Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 38
Текст из файла (страница 38)
[[)/.48) 11 Буквой М обозначена операция вычисления среднего значения для одной реализации. Г1ри обработке опытных результатов здесь, конечно, принимается конечная сумма, число членов которой равно числу осуществленных в опыте реализаций. Из выражения (1У.48) видно, что математическое ожидание есть неслучайная функция времени. Если из случайной функции вычесть ее математическое ожидание, то получится центрированная случайная функция Х (1) — Х (1) - — т, (1). (1Ъ'А9) Если случайной функцией времени является возмущающая сила, то ее действие на линейную механическую систему можно найти как сумму действий математического ожидания и центрированной случайной функции.
При этом первая задача оказывается 229 детерминистической, и все специфические особенности решения относятся только ко второй задаче; по этой причине ниже рассматриваются только цептрированные случайные функции. Дисперсия случайной функции характеризу'ет степень случайности, т. е. разброс функции относительно среднего значения (т. е. относительно нуля, если речь идет о центрированной случайной функции). Дисперсия определяется выражением о, г!г = чт ~ м ~х'; ггг1 = м ~х'г!и г!члог г!г-+ оз г — ! и представляет собой математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.
Как видно из (1Ъ'.50), дисперсия также является неслучайной функцией времени. С дисперсией непосредственно связана другая характеристика разброса случайной функции — среднеквадратическое отклонение, которое определяется формулой о,(1) =1 О,(1). (1Ч.51) и представляет собой математическое ожидание произведения центрированных значений случайной функции, взятых в различные моменты времени 1 и 1'. Как видно, корреляционная функция является неслучайной функцией двух аргументов. Во многих реальных ситуациях вероятностные характеристики случайных функций достаточно однородны во времени; такие случайные функции называют стационарными.
Большинство названпых вьппе возмущающих сил практически в течение достаточно большого времени можно считать стационарными случайными функциями времени. Очевидным исключением являются кратковременные сейсмические нагрузки. Благодаря стационарности характеристики рассматриваемых случайных функций значительно упрощаются. Математическое ожидание и дисперсия становятся постоянными числами *, а корре- * Имеется в виду нецентрированная функция. Для центрированной функции математическое ожидание равно нулю, даже если случайная функция не обладает свойством стационарности.
230 Описание случайной функции с помощью ее математического ожидания и дисперсии оказывается далеко не полным..Можно представить себе две существенно различающиеся случайные функции, хотя их математические ожидания и дисперсии соответственно одинаковы. Поэтому вводится еще одна характеристика случайной функции -- корреляционная фунгсг1ия, которая определяется выражением х.г!,г')=и —,', ~х;гг!х;г!'~=мгхгггхг!г1 г!ч.52! г=! ляциопная функция оказывается зависящей только от одного аргу- мента — разности т = 1' — 1. Тогда имеем К„(1, 1 + т) = 1е (т). (1Ъ'.53) При этом дисперсия равна значению корреляционной функции при т =0: Р„= /е (О).
(1Ъ'.54) (1Ч.55) где Т вЂ” — длительность всего интервала времени, на котором получена реализация. Далее следует центрировать реализацию х (1), т. е. вычесть из нее найденное значение математического ожидания: (1Ч.56) и по формуле (1Ъ',57) найти корреляционную функцию. Конечно, при практических вычислениях интегралы в (1Ч.56) и (1Ч.57) заменяют соответствующими конечными суммами, так что корреляционная функция оказывается определенной дискретной серией своих значений. При этом значение й, (О) определяет дисперсию.
" Приведем пример. Согласно ГОСТ 16526 — 70 при транспортных испытаниях самоходных сельскохозяйственных или строительно-дорожных колесных машин требуется, чтобы запись колебаний на рабочих местах имела продолжительность не менее 100 с, 231 Поскольку случайная функция стационарна, то естественно предположить, что одна реализация достаточной продолжительности может содержать достаточно опытного материала для получения характеристик случайной функции.
Нередко оказывается, что это предположение верно и одна достаточно продолжительная реализация практически эквивалентна (по объему сведений о случайной функции) множеству реализаций той же общей продолжительности. Тогда характеристики случайной функции могут быть приближенно найдены не как средние по ряду реализаций, а как средние по времени. Такие стационарные случайные функции называются эргодическими (следует иметь в виду, что стационарность случайной функции в принципе не гарантирует эргодичность). Рассмотрим достаточно продолжительную реализацию * эргодической стационарной случайной функции и обозначим эту вполне конкретную зависимость через х (1).
Тогда математическое ожидание можно найти по формуле Такая обработка результатов наблюдений основана на предположении о стационарности и эргодичности случайного процесса, но наличие названных свойств в каждой задаче должно быть достаточно обосновано. Не вдаваясь в подробности, отметим, что признаком стационарности может служить независимость математического ожидания и дисперсии от длительности интервала времени Т (при условии, что он достаточно большой), а признаком эргодичности— затухание корреляционной функции с увеличением т. Для использования полученных таким образом результатов в задачах о колебаниях механических систем под действием случайных сил удобно представить корреляционную функцию в аналитической форме, приняв подходящее аналитическое выражение и подобрав надлежащие значения параметров в принятой зависимости.
Например, при рассмотрении профиля дороги как случайной функции принимают корреляционную функцию в виде ~г, (т) = Ре — " ~ т ~ . Для усилий, действующих на породоразрушающий инструмент в горной промышленности, принимают корреляционную функцию в том же виде или в виде 7г (~) = О~ -" ~ ' ~ с~э ~~. Построением подобных выражений завершаются выкладки по определению характеристик возмущающих сил. Г1редположим, что корреляционная функция случайной возмущающей силы известна (найдена, задана) и требуется найти движение, вызываемое такой силой.
Нужно отметить, что искомое движение в этих задачах также является случайной функцией времени, и поэтому определить движение — это значит найти характеристики такой случайной функции. Если речь идет о воздействии центрированной возмущающей силы, то главной целью расчета обычно служит определение среднеквадратического значения перемещения (скорости„ускорения, какого-либо внутреннего усилия и т. п.). Для решения такой задачи нужно прежде всего найти спектральную плотность возмущающей силы 63 5 (в) = — ~ Йр(т)созотс(т, 2 о после чего спектральная плотность искомого перемещения определится выражением Я (~~) ~ К ~2 Яр (~) где К, — частотная характеристика системы 1см. формулу (1Ч.38) 1, т. е. Теперь можно найти дисперсию перемещения по формуле Р„= ~ 5,(о~) Ьо о и, наконец, среднеквадратическое значение перемещения а, = 1/Р 20.
пРилОжение теОРии Вынужденных кОлеБАниЙ К ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ Измерительные приборы или измерительные установки, предназначенные для измерения параметров механических колебаний (вибраций), называются виброметрами *. Действие многих виброметров непосредственно основано на закономерностях теории вынужденных колебаний. Принципы устройства простейших виброметров Виброметры частоты. Виброметры частоты служат для опытного определения частот колебаний вибрирующих объектов и основаны на резонансном принципе. На рис. 1У.25, а показана схема язычкового прибора. Прибор содержит ряд заделанных в корпус г пластинок, к концам которых прикреплены небольшие дополнительные массы.
Пластинки имеют различные длины и различные собственные частоты, которые заранее определены и помечены Рис. 1Ъ'.25 возле каждой пластинки. Корпус прибора укрепляется на колеблющемся объекте, так что пластинки оказываются в условиях колебаний, вызванных кинематическим возбуждением. Пластинка, * Терминология, относящаяся к виброизмерительным приборам, стандартизована (ГОСТ 16819 — 71) — так же, как и общие требования к выполнению измерений механических колебаний (ГОСТ 13731 — 88).
233 собственная частота которой близка к частоте измеряемых колебаний, приходит в состояние особенно интенсивных вибраций; таким образом и выясняется частота измеряемых колебаний. Обычно разность собственных частот двух соседних полосок составляет 0,5 Гц, так что ошибка измерения не может превышать этой величины. Диапазон измеряемых частот невелик и составляет 10 — 20 Гц. Основной деталью виброметра частоты, показанного на рис.
1Ъ',25, б, является упругий стержень 1 с грузом на конце. После установки прибора на колеблющийся объект свободная длина стержня, а следовательно, и его собственная частота постепенно меняются при плавном перемещении планки 4 винтом 2. Рис. 1Ъ'.26 Когда вибрации стержня становятся особенно интенсивными, перемещение планки прекращают и по размеченной шкале 3 определяют частоту колебаний. Вибрографы инерционного (сейсмического) типа. Такие вибрографы используют для записи перемещений точек вибрирующих объектов или для записи углов поворота, Корпус прибора жестко связывается с объектом, колебания которого измеряются; в приборе имеется практически неподвижное тело, по отношению к которому фиксируются перемещения корпуса, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
