Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(П.273) Здесь р — неизвестная собственная частота; Из-за переменности коэффициентов уравнения (11.273) его решение, как правило, затруднительно. Лишь в двух частных случаях уравнение несколько упрощается и может быть решено в функциях Бесселя. Это имеет место в случае плоского диска, когда Й' = 0: (11.274) и в случае диска гиперболического профиля, когда Й = сlг": Й" ~Я' ' — Й ( Р, — ',~'") =О.
(!1.~75) В общем случае можно воспользоваться методом Бубнова— Галеркина и, задаваясь формой колебаний Я (г), определять собственную частоту р из уравнения в котором г, и г, — внутренний и наружный радиусы диска. Функция Я(г) должна быть выбрана таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условия. На закрепленном контуре отсутствуют перемещения и и, следовательно, должно быть удовлетворено условие Я = О. На свободном контуре отсутствуют напряжения о„и согласно выражению (11.270) граничное условие принимает вид ~'+ р ~~ = — 0. Тангенциальные колебания Возникновение тангенциальных колебаний можно представить следующим образом.
Пусть закрепленный на неподвижном валу диск нагружен по внешнему контуру касательными усилиями, образующими пару, и в некоторый момент времени эта нагрузка мгновенно снимается. Тогда возникают свободные 14З Ь,Ь, =- (г + дг)йр. Следовательно, сдвиг р выражается следующим образом: Иц) ~ =г Рис. 1!.60 Такой картине деформаций соответствуют только касательные напряжения на гранях бесконечно малого элемента (см. рис.
11.60): т=бг д(р дг (11.276) Нормальные напряжения на этих гранях равны нулю. Поэтому на внутренней грани касательное усилие равно тйг дО, а на внешней тйг аО + д аг ЙО. По боковым (радиальным) д (тйг) дг граням также действуют касательные усилия, но их выражения в данном случае не нужны, так как будем составлять уравнение моментов относительно центра диска. Это уравнение имеет вид тйт'ШΠ— ~тйт-т- .™ А1(т-~-щйб=аьт'нтдй Правая часть представляет собой момснт силы инерции, равной произведению массы элемента рйгагЫО на касательное ускодт.~р рение —; —,.
Заменив здесь касательное напряжение по выражению (11.276), получим после преобразования дифференциальное уравнение для угла поворота ср: ,,г З Ь~ р" р + р ~ — + — ~+ — ~=0. ~г !) а 144 тангенциальные колебания, при которых точки диска, лежащие на какой-либо окружности, остаются на этой окружности, а все радиусы искажаются и притом совершенна одинаково. Рассмотрим две бесконечно близкие точки а и Ь срединной плоскости диска, которые до деформации лежат на одном радиусе. Пусть после тангенциальной деформации диска их новые положения определяются точками а, и Ь, (рис. 11.60).
Радиус-вектор точки а повернется на угол ~р и займет положение Оа„а радиус- вектор точки Ь совершит поворот на угол 6 гр + йр и займет положение ОЬ,. Угол 7 Ь, между направлением повернутого элемента т а,Ь, и новым направлением радиуса Оа,Ь, является углом сдвига. Из Л а,Ь,Ь, имеем Ь,Ь, = рог, а из ~', ОЬ,Ь, Как и выше, это уравнение в частных производных при помощи подстановки гр(», ~) = К(») ТЯ приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению й +)г + Я О (11.277) где р — собственная частота колебаний; с,= ! 6~о. / Полученное уранение относится к тому же типу, что и уравнение (!1.273), и в общем случае зависимости й =- й(») приходится пользоваться приближенными методами решения.
При выборе функций Я(») необходимо обеспечить выполнение граничных условий, которые имеют следующий вид. 1. На закрепленном контуре ср = О, следовательно, должно быть (11.278) 2. На свободном контуре т = О, т. е. согласно формуле (11.276) Д'= О. (1!.279) ЯК К(3 ++)~д Р )яд О г1 В одном частном случае нет необходимости пользоваться приближенными методами, так как легко найти соответствующее точное решение. Таким является случай диска гиперболического профиля, для которого Ь = Вl»'.
В самом деле, при этом Ь'И =- = — 31» и уравнение (11.277) принимает вид Решение этого уравнения Л = Аз1п — + Всоз— рг рг С1 с, 1о я. Г. Пановко 145 Если с наружным контуром связана распределенная по периметру масса интенсивностью и, то развиваемая этой массой сила инерции (на единицу длины контура) есть — т»гр. Она должна быть приравнена касательному усилию тй = 6»Ьр', подсчитанному также на единицу длины контура: — т»гр = 6»»кр', т. е.
— »»гКТ = 6»ИКТ, но так как Т = — р'Т, то граничное условие имеет вид тр'И = СМ'. После того как функция Я(») выбрана, собственную частоту можно найти при помощи метода Бубнова — Галеркина из выра- жения нужно подчинить граничным условиям. Пусть, например, внутренний контур диска закреплен, а наружный свободен.
Тогда согласно выражениям (11.278) и (11.279) должно быть Л вЂ” "+ — "= — 0; с, с Ар рг Лр . рг, соз — — — з1п — = О. с, сд с, с, Приравняв нулю определитель этой системы, получим частотное уравнение з1п з1П вЂ” + соз — соз — = О, рг,, рг рг, рг, с, с с, сд или с, Отсюда находим (2а — 1) и с, Рп 2 г2 гд 11, ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ Общие соотношения Изгибныс колебания можно подразделить на два типа. 1. Осесимметричпые зонтичные колебания, при которых все радиусы диска изгибаются одинаково из плоскости диска, а срединная плоскость переходит в поверхность вращения.
Эта форма ар б г Рис. 11.61 колебаний показана на рис. 11.61, а,б, где знаками плюс и минус обозначены направления перемещений соответствующих кольцевых зон диска. Срединная плоскость при колебаниях превращается в поверхность вращения; в зависимости от номера собственной формы колебаний может существовать одна и более узловых окружностей. 146 2. Веерные колебания, характеризующиеся существованием одного или более узловых диаметров (рис. 11.61, в,г). В общем случае соответствующие дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты и даже в простейших схемах не интегрируются в элементарных функциях. Обычно для решения этих задач пользуются энергетическим способом, что требует составления выражения для кинетической и потенциальной энергии.
Влияние вращения на изгибные колебания настолько значительно, что пренебрегать им нельзя. Обозначим через» и О полярные координаты произвольной точки срединной плоскости и через и = ы(», О) прогиб в этой точке. Если по-прежнему р — плотность материала, й = й(»)— толщина диска, то масса элемента равна рй»(1»ЙО, и его кинетищ2 ческая энергия равна — рй» и» (10. Суммарная кинетическая энер- 2 гия 2Я Г~ Т = ~ ~ ~ [щ(», 0))2й(»)»й д0. (11.280) О г, 2г( г, "= 4, „,11[(, -(-...-(-, ) + О г, -'-2(( — (([ — „, ( —, — „)) — ~(( — (Π— „. ( —, — „+ -(- —,, )(йг (~ (О.
(П.281) Из-за изгиба диска всякий его элемент несколько приближается к оси вращения и благодаря этому накапливает некоторую дополнительную потенциальную энергию, так как вследствие вращения диска изгиб происходит в поле центробежных сил. Подобное явление было отмечено выше в связи с изгибными колебаниями растянутого (в частности, центробежной силой) стержня. В данном случае элементарной массе рЬЫО(1» соответствует центробежная сила а2рл»'йОд». Дополнительная энергия составит ив2рй»ОЮЙ», где и — радиальное смещение элемента, которое выражается через прогиб- следующим образом: г и= — 1( — ) (г. г1 (П.282) 147 Если на контуре диска имеются распределенные массы (лопатки), то их кинетическая энергия должна быть учтена дополнительно. Приведем без вывода выражение потенциальной энергии изгиба круглой пластинки: Таким образом, общая потенциальная энергия поля центробежных сил 2П г, и„= — ри' 1 1 О г, à — Ь «26 г(9 й..
Г1 (11.283) Зонтичные колебания В случае свободных зонтичных колебаний прогиб ге це зависит от полярного угла 9 и может быть представлен в виде г = Я(«) яп р1. (П.284) Согласно формулам (11.280) и (11.284) максимальная кинетическая энергия г, т = барр'1 Р'8181. (11.285) Максимальная потенциальная энергия деформации согласно выражениям (11.281) и (11.284) П,„=, 1 ~(й'-р — ) — " я'я'~8181. (П.288) Учитывая, что прогибы ы не зависят от полярного угла О, при помощи выражения (11.283) найдем Г1 П,х = прго2~ Г1 г 1 (х'~' 8г] гр 212~1 . (11.287) На основании закона сохранения энергии можно записать * Трах = Пахх + Па тах Подставляя сюда выражения (11.285) — (11.287) и решая получен- ное уравнение относительно квадрата частоты, находим г, р'=, ~, 1~" + ~ — ~(~ ~) 1с'1~" ц«ь(«+ г, г 1 я'«шг] (11.288) * В более точном решении нужно учесть также работу, совершаемую ц епными усилиями (действующими в срединной поверхности диска) нри иагибн ых колебаниях.
"'1 [ г, «2ь 1 - Я2ь«Д« Г1 Подстановка сюда подходящей функции К(г) позволит без больших затруднений вычислить приближенное значение низшей частоты, однако для получения достаточно точного решения необходимо весьма тщательно отнестись к выбору функции Р(г). Веерные колебания ы = Я(г) соз и 0 ып р1, где и = 1; 2; ...
есть число узловых диаметров, т. е. число диаметров, точки которых не колеблются. Каждой форме колебаний соответствует свое значение частоты. Дальнейшее решение ведется в том же порядке, что и выше. В результате получится формула, подобная формуле (11,288), но содержащая также число и узловых диаметров. В этом случае применение различных вариантов функции К(г) приводит к весьма близким результатам, хорошо согласующимся с точными. Это отличие от случая зонтичных колебаний не случайно. Дело в том, что приближенная форма Р(г) при зонтичных колебаниях обеспечивает условия лишь в корневой и периферийной областях, а при веерных колебаниях, кроме того, вдоль всех узловых диаметров.
12. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН В общем случае переменной тощипы пластины решение в замкнутой форме невозможно; для таких задач может быть использован энергетический способ. Если пластины имеют постоянную толщину, задача упрощается и при некоторых граничных условиях допускает сравнительно несложное решение. Точнов решение Если пластина несет статическую распределенную нагрузку д, то для малых прогибов точек срединной поверхности тг справедливо дифференциальное уравнение д4э д4в д'и д (11.289) д а ~ д,ад„з д„4 ~- 2 где  — цилиндрическая жесткость: Е) = 12(1 — рР) ' 149 В этом случае вместо выражения (11.284) для прогиба ю должна быть принята такая функция, которая отражает зависимость прогиба также от полярного угла О.
Имея в виду периодичность этой зависимости, можно принять В задаче о свободных колебаниях нагрузкой являются силы инерции д~ и) д= — рй — „,, (11.290) где р — плотность материала; и — толщина пластины. Подставив выражение (11.290) в уравнение (11.289), придем к основному дифференциальному уравнению д4В д4ы д4ы — +2 дх4 + дх4ду~ т ду4 рл д'ы Р д14 Подставив, как и в предыдущих случаях, решение в виде ы,~ = КУ(х,у)ТЯ, Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
