Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 21
Текст из файла (страница 21)
пановко балки (если Р— площадь поперечного сечения, то рР = гп). Найденное выражение следует подставить в уравнение (11.228) вместо М"; при этом вместо дифференциального уравнения (11.196) получим д'у Е3 д'у 1 д'у — + — — — = О. д1а т дх~ Р д'х д1' (11.229) Это дифференциальное уравнение было получено Рэлеем. Мы не будем заниматься его интегрированием, потому что во всех тех случаях, когда необходим учет инерции поворота, в еще большей мере необходим учет еще одного обстоятельства, которое не было принято во внимание Рэлеем,— сдвигов, которыми также пренебрегают в обычной технической теории изгиба балок. Влияние сдвигов.
В подробных курсах сопротивления материалов можно найти, что уточненное дифференциальное уравнение изгиба балок, приближенно учитывающее дополнительные деформации, связанные со сдвигами, имеет вид (при постоянном сечении балки и отсутствии распределенной моментной нагрузки) й4у д 1 ~Рд ахи ЕУ аЕ' дха (11.230) Здесь 6Е' — жесткость балки при сдвиге, причем 6 — модуль сдвига, Р' — приведенная площадь сечения, зависящая от его формы (например, для прямоугольного сечения Е' =- 1,2 Р). Обращаясь к задаче о свободных колебаниях балок, нужно вместо д подставить распределенную инерционную нагрузку д'у — и —,„, и мы получим дифференциальное уравнение д'у ЕУ дчу ЕУ д4у „— =0 дЛ и дх4 6Е' дхе дЛ (11.231) которое при 6 со переходит в прежнее уравнение (11.196).
Одновременный учет влияния инерции поворотов и сдвига. Исходя из только что поясненных соображений, С. П. Тимошенко получил следующее дифференциальное уравнение„в котором одновременно учтены оба названных дополнительных влияния": 1,~ ~~ ' ду ,1 т ду дГа + т 'дх 1,Е + 6Р') дх'д(в ~ Е бЕ' д1~ = (11.232) * Структура первых трех членов уравнения ясна иэ сопоставления с уравнениями (11.229) и (11.231). Для выяснения смысла четвертого члена пришлось бы проследить более подробно весь вывод. Впрочем, этот член — наименее существенный в уравнении. 130 Рассмотренную расчетную модель часто называют «балкой Тимошенко».
Для решения уравнения (11.232) можно восполЬзоваться методом Фурье. Не останавливаясь на соответствующих выкладках, приведем окончательный приближенный результат определения собственных частот для двухопорной шарнирно-опертой балки: р.= р." [1 — -',—,",„' (1+ е„", )~. (и.2зз) Здесь р,",— собственные частоты колебаний балки, вычисленные без учета инерции поворотов и сдвигов. Отметим, что при учете только инерции поворотов получится Рп =Рп (11.234) а при учете только сдвигов (также приближенно)— (11.
235) Следует прежде всего отметить, что значения поправок возрастают с номером собственной частоты. Сравнивая между собой поправки в двух последних приближенных выражениях, можно установить, что влияние сдвига приблизительно втрое превосходит влияние инерции поворотов. Влияние неупругих сопротивлений на свободные колебания Выше предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение полностью отсутствует.
Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношением (11.236) Остановимся на случае свободных продольных колебаний. В этом случае продольная сила запишется в виде + д1 д ' д дг ' Из уравнения движения элемента стержня выше было получено соотношение (11.179).
Подставляя в него выражение (11.237), приходим к основному дифференциальному уравнению д"-и Ф дзи д~и с' дх2 ' р дх'д1 дР ' 1З~ которое отличается от уравнения (11.180) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкости. Следуя способу Фурье, ищем решение уравнения (11.238) в виде и=,~~ Х,(х) Т,(1), (П.239) г=1 (11.240) Здесь и ниже штрихи обозначают дифференцирование по координате х, а точки — дифференцирование по времени /г Разделив равенство )11.240) на произведение Х, ( Т,-Р—.
Т ) приходим к равенству Хг Тг с 12 Т,+ — Т, Е (11.241) левая часть которого может зависеть только от координаты х, а правая — только от времени 1. Для тождественного выполнения равенства (11.241) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной, которую обозначим через — рг". Отсюда следуют уравнения: Х"+Ь Х 0 (11.242) Т,+ —.р,Т,+ р,Т,= О. Й 2 ' 2 (11.243) Уравнение (11.242) совершенно не зависит от коэффициента вязкости Й и, в частности, остается таким же в случае идеально упругой системы, когда й = О. Поэтому числа р, полностью совпадают с найденными выше; однако, как будет показано ниже, величина р, есть лишь приближешюе значение собствечной частоты.
Важно отметить, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т. е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных незатухающих колебаний. Возвратимся теперь к уравнению (11.243), описывающему, очевидно, процесс затухающих колебаний.
Его решение имеет вид Т,=е ' (Л,з1пР,1+ В„созе,1). (11.244) 132 где Х, — функция только координаты х, а Т, — функция только времени При этом каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма — начальным условиям. Подставляя выражение (11.239) в уравнение (11.238) и требуя, чтобы равенство удовлетворилось для любого номера г, получим Здесь Рг й 2Е (11.245) (П.246) р,=) р,— р',=р,!г 1 — ( — ") Выражение (11.245) определяет темп затухания, а выражение (11.246) — частоту колебаний. Таким образом, полное решение уравнения задачи имеет вид ~л и = ~~.1 Х,е 1,Л, ейп р,г+ В, сов р,г).
г — 1 (! 1.247) Ар~ г 2Е (11.248) При достаточно больших значениях г неравенство (11.248) нарушается и величина р, становится мнимой, а соответствующие члены общего решения (11.247) уже не будут описывать затухающих колебаний, но будут представлять затухающие движения неколебательного характера.
Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая конечная часть суммы (11.247). Все эти качественные заключения относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изгибных колебаний. 9. КОЛЕбАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ (ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ) Основные уравнения В тех случаях, когда распределенная масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (П,180) исходить из уравнения (! 1.249) 133 Рассматривая выражения (11.245) и (11.247), заметим, что чем выше номер формы колебаний Х„тем быстрее затухание соответствующего слагаемого, входящего в выражение (11.247).
Кроме того, эти слагаемые описывают затухающие колебания, если р, есть действительное число. Из выражения (11.246) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных номеров г, пока выполняется неравенство Уравнение крутильпых колебаний (11.192) должно быть заменено уравнением (11.250) а уравнение поперечных колебаний (11.196) — уравнением (11.251) Уравнения (11.249) — (11.251) при помощи однотипных подстановок и = Х(х)ТЯ; ср = Х(х)ТЯ; у = Х(х)ТЯ можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции Х(х): (РХ') ' + ~ „ЕХ = О; (П,252) (11.253) (11.254) (1Х')' + ~„УХ=О; (ЕЛХ")" — тр'Х = 0 Метод Ритца Зададимся несколькими функциями ~~ (х), ~, (х),..., 1„(х), каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям задачи, и образуем функцию 1".(х) как сумму ~ (х) = с,~~+ с,~~ + + с,1,, (11.255) Если эту функцию подставить в формулу Рэлея (11.26): Е1 Г)2 ~х Р=- ~ э (11.256) ~ т1'дх О 134 и одному уравнению для функции ТЯ, Уравнения (11.252) — (11.254) в отличие от уравнений, решенных выше, имеют переменные коэффициенты.
Замкнутую форму решений можно получить лишь в отдельных случаях, когда переменные Е, 1, Е,/, т определены специальными зависимостями, а в общем случае неизбежен переход к приближенным способам. В частности, возможен путь, основанный на сосредоточении распределенной массы в ряде точек по длине стержня, после этого система сохраняет лишь конечное число степеней свободы, равное числу точек приведения. Широко используются изложенные ниже различные варианты вариационного метода, а также способ последовательных приближений. Пример 15.
Определить методом Рипгца низшую собственную частоту поперечньгх колебаний консоли перелгенноео сечения, имеюи!ей толщину, равную единице; высота изменяется линейно (рис. !!. 58): й. У 3 а. р" х ! г 12!з Для приближенного решения примем 1(х) = с, ! — — 1- с — 1 —— (!1.258) каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи: 1; (х) = О, 1! (х) = = 0 при х =- !. Если ограничиться одним членом, то получим по методу Рэлея (ошибка около 3%) 2,7406 1/ Е Р= Рнс. П.58 Чтобы получить лучшее приближение, возьмем два члена разложения (11.258) и, подставив их в выражение (11.257), получим , 1 ., ~эИ гг сг , 2сгсз сз з ~(сг — 2сз)з+ — са (с, — 2с,) + 6с;~ — р- Е ! 30 + !05 + 280 / Дифференцируя это выражение поочередно по с, и сз, приходим к уравне- ниям с Рггз рз Еггз >Я 30р!л !05 / ~ 30р!а 280 / (11.
259) Приравнивая нулю определитель, составленный нз коэффициентов этих уравнений, получим уравнение частоты; наименьший корень уравнения 2,6608 а / Е '1з отличается на О,!',гз от точного значения, Метод Бубнова †Галерки В простейшем варианте согласно этому методу в уравнение (11.254) следует вместо Х(х) подставить приближенно выбранное выражение 1(х), содержащее один неопределенный параметр, и затем образовать уравнение ~ 1(Е3~")ч — тр'~1~Их = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
