Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При этом внутренняя поверхность пленки нагружена силами трения, дей-. ствующими в направлении вращения; в то же время поверхность шейки нагружена такими же силами, но действующими в направлении, противоположном основному вращению. Эти силы показаны на рис.
111.14, а. Пусть вследствие какого-нибудь возмущения шейка вала оказалась смещенной в сторону от положения, соответствующего стационарному состоянию (рис. 111.14, б). При этом меняются конфигурация полости и скорости частиц пленки. В тех местах, где произошло расширение полости (слева на рис. 111.14, б), скорость кольцевого потока уменьшается, а с противоположной стороны (справа на рис. 111.14, б), где полость оказалась суженной, скорость потока возрастает. 170 а) г) в) Рис. 1!1.14 на рис. 111.14, б. Из схемы видно, что равнодействующая й этих приращений направлена перпендикулярно направлению смещения (рис. 111.14, в).
В этом и состоит основная особенность рассматриваемого явления: при всяком боковом смещении шейки вала возникает дополнительная сила трения, направленная не против, а псрпвядикулярно смещению. Величина силы К в первом приближении может быть принята пропорциональнои смещению. Для исследования устойчивости системы воспользуемся неподвижной координатной системой уг (рис. 11!.15). Начало координат А помещено на линии центров подшипников; точка Π— мгно- А У У, У Рик. 111.15 венное положение центра шеики, ее координаты обозначены через у и г.
Точка Я определяет мгновенное положение центра тяжести диска (здесь же располагается центр Ю' сечения вала, в котором находится диск); ее координаты обозначены через у, и г,. Рассмотрим возмущенное движение диска, укрепленного на вращающемся валу; при этом примем, что дополнительные реакции подшипников определяются законом (111. 32) Р = — ег; Р,=еу, где в — коэффициент пропорциональности. Будем считать, что при движении развивается также диссипативная сила, пропорциональная абсолютной скорости центра диска; проекции этой силы на оси координат равны — Йу, и — -4г,.
17! Но уменьшение скорости потока означает увеличение относительной скорости шейки и пленки, следовательно, в левой части силы трения увеличиваются, т. е. их приращения положительны. Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к заключению, что с противоположной стороны силы трения убывают, т.
е. их приращения отрицательны; эти приращения показаны стрелками Тогда дифференциальные уравнения движения системы вал — диск имеют вид — Ад,— зг = ту,; — И1+яд = тг1, (Ш,зз) а уравнения движения диска— — с (у, — д) — Фу, — ту,; — с(г, — г) — И, = тг,. (111.34) с~ ж ~,! = н — г ' с' -~- е' '1 с' -~- а' се с' д-4- ., г. с'"' -~ я~ 1 с2 '- е~ т Теперь из выражений (111.33) или (111.34) можно получить уравнения для координат у, и г,, не содержащие координат у и г: сеР с'а 1 ~2 ( зй ~2 ~ ~2 11 сЯа сии 1 1 2 ' 2 д1 2 ' й 1 1' с-+ к с +е' Вводя обозначения получим систему уравнений у, + ад, + Ьг, + 2~гу„= О; (111.36) г,+аг, — Ьд, +2пг,=О.
Частное решение примем в форме (111.30): у, = Ае~'; г, = Ве~" . (111.37) Подставляя выражения (111.37) в уравнения (111.36), получим систему однородных относительно А и В уравнений А (У + 2пХ + а) + ВЬ = О; — А Ь + В (Х"" -~- 2иХ + а) = О. !72 При составлении уравнений (111.33) учтено, что на систему вал — диск действуют диссипативные силы и составляющие дополнительной силы трения Р„и Р,. Уравнения (11!.34) относятся к диску; при этом действующими на него силами являются силы упругости вала и диссипативные силы.
Приравнивая левые части уравнений (111.33) и (111.34), выразим координаты центра шейки у и г через координаты центра диска у, и г,: УсЛовие ненулевых решений для А и В Х'+ 2иХ+а Ь =Π— Ь ~,' -)- 2иХ+ а приводит к характеристическому уравнению ~„4 + 4иХз + 2~ а (и -1 2и..) 4~йп + (а2 + 1~г) О Для устойчивости рассматриваемой системы согласно (111.9) должно быть п ) —.
2 4и В обозначениях (111.35) этому условию можно придать вид Й С1 1 с2+ 62 (111.38) При отсутствии затухания (й = 0) движение всегда неустойчиво. Для устойчивости движения необходимо некоторое минимальное значение коэффициента й; чем больше масса диска и жесткость вала, тем большим оказывается это значение. Критические состояния валов, связанные с нх гистерезиснымн свойствами (111.39) 173 Силы внутреннего трения в материале вала могут создать условия, при которых прямолинейная форма оси вала становится неустойчивой и после сколь угодно малого начального возмущения система начнет уходить от невозмущенного режима.
Для анализа этой возможности отнесем рассматриваемую систему к неподвижной системе координатных осей худ, совместив ось х с прямой, проходящей через центры подшипников. Пусть в некоторый момент, от которого ведется отсчет времени, центр диска каким-либо образом отклонен от оси вращения Ох, после чего система предоставлена самой себе (рис. 111.16, а). Рассмотрим последующий процесс движения, принимая, что вал только изгибается и не претерпевает деформации кручения; кроме того, положим, что угловая скорость вращения вала а остается все время постоянной.
Обозначим через о = о (1), ы = и (1) составляющие прогиба середины вала в направлении осей д и г. Мысленно отделим диск от вала и заменим действие диска на вал силами Р, и Р., (рис. 11!.16, б). Схема сил, действующих на диск, показана на рис. 111.16, в; эти силы раппы по величине и противоположны по направлению силам Р, и Р,. Дифференциальные уравнения движения диска имеют вид Для того чтобы связать силы Р, и Р, с прогибами вала о и й, рассмотрим изгиб вала. Обозначим через р радиус кривизны оси вала в среднем его сечении. Проекции р на оси у и г обозначим через Р„и р,.
Оче- в) Рис. 111.!6 видно, что соответствующая кривизна пропорциональна прогибам (рис. 111.17, и): 1/р„=- ао; 17р, = аы, (111 40) где а — одинаковый для обоих направлений козффициснт про- порциональности, зависящий от опорных условий и длины вала (так, для свободно опертого вала а = 12~'Р). а) Рис. !1!.
!7 д, = г соз с~; г, = г з1п ср, причем ср = а1. Удлинение в точке А вследствие изгиба вала (111,41) 174 Рассмотрим теперь среднее сечение вала (рис. 111.17, б) и совместим с центром тяжести О, зтого сечения подвижную систему осей у„г„остающихся все время параллельными неподвижным осям у, г. Некоторая точка А, удаленная от центра тяжести сечения на расстояние г, имеет координаты Подставляя сюда выражения (111.40) и (111.41), получим е = — аг (о соз в1 + (2) з1п е) е). Соответственно (11.236) нормальное напряжение в точке Л о = Ее — ' йе = — Еаг (о соз ()1 + (2( з1п ()г)— — айаг (о соз о1 — ог з1п ()1 + (о з1п ()1 + (о() соз о1). Вновь возвращаясь к координатам у1, г,, имеем о = — ау, (Ео + 1ео + ()г()(о) — — аг, (Е:и + й(о --- Ьо о).
Система элементарных усилий (тЫ образует изгибающие моменты относительно осей у,, г,: м, = — 1аа, нУ а((еи (-Уи — Аиа); (Р) М, = — 1 ау, аУ = аУ (Е а -(- Йа -(- Уии) . (е) (111.42) Возвращаясь теперь к рис. 111.16, б, заметим, что изгибающий момент М, вызван действием силы Р„а изгибающий момент М2 — действием силы Р,: Р,1 Р,1 м,= — ' — м,= — ' 4 ' 4 (111.43) Приравнивая правые части равенств (111.42) и (111.43), выразим силы Р, и Р, через прогибы центра тяжести диска: Р,1з р (з Е(о-(- Аы — Ь)о = ' .
Ео+ 1и+ Ьою = — ' 48,(' 48а' Здесь принято, что а = 12('12. Отсюда следуют искомые выра- жения для сил Р, и Р„; Р, =- —, (Ео + Ао+Ьжг); 487 48l Р2 = — (Ец) — ' йы — Й()о). 2 Ьз (111.44) о+ р (о+ — о+ — ог =.О; 2 ~уу'+ р' (о — ' — ы — — ~о) = О, Е Е (111.45) где р' = --- есть квадрат собственной частоты колебании 48ЕУ ~~~(з диска на невращающемся идеально упругом валу.
175 Подставляя выражения (111.44) в уравнения (111,39), получим дифференциальные уравнения движения центра тяжести диска Для решения уравнений (111.45) положим подобно выражениям (11127), что о=а е~'; ~=а е~', 1 > 2 Тогда получим Х. + р — Х -(- р ~ а, + ва., = О; 2 2 ~~ 2 ~Р Условие ненулевых решений для а, и а, имеет вид Отсюда следует характеристическое уравнение четвертой степени для л: Х'+ 2р' д Х'+ (2+ Р, ) р'Х'+2р' — „Х вЂ” , 'р'(1-~- — ) =О. Из условий Гурвица (111.
9) следует, что для устойчивости системы необходимо выполнение простого неравенства и <Р. (111.46) Таким образом, пока угловая скорость вращения вала меньше критической, неравенство (111.46) выполняется и вращение устойчиво; при а > р, т. е. в закритической области, вращение вала неустойчиво. Благодаря неучтенным здесь силам внешнего трения устойчивость может быть сохранена и в закритической области, конечно, если эти силы достаточно велики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
