Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. с большей частотой. Поэтому иногда полагают, что мерой плавности движения следует считать произведение максимального ускорения на частоту колебаний аозз. Эта величина представляет собой максимальное значе- ние третьей производной х„„., и иногда называется резкостью. По некоторым экспериментам за меру комфортабельности езды следует принимать величину асо'-', близкую к третьей производной. В вагоностроении принято оценивать плавность движения вагона величиной азв', что эквивалентно оценке аот' ".
Действие двух гармонических сил с близкими частотами; биения. Если система с одной степенью свободы испытывает действие двух различных гармонических возмущающих сил, то вследствие ее линейности суммарный эффект может быть определен путем сложения эффектов, вызываемых каждой из сил. Так, возму- 207 щающая сила вида Р = Р, з1п а,1 + Р, з1П ю,1 вызовет сложные колебания Х = а1 51П О 11 — ~ — а2 51П 61 2г.
(1Ч.24) Если частоты а1 и о, близки одна к другой, то суммарное движение принимает своеобразный характер и называется биениями (рис. 1Ч.14, а). Особенностью биений является периодическое изменение пиковых значений. Для анализа этого явления преобразуем сначала решение (17,24) следующим образом: х= а,з1пв1Г+ а,з1п в2Г= ' [з1пи,т+ яп в111-~- а1 + ~~ 2 + 2 1$1п 10~~ — в1п ийг1 = (01+ а~) соз, г 81п ~ ~ +- + (а1 а2) и1П 2 е сов 2 Обозначив И, — 6Э, О, — 01, Ь, = (а, + а,) сов ' 1; Ь., = (а,— а,) з1п напишем предыдущую формулу в виде или х=1хЫ-сдздз~п ( ' "1-~- и), где 1да = Ь,/Ь,. Подчеркнем, что ввиду близости о, и о1, величины Ь„Ь, и а меняются медленно. Таким образом, движение можно описать выражением х = а з1п (а1+ а), где и = 1и, -~- иф2 — среднее значение честпты; и = р Ь, '+ е',— медленно меняющаяся амплитуда колебаний; а — медленно меняющаяся фаза.
Итак, движение носит почти синусоидальный характер, причем амплитуда колебаний а есть медленно меняющаяся функция времени. Период изменения амплитуды (период биений) составляет Т, = 2Ы(о, — и,). Так как разность н, — а, мала, то период Т, значительно больше периода колебаний Т = 41тl(а1+ а~). 206 Кстати, отметим, что биения могут возникнуть и при действии одной возмущающей силы Р„з1п о1 вблизи резонанса, когда частота со близка к соответственной частоте р. Из решения (1Ч.18) видно, что в данном случае колебания состоят из двух гармоник с близкими частотами со и р.
Преобразования, подобные выполненным выше, приводят к выводу, что и здесь суммарные колебания носят синусондальный характер с переменной амплитудой. Однако в данном случае этот пропесс не является установившимся; сопровождающие свободные колебания вследствие затухания постепенно исчезают, остаются только вынужденные колебания, и биения прекр ащаются (рис.
1Ч.14, б). Действие произволь- Рис. 1Ч.14 ной периодической возмущающей силы (спо- ~й1 соб разложения на гармонические составляющие). В практических приложениях ча- и Щ лЯ сто встречаются периодические возмущающие силы более сложного характера, чем рассмотренные выше. Так, на рис. 1Ч.15, а показан ~о ~ ~г закон изменения крутя- Рис. Ю.15 щего момента, создаваемого четырехтактным двигателем внутреннего сгорания.
Другой пример (периодические «безмассовые» удары) показан на рис. ГЧ.15, б. Силы (моменты) рассматриваемого вида имеют четко выраженный период колебаний Т, но не описываются единым аналитическим выражением. В подобных случаях чаще всего пользуются разложением периодической силы в ряд Фурье, При этом сила представляется в виде суммы гармонических составляющих, а затем определяется эффект, вызываемый каждой из составляющих; после этого полученные частные эффекты суммируются. 14 я.
г. Пэнонко 209 Периодическую силу Р (1) можно представить в виде ряда Фурье: Р (1) == ао + ад соз в1+ а, соз 2со1+ + бд з1п со1+ Ь, з1п 2в1 + где в = 2дд~Т вЂ” основная частота возбуждения. Коэффициенты а и о вычисляются при помощи известных из теории рядов Фурье формул: о т ад = — ~ Р (1) соз соус(1; 2 о т а, = — — ~ Р(1) соз2в1 Ж; о Р(1) Ж; 6 Р(1) зш со1сИ 2 о т б., = —, ~ Р (1) з1п 2а1 й; 2 о Пользуясь решением (1Ч.20), полученным для одной гармоники, найдем ао а, сов в1+ Ь, Мп вт а, сов 2вд + Ь, Мп 2вl х с 1 — — с 1— (1~т.25) Это решение состоит из постоянного слагаемого ао1с, соответствующего среднему значению возмущающей силы, и ряда гармонических колебаний с частотами со, 2в,... Если собственная частота совпадает с частотой какой-либо одной гармоники ив (п =- 1, 2,...), то соответствующее слагаемое в формуле (1Ч.25) становится неограниченным. Следовательно, в общем случае периодической возмущающей силы резонанс наступает не только когда собственная частота р р анна основной частоте возмущающей силы в, но и когда р кратно ~о.
В частных случаях в формуле (1Ъ'.25) отсутствуют некоторые слагаемые и резонанс наступает не при любой кратности. Рассмотренный способ отчетливо выявляет, при каких условиях возникает резонанс. Недостатком этого способа является относительная сложность вычислений, необходимых для учета весьма большого числа слагаемых в выражении (1Ч.25). Так, возмущающую силу, показанную на рис. 1Ч.15, а, для достаточной точности приходится заменять примерно десятью гармониками. Действие периодических импульсов (замкнутая форма решения). Исследуем действие периодических импульсов (рис.
1Ч.15, б), считая длительность каждого из них исчезающе малой. Для решения этой задачи, конечно, можно воспользоваться выражением 210 х = хо соз р1+ ' з1п р|, р (1Ч.26) и, следовательно, о = х = — рх, з|п р1 + о, сов р1. В конце этого интервала, непосредственно перед следующим импульсом (мгновение 1,), получим х, = х, соз рТ+ —" з1п рТ; р о, = — рх, зш уТ+ и, сов рТ. В результате действия очередного импульса скорость мгновенно изменится на величину 5/и (где 5 — значение импульса). Поэтому непосредственно после следующего импульса (мгновение 1,) х,=х,=х,созрТ+ — 'зги рТ; р 5 Я о — а, — ,'— — — — рх, з|п рТ г- о, соз рТ + —.
пг т Будем считать, что рассматриваемому периоду предшествует бесконечно длинная серия импульсов. В таком случае периодические импульсы вызывают также периодическое движение с тем же периодом. Поэтому величины х, и о, должны быть соответственно равны х, и о,: х, = х, соз рТ+ —" з|н рТ; р и, = — рх, з1п рТ вЂ”, о, соз рТ вЂ” ,' Я т В этих уравнениях содержатся две неизвестные величины, а именно х, и о,. Решая уравнения, находим рт З х,= — с|ц —; о,= —. 2тр 2 ' 2т ' После замены Т =- 2лlо закон движения (1У.26) принимает вид х= (з|п р1-~ созр1с|п — |.
(ГЧ.27) 2тр И / 14* 2!1 (1Ч.25). Однако в данном случае гораздо удобнее замкнутая форма решения, не содержащая бесконечных сумм. Рассмотрим какой-либо один из периодов Т, принимая начало отсчета времени в конце действия предшествующего импульса (например, в мгновение 1„на рис. 1Ч.15, б). Обозначим перемещение и скорость в начальный момент времени соответственно через хо и по. До приложения следующего импульса колебания являются свободными и происходят с собственной частотой р, т. е.
описываются уравнением Полученным результатом можно пользоваться лишь в интервале времени О, Т. В других интервалах закон движения полностью повторяется с соответствующим смещением начала отсчета. Амплитуда колебаний определяется формулой 2ир Г Оэ 5 0 0,5 ~ 1~ Р 2,У со/р У ьр 2П1р ~ Я1П— Ряс. 1Ъ'.16 Ш Дробь 31(яр) есть максимальное отклонение, вызванное одним импульсом, поэтому выражение 1 1Ц3 2 Мп— может быть названо коэффициентом влияния повторности импульсов. На рис.
1У.16 показано изменение коэффипиента р в зависимости от отношения частот н!р. Из последней формулы и рис. 1Ъ'.16 видно, что при совпадении частот или их кратности (р = па; и = 1; 2;...) возникает резонанс; р,„,„= 0,5. Действие произвольной периодической возмущающей силы (замкнутая форма решения). Только что изложенный способ может быть использован также для замкнутого решения о действии произвольной периодической силы. Рис. 1У.17 Пусть на систему действует некоторая заданная периодическая сила Р с периодом Т (рис. 1Ъ'.17). Выберем произвольное начало отсчета времени (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
