Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 17
Текст из файла (страница 17)
!о~ Основные уравнения задачи и частотное уравнение. При свободных колебаниях балки, несущей массы т„т,,..., и„, развиваемые ими силы инерции — т,у,; — т,у,;...; — т„у„являются единственной нагрузкой на упругий «скелет» системы в процессе колебаний. Поэтому соответственно формуле (П.156) можно записать для любого перемещения И у,= — — ~т„у„б,~„. (~=1; 2; ...; и), /г=1 или в развернутом виде У1 = — — и1У1б и — т«У»б12 — — т„у«бп,; у,, = — т,у,б„— т,у,б„— — тд„б,„; (П.157) уи т1у1бл1 ~~Ьу«б«2 ' ' — т.у б „. Входящие сюда коэффициенты т~ имеют обобщенный смысл; в тех задачах, где одно из перемещений у» есть угол поворота, под и~ следует понимать не массу, а момент инерции Й-го груза относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости колебаний.
Основная система уравнений (11.157) в простейшем случае (при одной степени свободы) приводит к одному уравнению с одной неизвестной функцией у =' — и у1б11', оно эквивалентно стандартному уравнению иу1+ су, = О, так как с = — 1(б„. Частное решение системы (П.157) в случае нескольких степеней свободы может быть принято в виде у; = а; з1п (р1 + и). 158) (т,б„р' — 1) + а,тА,р'+ + а.ЯА.Р' а, =О; а,т,б„р'+ а,(т»б„р'" — 1)+ -~- а„т„б,„р'=О; (11.159) а,т,б„,р'+ а»т,б„,р'+ + а„(т„б„„р' — 1) = — О. Эта система удовлетворяется тривиальным решением а, = а, = ° = а„= О, которое соответствует отсутствию колебаний, т. е.
состоянию покоя системы, 1ОЗ Подставляя выражение (П.158) в уравнения (11.157), получим однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд: Амплитуды а, одновременно не обращаются в нуль, если определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений (11.159), равен нулю: т1Б11Р' — 1 т,Б„Р' тс 12Р т,Б,Р' — 1 т„Б,Рв тпБгпр = О. (11.160) таБ„,Р' т„Б„„Р' 1 Развернув определитель (11.160), получим частотное уравнение и-й степени для квадрата частоты р', напишем это уравнение в виде '" 1 — Ь1р + Ьвр — б,р' 1-,'- ( — 1)"Ь„р'" = О. (11.161) у;= ~~ а,;лз1п(рв1-г и~) (1=1; 2; ...; и), (11.162) /с=-1 или в развернутом виде у, = а„з1п (р,1 + а,) + а„з1п (р,1 + а,) + ° ° ° + + а1„з1п (р„1 + а„); ув = ав1 в1П (Р11 + Я1) + ав2 51П (Р2~ + Я2) Г Г + ав„а1П (Р„г + 1Х„); У„ = а„, З1П (Р,~ + а1) + ан В З1П (Р,1 + а,) + + + а,„ з1п (р„1 + и„).
Таким образом, в каждом направлении 1 = 1; 2;...; п происходят полигармонические колебания, причем число слагаемых равно числу собственных частот, т. е. совпадает с числом степеней свободы системы и. В частном случае системы с двумя степенями свободы система уравнений (11.159) принимает вид а, (т1Б„Р' — 1) + а,т,Б„Р' = 0; (1 1.
163) а,т,Бв1р' + а, (т,Б„Р' — 1) = О, * При такой расстановке знаков все коэффициенты Ь~ положительны. 104 Число корней уравнения (11.161) равчо и; обозначим эти корни через р~1, р,,..., р„, расположив их в порядке возрастания. Все эти корни вещественны и положительны, поэтому для частоты р получится также п положительных значений (отрицательные решения несущественны).
Общее решение системы уравнений (11.157) составится в виде суммы частных решений типа (11.158): !!1!И1!1111!!!111!!!1!!!!!1 и вместо определителя (11.160) имеем т,Я„р' — 1 гтг2642р' (11.164) Частотное уравнение (11.161) становится биквадратным и имеет следующие решения: т,бп + т 6... +- ~/ (т~бы + т~6 „)- — 4 (6, 6~2 — 61,) т1т, (11. 165) 2т тз (бпб,, — 6~з) 2 Р1,2 Пример 11. Найощ собственные частоть2 колебаний конго,ти, нокозаннои на рис.
1!А2, а, с учетом инерции враи(ения концевого груза, т — масса груза, Эта система имеет две степени свободы, и ее движение описывается двумя координатами у, (вертикальное перемещение груза) и уа (угол поворота груза) Рис. 11.42 Рис. 11.43 Строим эпюры изгибающих моментов от силы Р, = 1 и момента Р2 = 1 (рис. 11.42, б — д) и вычисляем по формуле Верещагина 12 12 6„=- —; 6„- 6,=- —; 6 ЗЕ) ' ' 2Е1 ' '2 Еу Далее пользуемся формулой (11.166), подставляя в нее т, = т; т2 = тр2 (р — радиус инерции груза): Если, как обычно, отношение 1/р велико, то т12 Зра 812 2 3 2 Принимая здесь знак минус, получим квадрат низшей (первой) частоты 105 о) г) з 2ЕУ l Зр2 т / Зра 9р41 1, 2 тр21 ( т 12 — ~' 12 14 Квадрат высшей (второй) частоты оказывается во много раз большим: Например, если 11р = 10, то вторая частота оказывается в 12 раз больше первой, Пример 12. Определить собственные частоты колебаний ба гки, несущей три сосредоточенных арузи (см.
рис. 11.11). Для определения единичных перемещений строим эпюры моментов М„ М~ и Мв от единичных сил Р, = !, Рв =- 1 и Р, = 1 (рис. 11.43). По формул~ Верещагина находим единичные перемещения "~т — бзз =- 75й; "за — ' 243й; 117У, ~~ьт ~~аг 511е В этих выражениях 1з 9 1296Е1 Теперь составляем определитель (1!.160): 75тйрз — 1 117тйрз 51тнрз 117т нрз 243тйр2 — 1 117тнрз 51т~грз 117тйр' 75тйр' — 1 Развернув определитель, получим частотное уравнение, которое в данном случае оказывается бикубическим: 77 760 (тйр')з — 12 096 (тйр')е + 393тИр' — 1 = — 0 и имеет три корня: ??ри большом числе масс, когда степень частотного уравнения высокая, его решение оказывается затруднительным для ручного счета.
Хотя и в этих случаях можно построить вычислительные алгоритмы, позволяющие обойтись простейшими средствами (арифмометрами), но в настоящее время для решения частотных уравнений широко пользуются ЭВМ и соответствующими стандартными программами. Собственные формы колебаний. Если в систему уравнений (11.159) подставить какой-либо из корней частотного уравнения, то одно из уравнений станет следствием остальных, т.
е. независимых уравнении оказывается только п — 1. Эти уравнения связывают между собой и амплитуд а„, ав;,..., аел ?второй индекс означает номер корня р',, который подставлен в систему (??.159) ) и поэтому позволя!от выразить все амплитуды через какую-либо одну, например первую. Отношения аа/а„; аз;lа„; ... определяют 1-ю собственную форму колебаний. Таким образом, каждой частоте отвечает вполне определенная форма колебаний; число этих форм совпадает с числом степеней свободы системы и равно а.
106 Как и выше, можно установить, что любые две собственные формы колебаний взаимно ортогональны: т,амат + тзаз;азь --, '+ т„а~а„ь — — О. Пример 13. Определить собссавенные формыколебаний консоли (си. рис, П.42). Так как система обладает двумя степенями свободы, то число собственных форм также равно двум, Подставив данные задачи 1з 12 т =т; т =тро; 5 ЗЕ3 ' " 2Е2 в первое уравнение системы (П.103) ат (ттбт,р — 1) -~ ампобтор' == О, получим 7 т1з ~ т12ро а, ~ — р' — 1) +аз 1,ЗЕУ ) 2ЕУ р2 — 0 Принимая здесь ро = рдз, находим первую собственную форму: ага а1, 21 ' основном линейным смеще- Она показана на рис.
П.44, а и характеризуется в пнем концевого груза. а) Для определения второй собственной формы колебаний нужно принять р2 = р; отсюда находим а„21 а„зр' ' :4 эта форма показана на рис. П.44, б и характеризуется главным образом поворотом концевой массы. Рис. 11.44 Для определения основной собственной формы колебаний в многомассовых системах может быть использован способ последовательных приближений, по своему существу совпадающий с изложенным выше (стр. 41 — 42). Достоинством этого способа является возможность провести вычисления без всяких операций с определителями.
Представим уравнения (11.159) в виде а1 = р (тто11а1 - ~ — тзо12аз — ~- ' ' + т~бт~,а„); 2 р (т1» 21а1 + т2» 22а, + ° - + т„ба„а„); (11. 166) а„=- р' (т10,1ах+ т2Опзаз+ + т„е„аап). задавшись произвольной системой амплитуд (а1) о (аз) о, (а„), (нулевое приближение для формы колебаний), подставим их в правые части системы (11.166) и вычислим выражения, входящие в скобки. Пусть полученные величины будут (Ь,) „(Ь,) „..., (Ь„),. Тогда . а, = Р' (Ь1) о' а, = Р' (Ь2) о' ..., а„= Р' (Ь„)о. 107 Эти выражения можно рассматривать как новое приближение для формы колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
