Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(1!.207) 3. Защемленный конец (рис. 11.53, в). Нулю равны прогиб у = ХТ и угол поворота ~р = Х'Т. Граничные условия: Х = 0; Х' = О. (П.208) Х Рис. 11.53 тор'Х = — Е.!Х ' Х = 0 (11.209) В первом условии знак плюс принимается в случае, когда точечный груз связан с левым концом стержня, и знак минус,— когда он связан с правым концом стержня. Второе условие вытекает из отсутствия изгибающего момента.
5. Упруго опертый конец стержня (рис. 11.53, д). Здесь изгибающий~момент равен нулю, а поперечная сила Я = Е3Х'"Т равна реакции опоры — с„у = — с,ХТ (с, — коэффициент жесткости опоры). Граничные условия: Х" = 0; ЕЗХ'" = — соХ (11.210) (знак минус принимается в случае, когда упругая опора находится слева и знак плюс, — когда справа), Частотное уравнение и собственные формы. Развернутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных С„ С„ С, и С,.
Чтобы эти постоянные не были равны нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; 122 4. С концом стержня связан точечный груз массой т, (рис. 11.53, г). Его сила инерции — т,у = — т,ХТ может быть при помощи уравнения (11.198) записана в виде т,р'ХТ; она должна быть равна поперечной силе Я = ЕЗХ'"Т, поэтому граничные условия принимают вид это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между ффС, и С„т.
е. определяются собственные формы (с точностью до постоянного множителя). Проследим эти операции на двух примерах. Для балки с шарнирно опертыми концами имеем согласно выражениям (11.207) следующие граничные условия: Х = 0; Х" = 0 при х = 0 и х = 1. При помощи выражений (11.201) — (11.204) получим из первых двух условий: С, = 0; Сз Теперь два остальных условия можно записать в виде С,Т(И) + С,1~(И) — 0) С,1(И) + С„Т(И) = О. Чтобы С, н С4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя: Т (И) ~' (Ы) Г(Ы) Т(И) Таким образом, частотное уравнение имеет вид (Т(И) + тИ)ат(И) — и(И)1 = О. Подставляя выражения Т и У, получим з'и и з1п И = О.
Так как з11 И + О, то частотное уравнение принимает вид з1п И = О. (11.211) Корни этого уравнения И=пи (п=1;2; 3;...). Учитывая выражение (11.200), получим (11.212) Обратимся теперь к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношение между постоянными С, и С,: У (И) С4 = — у (~ С2. Следовательно, уравнение (11.201) получает вид х„= с,~,т~М вЂ”,",„'",", г~е„х~], или Хл= 2Т ', Фп~пхз1~~п1-1-з(п ~л1з1~~пх) с, 2Т (~л~) 123 Согласно условию (11.211) находим собственные функции Х,, =- С„ып й„х, (11.213) где ф— новая постоянная (ее значение остается неопределен- ным, пока не введены в рассмотрение начальные условия), С, з1! /г„1 Ип~) Рассмотрим теперь бал к у с од н и м з ащемл е ни ы м и о д н и м у п р у г о о и е р т ы м к о н ц о м (рис. 11.54).
Согласно выражениям (1!.208) и (11.210) граничные условия имеют вид: Х=О и Х'=0 при х=О;Х"=0 и ЕЗХ"= = с,Х при х = 1. Из первых двух условий следует С, = С, = О. Используя два других условия, при помощи выражений (11.201) и (11.204) получим уравнения С,Я(И) [- С,т(И) = О; ЕУ [С,Ъ'(И) — , 'С,З(И)1 = Рис. 11.54 сО [СЗ~-~ (И) + С41~(И) 11 или после замены по формулам (11.202) зп И соя И вЂ” зЬ И сЬ И =- Е.1!с,, Решения для ряда других случаев приведены в справочнике [1). Определение движения по начальным условиям. Если требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные скорости: [ Х„(х)Х (х)дх = 0 (и+ п).
о Общее решение (11.205) запишем в виде у = ~ Х„(х) (А„з1п р„1+ В„совр,1). и=! (11.215) Скорость определяется выражением т у = ~ р„Х„(х) (А„сов р,~ — В„з1п рД. (11.216) л=1 124 у(х, О) = у,(х); о(х, 0) = у(х, 0) =- о,(х) (1!.214) и использовать свойство ортогональности собственных форм Подставляя в правые части уравнений (11.215) и (11.216) 1 = О, а в левые части известные начальные смещения и скорости, получим т СО у = «~ В„Х„(х); и, = ~~ р„А„Х„(х). л=.1 и= ! Умножив эти выражения на Х и проинтегрировав по всей длине, получим ? уо (х) Х„, (х) дх = В„~ [Х... (х)]'- с~х; ~ и, (х) Х,„(х) дх = А р ~ [Х„, (х)]' !1х.
(11.217) Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности собственных форм. Из выражений (11.217) следуют формулы для постоянных А и В о, (х) Х„,(х) ох о А„,= 1 р,!! ~ [Х!!! (х)] у (х) Х„, (х) с(х В ~ [Х„(х)]~ Дх о (11.218) , (Е3 — ! — ) — М вЂ” „„; =Ч. 125 Теперь остается подставить эти результаты в решение (11.215). Снова отметим„что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например, в выражении собственной формы (11.2[3) принять вместо С„величину в сс раз большую, то формулы (11.218) дадут результаты в и раз меньшие; после подстановки в решение (11.215) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее, часто пользуются нормированными собственными функциями, например выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений (11.218) равнялись единице; это упрощает выражения А и В,„.
Влияние постоянной продольной силы. Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы У, величина которой не меняется в процессе колебаний (рис. !1.55). Как известно из курса сопротивления материалов, в случае действия продольной силы уравнение статического изгиба (11.194) усложняется и приобретает вид д'у Л( д~у ЕУ д4у дД2 т (11.219) Примем по-прежнему частное решение в виде у = Х(х)Т(д). Тогда уравнение (11.219) распадается на уравнения т 1У Х" Ю Х~д~ ' Первое уравнение отражает колебательный характер решения, а второе определяет форму колебаний и позволяет найти также частоты.
Перепишем его в виде Х'~ — а~Х вЂ” ИХ = О, (11.220) где А определяется, как и выше, формулой (11.200), а (11.221) Решение уравнения (11.220) имеет вид [551 Х = С,я11 я,х + С,сй я,х+ С я1пя,х + С,сояя,х, где Рассмотрим случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце Х = 0; Х" = 0 дают С,= = С4 — — О. Удовлетворяя тем же условиям на правом конце, получим Сд Я11 Яд1 + Сз Ядп Я21 = 01 2 ° 2 С1я1 ядп я11 — Сзяд ядп я21 = О.
Приравняв нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах С, и С„приходим к уравнению (я1+я,') яЬЫя1пя,1=0, или (11.222) я1пя,1 = О. Корни этого частотного уравнения я,1 = пи (п = 1; 2; 3;...). Следовательно, собственная частота определится из уравнения 126 д'у Полагая д = — пд ~,~ и считая жесткость постоянной, получаем уравнение свободных колебаний Отсюда при учете выражения (11.221) находим ~~' 1/г7 1/, + и' Соответствующее цепное усилие найдем при помощи закона Гука: о Подставим этот результат в уравнение (11.219); 1 о (11.224) Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение в данном случае упрощается при помощи подстановки у =.
а„Т„з!и —, плх (1!.225) где Т, = Т„(1) — безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например единице; а„— амплитуда колебаний. 127 При растяжении частота увеличивается, при сжатии (У ( 0)— уменьшается. Когда сжимающая сила У приближается к критическому значению, корень стремится к нулю; вместе с этим к нулю стремится и собственная частота р„. Влияние цепных усилий. Вь~ше продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и в сущности является реакцией.
Рассмотрим, например, балку с шарнирно неподвижными опорами (рис. 11.56). При статическом изгибе балки возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее растягивающее усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет меняться во времени. Удлинение оси можно найти по приближенной формуле Подставив выражение (11.225) в уравнение (11.224), получим обыкновенное дифференциальное уравнение Т„+ с„Т + г/.„Т' = О, (11.22 6) в котором коэффициенты имеют следующие значения: п~л~ с„= ЕГа,, 4т!4 !/„= Е,/ Важно заметить, что дифференциальное уравнение (11.226) нелинейно; следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды (см.
стр. 73). Для решения дифференциального уравнения (11.226) можно воспользоваться способами, описанными выше в и. 6. Точное решение для и-й частоты поперечных колебаний р„ имеет вид Рп = Рп!', где р„— частота поперечных колебаний, найденная без учета цепных усилий; х — поправочпый коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний а„к радиусу инерции поперечного сечения р. Для п = 1 коэффициент х имеет следующие значения: а~/(2р) ..., 0 О 5 1 2 5 10 100 к..., 1 1,09 1,31 1,98 4,75 8,53 84,72 Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Иногда приходится рассматривать внешне сходную задачу о свободных колебаниях струпы, также считая, что она обладает нулевой изгибной жесткостью.
Однако при этом полагают, что перемещения малы, а начальное значение растягивающей силы настолько велико, что изменениями этой силы в процессе колебаний можно пренебречь и считать растягивающую силу При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то а,/(2р) =- 2 и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного горизонтального смещения одной из опор. Случай а,/(2р) — оо соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жесткость балки исчезающе мала (растяжимая нить). При этом формула для р* дает неопределенность, так как Р = О и х -- оо.
Раскрывая эту неопределенность, получим формулу для частоты свободных колебаний такой нити неизменной, Решением этой принципиально иной линейной задачи служит формула для собственной частоты колебаний где У вЂ” постоянная растягивающая сила. Влияние инерции поворотов. Вернемся к выводу основного уравнения (11.196), где принято, что внешняя нагрузка на балку не содержит распределенных моментов. Если в состав внешних Рис. 11.57 нагрузок входят также распределенные моменты (см., например, четвертый слева участок балки на рис. 11.57), то вместо (11.195) получится (11.227) где М' — интенсивность внешней моментной нагрузки. При этом вместо уравнения (11.219) можно получить д Еу у — дм (11.228) В задачах статики это уравнение встречается редко, но с ним иногда приходится иметь дело в задачах динамики балок. Дело в том, что при колебаниях балок развиваются не только поперечные инерционные нагрузки (которые всюду выше принимались во внимание), но и распределенные моментные нагрузки также инерционного происхождения, связанные с поворотами сечений балки.
При относительно невысоких балках, колеблющихся с низшими частотами, инерционные нагрузки этого типа малосущественны; однако такими нагрузками нельзя пренебрегать при анализе высокочастотных колебаний. Если, как и выше, у — прогиб балки, то для угла поворота сечения можно записать ср = †. Следовательно, при колеба- ду ниях угловое ускорение сечения равно ~2<р доу дР дхд1'- ' Этому ускорению соответствует распределенная моментная инер- д'у ционная нагрузка — рХ, где / — момент инерции сечения дхдР ' балки относительно нейтральной оси; р — плотность материала 129 9 я. г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
