Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Аналогично при колебаниях по второй собственной форме наибольшие отклонения составляют а„и а.„ и соответствующие силы инерции равны т,аг2р~ и ггг.,а,,р~. Применим к этим двум состояниям теорему о взаимности возможных работ. Согласно этой теореме работа сил первого состояния (т,а„рг, т,а„р~) на перемещениях второго состояния (а .„. а,,) равна работе сил второго состояния (т,а„р3; т,а„р~г) на перемещениях первого состояния (а„; а„), т. е. (тгаггаг + т~а2га~ ) = рг (т1аг~агг -~ — тза 2а~г), или (Рг Рг) (тга1гаг~ + тга~1а~д = О. Так как рг и р~ различны, то должно выполняться равенство т,а„„+,а,„а„= — О.
Зто соотношение выражает свойство ортогональности двух собственных форм колебаний; после деления на аг,а,з оно может быть переписано также в виде т,+т2х,„х,,=О. Если известно отношение х„, определяющее первую собственную форму, то из условия ортогональности можно найти отношение х,„, соответствующее второй собственной форме: т, х„=— т2Х,„ Понятие о собственных формах колебаний, как и важное свойство их ортогональности, будет использовано далее при рассмотрении систем, имеющих произвольное конечное число степеней свободы.
При этом число собственных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадают с числом степеней свободы системы. Крутильные колебания валов с дисками Основные уравнения. Рассмотрим крутильные колебания многомассовой системы, состоящей из ряда абсолютно жестких массивных дисков, соединенных упругими элементами, которые считаются лишенными массы (рис. 11.34). Зта система является общепринятой, хотя и небезупречной эквивалентной схемой для расчета 91 крутильных колебаний коленчатых валов, Коленчатый вал приводится к такой схеме путем следующих замен: момент инерции заменяющего диска относительно оси вала должен быть равен моменту инерции колена относительно той же оси, при этом учитывается присоединенная масса шатуна; жесткость на кручение участка заменяющего вала должна быть равна жесткости на кручение соответствующего участка коленчатого вала.
а) 1, Рис. 1!.34 Нужно иметь в виду, что эти замены не могут обеспечить полной эквивалентности обеих схем. Дело в том, что приведенный момент инерции масс колена и шатуна изменяется в процессе вращения коленчатого вала, поэтому замена колена диском с постоянным моментом инерции не является строгой. Кроме того, при действии на коленчатый вал двух противоположно направленных пар (рис. 11.35) деформация будет заключаться не только в закручивании участка между парами — вследствие изгиба произойдет закручивание и других участков; заменяющая система не Рис 11 35 способна отразить этот побочный эффект. Тем не менее эксперименты подтверждают приемлемость заменяющей схемы при достаточно тщательном определении эквивалентных моментов инерции и особенно эквивалентных жесткостей.
Обозначим (см. рис. 11.34, а) через 1„7 „..., 1„моменты инерции масс дисков относительно оси вала; с~, с2,..., с„, — коэффициенты жесткости при кручении участков вала; у„— углы поворота дисков вокруг оси вала. Крутящие моменты, действующие в сечениях вала, зависят от взаимного поворота двух смежных дисков и на разных участках определяются формулами: Уравнения движения проще всего составлять прямым спо. собом (см. рис. 11.34, б): С, (1Р2 — 1Р1) = 111Р,; С2 (РЗ Ч2) С1 (Р2 ~Р1) — 12'Р21 Сз (Ч~1 Ч13) — С2 ('рз ~Р2) 12'рз1 (11.146) Сл — 1 (Ч'л Ч~л -1) Сл — 2 (%г-1 Ч~л — 2) 1л 1~рл-1~ — - с„1(ср„— срл,) = 1„ср„.
Число этих уравнений совпадает с числом дисков, т. е. равно и. Уравнения (11.146) удовлетворяются решением 'Р1 Р2 Рл аО (11. 147) описывающим равномерное вращение вала и дисков как жесткого тела. Кроме этого возможно решение ~р1 =- а, з1п (р1 + а); 1Р2 = — а2 з1п (Р1 + а); (11. 148) грл = а„з1п (р1+ а), которое описывает упругие колебания.
Убедимся, что при определенных соотношениях между амплитудами а,, а„..., а„выражения (11.148) действительно представляют решение системы уравнений (11.146). Подставляя выражения (11.148) в уравнения (11,146), получим с, (а2 — а,) = — 1,р'а,; с, (а, — а2) — с, (а, — а,) = — 1,р'а.,; с (а~ — аз) — с (аз — а2) = — 1зр аз', (11.149) Сл 1(ал — а, 1) — С, 2 (ал 1 — ал 2) = — Iл 1р ал 1' — сл, (ал — а„,) = — — 1лр'ал. В этой системе уравнений содержится п -~- 1 неизвестных (и неизвестных амплитуд и частота р).
Частотное уравнение. Из системы (11.149) можно получить уравнение, содержащее одну неизвестную р' и определяющее спектр частот р,, р„... рассматриваемой многомассовой системы. Для этого выразим из первого уравнения системы (11.149) а, через а1 и подставим результат во второе уравнение системы; тогда можно будет выразить а, через а,. Продолжая этот процесс до п — 1-го уравнения, можно выразить все амплитуды (до и-й включительно),через амплитуду а,. Эти выражения будут зависеть от частоты, причем вид зависимости будет прогрессивно усложняться.
93 Наконец, подставив выражения а„, и а„в последнее уравнение (11.149), можно будет исключить а, и получить алгебраическое уравнение, содержащее только одну неизвестную — частоту р; степень этого уравнения относительно квадрата частоты р' равна числу дисков и.
К частотному уравнению можно прийти проще, если рассматривать систему 111.149) как систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных амплитуд а„а„..., а,. Так как эта система однородна, то отличные от нуля решения возможны только в случае, если равен нулю определитель, составленный из коэффициентов при амплитудах. Например, при трех дисках (и = 3) это условие выглядит так: ст+ 1(Р~ с, — с,— с, + 1,ра с, = О.
[11.150) — Св+ УзР' Развернув определитель, получим частотное уравнение. Из рассмотрения структуры главной диагонали определителя видно, что степень этого уравнения относительно р' равна и. Для трехмассовой системы, развернув определитель (11.150), получим р [((( р 1('(( (ч ( '(() (ч(ч (] О сг (11.151) Соответственно степени уравнения число корней р( также равно п. Один из корней всегда равен нулю, так что число отличных от нуля частот на единицу меньше числа дисков и равно а — 1. Нулевой корень соответствует повороту всех дисков и вала как жесткого целого; ненулевые корни (они все вещественные) соответствуют явлению упругих колебаний.
Следовательно, система, состоящая из невесомого вала и и дисков, обладает и — 1 отличными от нуля собственными частотами рт, рв,..., р„,; их принято нумеровать в порядке возрастания частоты. Пример 8. Определить собес(венные часпготы для трехмассовой системь( 1рис. П.аб, а), представляющей собой упрощенну(о схему судовой дизельной установки. Приведенный л<омент инерции вала двигателя 7( =-!7000 кгс*см с"; моменп( инерции маховика 1е = — дб 000 кгс сл( ° с~; приведенный момент инерции гребного винта 1с учетом массы гребною вала и присоединенной массы води) 1з = — 27000 кгс см с". Жесткости: сг = 21! 10' кгс.см; с = 14,8 10' кгс.см. При этих значениях частотное уравнение 1П.151) принимает вид ре 10 01242р4 195 Зря [ 129 000) — 0 Отличные от нуля корни этого уравнения: р2 = 590 с-~; р2 = 15 000 с--'.
Следовательно, собственные частоты р, =- 26,3 с ', рв = 122,5 с 1. 94 При четырех дисках и более приходится иметь дело с частотными уравнениями выше второй степени. В этих случаях для их решения в настоящее время почти исключительно применяются ЭВМ. Собственные формы колебаний. Из основной системы уравнений (11.149) можно найти не только собственные частоты, но и соответствующие им вполне определенные отношения между «) ь 1 3 амплитудами.
Если частоту р„найденную из частотного уравнения, подставить в систему (11.149), то можно по- 6) следовательно выразить все амплитуды через амплитуду а,. Если в систему (11.149) «„=йн~«« подставить частоту р „то обнаружатся иные соотношения между амплитудами. Таким образом, каждой частоте р, соответствует своя система отношений ампли- е) туд, определяющая собственную форму колебаний. «и Число этих форм равно числу собственных частот, «м---0,2И«а «гг.
т. е. на единицу меньше Рис. 11.36 числа дисков *. Важным свойством является взаимная ортогональность любых двух собственных форм, например 1-й и Й-й: йео8«и (11.152) 1,амат~ '- 1,а„а2а — , '... + У«а«на„~ = О. Пример 9. Для сисгнемы, изображенной на рис. П.36, а найти собственные формы колебаний. Так как система содержит три диска, число этих форм равно двум. 1. Определение первой собственной формы. В уравнения (11.149) подстав- ляем р = р =- 690 с г г * Можно также сказать, что нулевой собственной частоте тоже соответствует своя собственная форма — поворот всей системы вокруг оси как жесткого целого.
Из первого уравнения находим аат — — 0,945аы, из второго уравнения аз, — — — 3,65а,т (вторые индексы обозна 1ают номер формы). Последний результат получится и из третьего уравнения, которое оказывается следствием первых двух. На рис. И.36, б показана первая собственная форма, имеющая один узел. Как видно, колебания, соответствующие первой частоте, происходят почти без деформаций вала двигателя и состоят в основном в скручивании гребного вала. 2. Определение второй собственной формы. Если повторить те же операции для р' = 15 000 с ', то получим а2.
== — 0,209а„ и а„, = 0,008аме В дан- ном случае основным является скручивание вала двигателя, тогда как гребной вал почти не скручивается (рис. 11.36, в). Второй частоте отвечает двухузловая собственная форма колебаний. Следует отметить, что в многомассовых системах высшим частотам соответствуют все более сложные (в отношении числа узлов) собственные формы колебаний. Можно убедиться, что найденные формы ортогональны одна другой. Пользуясь формулой (П.152), вычисляем 1,а„а„+ 1оаодаоо+ 1ааадаоа =- 17 000а„а„+ + 85 000 0,945а,д ( — 0,209а„) + 27 000 ( — 3,65а„) 0,008а,„,- О.
Кроме того, каждая из форм ортогональна нулевой собственной форме (вращение вала как жесткого целого); последней соответствуют равные перемещения а„= а,„=- а„— а,. Ортогопальпость псрвой и нулевой форм проверяется вычислением 1дад,адо+ 1оаадаоо+ 1оа„адо — 17 000аддао+ (- 85 000-0,945а,дао -1 - 27 000 ( — 3,65а„) ао — — О, а ортогональпость второй и пулевой форм — вычислением 1,а,оа„+ 1оа,ааоо+ 1,аа,азо = 17 000адои, + + 85 000 ( — 0,209адо) по+ 27 000.0,008а ао — 0 Определение движения по начальным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
