возрастания прогиба вала, если диск имеет начальный эксцентриситет. Возможна также другая трактовка критического состояния. Примем, что в схеме на рис. 111.5 эксцентриситет е = О.
Тогда стационарный режим движения представляет собой вращение прямого недеформированного вала вместе с диском. Допустим, что вследствие какого-либо малого возмущения вал изогнулся, и определим последующее движение диска с центром 5 в подвижной координатной системе дг, которая равномерно вращается с угловой скоростью а, равной угловой скорости вращения диска; последнюю будем считать неизменной, что всегда может быть обеспечено соответствующим изменением внешнего вращающего момента. Полюс О, вокруг которого происходит вращение, 161 11 Я. Г.
Пановко совпадает с равновеснь1м положением центра тяжести диска, т. е, лежит на оси подшипников. Относительно этой координатной системы диск не вращается, т. е. движется поступательно; поэтому относительное движение диска полностью описывается движением его центра тяжести Я. В процессе возмущенного движения на диск действует упругая реакция — сг.
На рис. 111.7, а показаны ее проекции на оси у и г, соответственно равные — су и — сг, на рис, 111.7, б — проекции силы инерции переносного движения то2у и та2г, су а на рис. 111,7, в — проекции кориолисовой силы 2твг и — 2тьу. Дифференциальные уравнения относительного движения диска — су —,' тсэ2у+ 2таг = ту; (111.17) — сг - ~- та2г — 2тьу = п1г. б) 2 Если воспользоваться соотношением с = тр' (где р — собственная частота невращающейся системы, причем р = — а,р), получим основную систему уравнений у+ (р' — в2) у — 2жг=О; г+ (р2 — ь') г+ 2ьу = О. (!11.18) Подстановка (111.3) приводит к следующему характеристическому уравнению: Л~ — ';2Л2 (р2+ 1у12) ~- (р2 — а2)2 = О, (! 11.
19) имеющему корни Рис. 111.7 Отсюда видно, что если в + р, то все корни — чисто мнимые и соответствующее возмущенное движение представляет собой сумму гармонических колебаний с частотами р + ы и ~ р — со~; таким образом, при о + р невозмущенный режим устойчив. Если же а =- р, то среди корней (111.20) возникнут два нулевых корня; как было сказано выше, это означает неустойчивость невозмущенного стационарного режима. К этому же результату можно было прийти, если для схемы (рис. 11!.5, а) при с = 0 сразу поставить вопрос, при каком значении в наряду с невозмущенным состоянием существует возмущенное состояние относительного равновесия диска. Такому 162 состоянию соответствует переносная сила инерции тв'г, и условиЕ относительного равновесия приобретает вид тв'г — сг = О.
Отсюда сразу следует прежний результат (111.15). Система, представленная на рис. 111.8, имеет сходство с предыдущей, но обладает несколько иными свойствами. В этой системе, также совершающей вращение с угловой скоростью в, упруго закрепленный груз массой т может скользить вдоль направляющей АВ. Во вращающейся системе ~ координат перемещение г отсутствует(г = О) и движение описывается одной функцией у = у (1), Положим, что жесткость пружины равна с и положение груза на оси вращения соответствует состоянию относительного покоя. Исследуем свойства движения груза при нарушении этого состояния. Пусть в текущий момент времени центр тяжести груза находится на расстоянии у от Рис. 111.8 оси вращения. При записи дифференциального уравнения относительного движения груза необходимо учесть силу упругости — су и силу инерции переносного движения тв'у.
Таким образом, получаем — су+ тв2у= ~пу, т. е у-~- (с~~п в ) у — О. (111.21) Из этой записи уравнения непосредственно видно, что при с/т > > в' движение будет представлять собой гармонические колебания у = а Б!п 1$' с/т — и'1 + а), происходящие с частотой )/ с/т — в', меньшсй, чем частота колебаний груза при отсутствии вращения р = )~'с/и. Поскольку возмущенное движение представляет собой колебания с постоянной амплитудой, постольку невозмущенное состояние равновесия груза (на оси вращения) следует считать устойчивым. Если же в' > с/т, то решение дифференциального уравнения (111.21) приобретает вид у = а з)т (~ в' — с/т1+ к), т. е.
движение носит характер апериодического ухода системы от начала координат, Это означает, что в данном случае невозмущенное состояние равновесия неустойчиво. Окончательно можно заключить, что рассматриваемая система устойчива только при угловых скоростях, меньших, чем собствен- 163 ная частота колебаний невращающейся системы. Напомним, что диск на валу (см. рис, 111.5) устойчив при любых значениях угловой скорости о, отличных от значения а„р как при со ( а,~, так и при о > в„р; в этом состоит основное различие между сйстемами на рис.
111.5, а и 111.8. Влияние гироскопических свойств на критическую скорость вращения Выше был рассмотрен упрощенный случай, когда при изгибе вращающегося вала связанный с ним диск все время остается в одной плоскости. Как правило, этого в действительности не бывает, и вследствие изгиба вала плоскость диска непрерывно меняет свою ориентацию в пространстве во время движения.
При этом возникает специфический эффект, который (не вполне точно) называют гироскопическим. Рис. 111.9 Для того чтобы понять сущность гироскопического эффекта в рассматриваемых случаях и количественно оценить его влияние на критические скорости, прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу о равномерном вращении тонкого диска вокруг абсолютно жесткой оси, которая не проходит через центр тяжести диска и не перпендикулярна его плоскости (рис. 111.9, а). Угловую скорость вращения обозначим через в, точку пересечения оси вращения с плоскостью диска через О и центр тяжести диска через 5. Свяжем с диском подвижную координатную систему уг, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, причем начало системы совместим с точкой 5. Ось у лежит в плоскости диска; ось г составляет с прямой 05 некоторый заданный угол к.
На 164 рис. 111.9, б изображена проекция рассматриваемой системы на плоскость уг, причем буквой «обозначено расстояние от центра тяжести диска до оси вращения, а буквой р — расстояние от произвольной точки диска до той же оси. Эта точка описывает круговую траекторию радиуса р, и соответственно этому элементарная масса (1«и развивает центробежную силу О)'р(1т, действующую в плоскости, параллельной плоскости уг. Составляющие центробежной силы в направлениях осей у и г равны соответственно а'удт и а' (г + «) ()т. Суммируя эти составляющие, найдем проекции главного вектора центробе)кных сил на оси у и в: Р„= с)'д дт = 0; Р, —.— ! и'(г.(- ') йл = та~'. (т) При вычислениях главных моментов центробежных сил относительно осей у и г нужно учесть, что точка приложения элементарной центробежной силы расположена на расстоянии г !да от плоскости цг (рис. 11!.9, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
