Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Таким образом, для устойчивости состояния равновесия механической системы необходимо, чтобы среди корней характеристического уравнения не было ни одного с положительной вещественной частью; в противном случае одно из частных решений, а вместе с этим и общее решение, обнаружит возрастающую тенденцию. Дополнительно отметим, что если среди корней характеристического уравнения есть корень Л, = О, то ему соответствует постоянное смещение системы, которая в этом случае не обнаруживает тенденции к возвращению в исходное состояние равновесия, и оно должно быть признано неустойчивым. Для суждения об устойчивости системы нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения и определять знаки их действительных частей. Существует простой критерий (критерий Гурвица), позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения легко определить возможное наличие или отсутствие корней с положительной вещественной частью.

Например, для характеристического уравнения третьей степени Л' + В,Л' + В,Л -~- В, =- О (111.7) согласно критерию Гурвица среди корней нет ни одного с положительной вещественной частью, если выполняются неравенства Во > 01 В1 > О~ В~ > О~ В1В2 Во > О, (1118) Соответственно для уравнения четвертой степени Л4+ВзЛ +В2Л +В,Х-1-Во — О 155 критерий Гурвица сводится к следующим неравенствам: В,>0; В,>0;В,>0;В,>0; ~ (111.9) В1 В~Вз — В1 — ВОВз ) О.

Более высокие степени характеристического уравнения в этой главе нам не встретятся, Конечно, результаты исследования устойчивости могут качественно меняться в зависимости от некоторого характерного параметра механической системы. Физический смысл названного параметра определяется существом задачи. Например, для вращающихся валов и роторов таким параметром служит угловая скорость вращения, для самолетного крыла — скорость набегающего потока, для аппарата на воздушной подушке — высота парения и т.

д. Если при постепенном изменении характерного параметра происходит изменение качественных свойств состояния равновесия и совершается переход от устойчивого равновесия к неустойчивому (или обратный переход), то соответствующее значение параметра называется критичепим значением. Поскольку коэффициенты В; характеристического уравнения зависят от параметров системы, то с помощью критерия Гурвица могут быть найдены критические значения параметров. В некоторых случаях для анализа неустойчивости пользуются несколько иным и притом менее строгим способом рассуждений, который близок к методу Эйлера статического исследования устойчивости упругих систем. Согласно этому способу об устойчивости равновесия, судят по отсутствию возмущенных равновесных состояний, смежных с исследуемым невозмущенным состоянием.

Хотя этот способ не всегда эквивалентен описанному выше методу возмущений, однако во многих случаях он быстро приводит к правильным заключениям об устойчивости; в частности, это относится к п. 15, где рассматриваются критические состояния вращающихся валов и роторов.

1~. Неустойчивость пРи действии сил СУХОГО ТРЕНИЯ Силы трения, которые в ранее рассмотренных примерах оказывались причиной затухания колебаний, в некоторых случаях могут явиться причиной их раскачивания. Чтобы выяснить причину такой возможности, остановимся на простейшей системе (рис. 111.1, а). Система состоит из двух вращающихся с угловой скоростью о барабанов, приводящих в движение бесконечную ленту; скорость ее движения о, будем считать неизменной. 11а ленте лежит груз массы и, движение которого ограничено пружиной с коэффициентом жесткости с. Развивающаяся при скольжении груза сила трения смещает груз вправо и вызывает некоторое удлинение пружины. Пусть в по- 156 ложении равновесия груза сила трения равна 1со; тогда статическое смещение груза составляет х, = Л„!с.

(Ш.10) Для дальнейших рассуждений необходимо учесть, что сила трения Я зависит от относительной скорости движения о, причем характеристика трения имеет вид, показанный на рис. П1.1, б; значения ио и Яо соответствуют состоянию равновесия груза. Положим, что вследствие какого-либо возмущения в мгновение 1=0 груз выведен из состояния покоя. Выясним характер движения, которое возникает после такого возмущения. Пусть в текущее мгновение 1 дополнительное смещение груза равно х.

сх~ ~Фх Рис. 111.1 Тогда абсолютная скорость равна х, а скорость скольжения груза о =-- ~о — х. В процессе движения на груз действуют три силы: реакция пружины — с(х + х,), сила трения Я и внешнее сопротивление — Ах, которое можно считать пропорциональным скорости. Соответственно дифференциальное уравнение движения груза имеет вид — с(х+ х) — Йх+ Й = тх (111.11) Значение входящей сюда силы трения Я отличается от равновесного значения силы трения Д„поскольку скорость относительного движения отличается от скорости оо. При малых значениях относительной скорости можно воспользоваться линейным вы- ражением Я = Яо — йох, (111.12) где Ро — тангенс угла наклона характеристики трения в точке с координатами о„Яо. Подставляя в (111.11) выражения (111.10) и (111.12), получим дифференциальное уравнение возмущенного движе тх — ~- (К-,'— Й) х — ~- сх=О.

(Ш.1З) Рассмотрение структуры этого уравнения и сравнение его с (П.52) показывают, что сумма Яо + А играет роль эффективного коэффициента вязкого трения. Если эта сумма положительна, 157 жения равновесия с течением времени будут возрастать, как это показано на рис.

П1.2, а. Соответствующая фазо- вая диаграмма показана на рис, 111.2, б; она состоит из спираРис. 111.2 лей, раскручивающихся от состояния равновесия. В этом случае точка, отвечающая положению равновесия, называется неустойчивым фокусом. Природу отрицательного затухания при падающей характеристике трения можно уяснить из следующего рассуждения. Когда груз движется вправо, т.

е. в сторону движения ленты, то относительная скорость движения уменьшается, вместе с этим сила трения увеличивается, и ее приращение направлено вправо, т. е. в сторону движения. В другом интервале движения, когда груз движется влево, приращение силы трения направлено также влево, т. е. опять в сторону движения.

Такой характер изменения силы трения и является причиной возрастания колебаний. Итак, для устойчивости состояния равновесия груза на ленте необходимо выполнение условия Я'+ й ) О. Обычно это условие выполняется лишь при достаточно больших значениях скорости и,. При помощи тех же рассуждений можно прийти к выводу о возможности неустойчивости упруго закрепленной колодки, прижатой к враща1ощемуся диску (рис. 111.3, а), а также груза 1 на пружине 2, когда левому ее концу 3 задано движение с постоянной скоростью (рис. 111.3, б). В этих случаях необходимым условием неустойчивости также является наличие падающего участка характеристики трения. По гипотезе Л.

П. Соколовского аналогична природа возникновения колебаний, иногда возникающих при резании металлов на станках. К этому заключению можно прийти путем следующих 158 то с течением времени колебания постепенно затухают. В частности, это имеет место па восходящем участке характеристики трения, где Ро. Однако на падающем участке характеристики трения (при небольших значениях ио) величина Яо становится отрицательной (рис. 111.1, б), и если сумма И + й обращается в нуль, то в уравнении (111.13) исчезает член, определяющий затухание, и возмущенное движение будет представлять собой гармоническое колебание. Если же сумма Яй + А окажется отрицательной, то решение уравнения (111.13) приобретает вид (11.53), но с положительным показателем в показательной функции.

Это соответствует как бы отрицательному затуханию, при котором колебания около поло"1 рассуждений. Со стороны изделия на резец действует реакция Р, которая может быть разложена на составляющие Р„и Р, (рис. 11!.4, а). Поскольку резец упруго закреплен, то его конец может совершать колебания как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях. Для выявления возможной неустойчивости достаточно рассмо- а) треть колебания только в на- ~) .г 2 правлении у — у (г) и учесть важный экспериментальный результат — - горизонтальная составляющая Р„зависит от скорости горизонтальных колебаний резца у (рис.

111.4, б). Таким образом, па резец Рис. 111.3 действуют три силы: сила упругости — еу системы резец — суппорт (е — коэффициент жесткости), реакция изделия — Р, (у) и сумма различных неупругих сопротивлений, которая может быть объединена в одно слагаемое вида — ггу. Рис. 111,4 Таким образом, уравнение движения системы резец — суппорт имеет вид — Р„(у) — еу — Йу = ту (т — приведенная масса системы резец — суппорт). После линеаризации силы Р, согласно выражению (111.11) вновь придем к уравнению типа (111.13). Следовательно, и в этом случае возникает неустойчивость при падающей характеристике силы Р„.

15. КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ БАЛОВ И РОТОРОВ Критические состояния валов простейшей схемы Рассмотрим вал, на который с эксцентриситетом е насажен диск массой т. Чтобы исключить влияние веса и рассмотреть явление в наиболее чистом виде, будем считать, что ось, прохо- 159 дящая через центры подшипников, вертикальна (рис, 111.5, а).

Характеристики

Список файлов книги