Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 10

коэффициент жесткости упругого элемента; А — коэффициент вязкости звена трения. Можно сказать, что соотношение (11,74) представляет собой вязко-упругую характеристику системы подвески. Отметим, что во вязко-упругие свойства некоторых реальных материалов иногда описывают аналогичным соотношением («реологическим у'равнением») о=а+Ее, где а — нормальное напряжение; в — деформация; Š— модуль упругости; Й вЂ” коэффициент вязкости. Такие материалы (сплошные среды) называют материалами Кельвина — Фохта. Схема, показанная на рис, 11.17 и моделирующая в нашем изложении реальную механическую систему, также часто используется как условная наглядная мо- .

дель материала Кельвипа— р Фохта. Существуют более слож- Сг пые системы подвески, которые не сводятся к только что рассмотренной простой схеме, в частности с двумя упругими элементами и одним вязким звеном (рис, 11.24). Связь между внешней силой и перемещением нагруженной точки получим следующим образом.

Обозначим: с, и с, — коэффициенты жесткости упругих элементов; Й— коэффициент вязкости; х, и х, — перемещения нагруженной точки и промежуточной платформы; последнюю будем считать лишенной массы. Тогда для силы Р можно записать два различных выражения; первое определяет силу в правом упругом элементе: Р = с,(х,— х.,), а второе — силу в левой вязко-упругой системе: ~о = йх,+ с,х,.

Исключив из этих выражений перемещение х„получим следующее дифференциальное соотношение между Р и х: Р+ Р= ' — х, -~- ' ' х, (П.75) с,+с с1-~-с 1 с, +с» В отличие от (1[.74) сюда входит также первая производная силы Р (скорость изменения силы). Если задана программа нагружения, т. е. зависимость Р от времени, то из (11.75) можно путем интегрирования найти закон изменения перемещения х,. В иных случаях может быть задана зависимость х1 от времени, тогда (11.75) следует рассматривать как дифференциальное уравнение для определения силы Р в функции времени. Прежде всего рассмотрим два крайних частных случая.

61 Если сила изменяется весьма медленно, то в (11.75) можно пренебречь членами, содержащими производные Р и х,; тогда получится (11.76) Это соотношение описывает упругую систему, характеризуемую коэффициентом жесткости с~с,/(с, + с,). К тому же результату можно прийти непосредственно, заметив, что вследствие медленности процесса в вязком звене вообще практически не возникает усилий и система подвески оказывается состоящей только из двух последовательно соединенных упругих элементов (см.

схему 3 в табл. 1, стр. 24). Если, в противоположность предыдущему случаю, сила изменяется весьма быстро, то в соотношении (11.75) можно считать пренебрежимо малыми члены, содержащие Р и х,. Тогда получится Р = с,х„или после интегрирования (начальное условие: Р = 0 при х, = О) Р =с,х,. (11.77) Отсюда можно найти закон последующего изменения перемещения х„удовлетворяющий начальному условию х (О) = Р,/с,: (11.79) Как видно, с течением времени перемещение будет возрастать и при 1 со приближается к значению Р, (с~ + с,)l(с~с~). Этот 62 Подобно (11.76), это соотношение описывает также упругую систему, но с иным и притом ббльшим коэффициентом жесткости с,.

Физически этот результат легко понять, если иметь в виду, что при быстром нагружении вязкое звено деформируется весьма мало, а следовательно, малы деформации и левого упругого элемента; таким образом, в рассматриваемых условиях левая часть системы подвески практически не деформируется и коэффициент жесткости всей подвески определяется только значением с,. Конечно, последний результат относится только к тому этапу процесса нагружения, в течение которого происходит предположенное здесь быстрое изменение силы. Пусть, например, сила Р внезапно возрастает от нуля до некоторого конечного значения Р„которое затем остается неизменным.

При этом перемещение х мгновенно достигает значения Р,!с,. Дальнейшее течение процесса определяется соотношением (11.75), в котором производная Р должна быть принята равной нулю: (11.78) процесс постепенного увеличения перемещения при неизменном значении внешней силы называется ползучестью. Рассмотрим теперь другой случай внезапного изменения состояния системы: правая точка принудительным образом внезапно смещается на величину х, и затем остается неподвижной.

Каково изменение силы Р в этом процессе? В этом случае сначала мгновенно появляется сила с,х,. Поскольку в последующем процессе х т = О, он описывается ур авнением Решение этого уравнения (оно удовлетворяет условию Р (0) =- с,х,) имеет вид 1 г 2 (11.81) С течением времени сила Р убывает до значения ' ' х,. Прост+ с, цесс постепенного убывания силы при заданном фиксированном значении перемещения называется релаксацией (этим свойством не обладает система, показанная на рис. 11.17). При деформировании некоторых материалов также обнаруживается их способность к релаксации; поэтому схема на рис. 11.24 часто применяется в качестве наглядной модели для таких материалов. Связь между напряжением о и деформацией а (реологическое уравнение) для материала такого типа имеет ту же структуру, что и соотношение (11.75) для сложной вязко-упругой подвески: (11.82) аб + а = пНа+ Ее.

лтх =- — Р. (11.83) Исключив из (11.75) и (11.83) силу Р и ее производную, получим уравнение (11.84) которое в отличие от рассмотренных выше случаев имеет третий порядок '. * Поскольку движение системы с одной степенью свободы описывается дифференциальным уравнением второго порядка, рассматриваемую здесь систему можно назвать системой с 1т/2 степенями свободы. Сюда входят три постоянные: Š— длительный модуль упругости; Н вЂ” мгновенный модуль упругости; и — время релаксации. Сплошную среду, описываемую соотношением (11.82), называют обобщенной вязко-упругой средой. Свободные колебания груза на сложной вязко-упругой подвеске описываются дифференциальным уравнением Принимая частное решение в виде х = Ае", придем к хар актеристическому уравнению Лз ) 1 — с2 Л2 1 с1 Л + с1с~ О (11.85) и Ат корни которого имеют вид: Л, = — — сс1; Л., = — аа + Р' Лз = — с~2 Р' После их определения можно записать общее решение дифференциального уравнения (П.85): х =- С,е — ~'+ е -"-~ (С2з1п ~Я+ С, сов ~1).

(11.86) Первый член этого решения описывает апериодическое затухающее движение; быстрота затухания характеризуется значением а,, причем величина 1/я, представляет собой время релаксации, т. е. время, в течение которого первое слагаемое решения (11.86) уменьшается в е раз. Второй член решения описывает затухающие колебания того 'ке типа, что и в простой вязко-упругой системе.

Для определения постоянных, входящих в (11.86), служат три начальных условия. Два из них вполне обычны и относятся к начальным значениям перемещения и скорости; третье условие характеризует начальное возмущение ускорения, которое с помощью (11.83) выражается через начальное возмущение силы Р в подвеске.

Эта величина может отличаться от нуля, даже если х(О) =Оих(О) =О. 6, СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ НЕУПРУГИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛЕ Некоторые типы нелинейных характеристик Для анализа колебаний любой механической системы с нелинейной восстанавливающей силой прежде всего необходимо иметь упругую характеристику этой силы, т. е. аналитическую или графическую зависимость между статической нагрузкой на систему и соответствующим перемещением. В некоторых случаях надежные сведения о таких характеристиках могут быть получены только экспериментально, но иногда их можно найти также расчетным путем. Рассмотрим построение характеристики для системы, показанной на рис.

1.4, б, и обозначим: 1 — начальная длина пружины; с — ее коэффициент жесткости. Сначала будем считать, что когда груз находится в среднем положении, натяжение пружины отсутствует. При отклонении груза па расстояние х пружина удлиняется на величину ): х' + Р— 1 и соответствующая сила натяжения пружины ~ = с()~х' -~- 1' — 1). Горизонтальная составляющая этой силы, определяющая упругую характеристику системы, Полагая, что перемещение х мало сравнительно с длиной 1, можно принять следовательно, характеристика системы чисто нелинейная: Р—— (11.87) Если пружина обладает первоначальным натяжением й1 „, то при отклонении груза на величину х полная сила натяжения составляет а ее горизонтальная составляющая равна О + а' ]l 1а+ ха 1 21а Это выражение отличается от выражения (11.87) наличием линейного слагаемого.

Отсюда видно, что начальное натяжение может существенно влиять на упругую характеристику системы. Практически важным примером упругой нелинейной связи может служить задняя подвеска автомобиля (рис. 11.25, а), если кроме основной рессоры имеется дополнительная рессора (подрессорник). При малых перемещениях кузова концы подрессорника не касаются упоров и работает только основная рессора; зависимость между силой давления Р на рессору и ее прогибом у можно считать линейной (участок аЬ). При больших перемещениях кузова концы подрессорника упираются в кронштейны рамы и общая жесткость рессоры становится большей (участок Ьс).

Таким образом, общая характеристика рессоры Р (у) оказывается нелинейной. Если с, — коэффициент жесткости основной рессоры и с,— коэффициент жесткости подрессорника, то жесткость системы на участке аЬ равна с,, а на участке Ьс — сумме с, + с,. На рис. 11.25, б показана схема нелинейной пружинной муфты с первоначальным натягом; муфта служит для соединения двух частей вала, причем одна часть жестко связана с внутренней полумуфтой, а другая — с внешней.

Полумуфты соединяются несколькими пружинами, которые устанавливаются в соответствующие полости с некоторым натягом. При малом крутящем моменте М угол взаимного поворота полумуфт ~~ = О. Когда крутящий момент достигает некоторого значения М „определяемого 65 я. Г. Паноако величиной первоначального сжатия пружин, начинается деформация пружин и полумуфты получают возможность взаимного поворота. Характеристика такой муфты — связь между крутя- г) г ~рг Рис.

11.25 щим моментом и углом взаимного поворота полумуфт — содержит вертикальный участок, совпадающий с частью оси ординат. Если при нагружении муфты крутящим моментом на каждую пружину действует сила, меньшая усилия первоначального обжатия Р„то взаимный поворот'полумуфт невозможен. Обозна- чая число пружин через и и радиус пограничной окружности через г, можно записать, что пока М ( Мо = пРфг, угол взаимного поворота ср = О (участок Оа на рис.

11.25, 6). Если М ) М,, то начинается деформация пружин; на каждую пружину придется дополнительная сила (сверх начальной силы Р,) — — Р„вследствие чего произойдет обжатие каждой пружины пг /М на аеликпну ( — — Р„) (с, тде с — коэффиниент жесткости одной пружины при сжатии. Этому соответствует угол взаимного поворота полумуфт Я~ = — ' — Ро СГ.