Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 6

Полагая, что движение, определяемое координатой у, является гармоническим и описывается выражением у = а з1п (р1 + а), можно определить скорость у — — ар соя (р 1 + я). Максимальная потенциальная энергия П „ системы достигается в моменты наибольшего отклонения системы от положения 30 равновесия и определяется этим отклонением, равным а. Соответственно максимальная кинетическая энергия Т ах опреде- лЯетсЯ наибольшей скоРостыо о,аах = ар, котоРаЯ достигаетсЯ в моменты прохождения системы через положение равновесия.

Если отсчет потенциальной энергии вести от положения равновесия, то должно выполняться равенство П„,„, = Т „,, из которого определяется собственная частота Р. Приведем два случая определения собственной частоты, в которых наиболее удобен энергетический способ. В первом случае восстанавливающая сила создается упругой пружиной, во втором— 0 силой тяжести. Рассмотрим колебания массивного цилиндра, который может без скольжения катиться по горизонтальной плоскости (см.

систему ХА!1 на рис. 1.2). Пусть радиус цилиндра г, его масса и(, радиус инерции р и коэффициент жесткости пружины с. 4 Максимальная потенциальная энергия пружины П „= сах(2. (11.18) Рис, 11.10 Кинетическую энергшо следует вычислять с учетом вращения цилиндра: 9 ти три шах хаах 2 ' 2 Заменяя %пах = ап(ах/~'1 г(шах аР получим Т вЂ” + ' Р ~ — 'Р (1-(- — ". ). (((.19( Приравняв выражения (П.18) и (11.19), находим собственную частоту колебаний (П.20) Из формулы (11.20) видно, что вследствие инерции вращения цилиндра собственная частота колебаний уменьшается. Если цилиндр однородный, то р" '= 0,5г' и собственная частота на 18% мен ше, чем в случае поступательного движения такого же груза без вращения.

Теперь обратимся к рис. П,10, где изображен массивный цилиндр, который может свободно катиться по цилиндрической 31 Рассмотрим наиболее общую форму метода Рэлея применительно к задаче о поперечных колебаниях балки. Положим, что перемещения точек оси балки описываются законом у (х, 1) = 1' (х) э1п (р1+ а), (11.23) о (х, 1) = У = р1 (х) сов (р1 + а), а максимальные скорости (в момент прохождения системы через состояние равновесия) — зависимостью о,„,„(х) = р1 (х). Максимальная потенциальная энергия Максимальная кинетическая энергия (11.25) где и = т (х) — интенсивность распределенной массы балки.

Приравняв выражения (П.24) и (11.25), получим основную формулу Рэлея для случая поперечных колебаний е1 (~")~ дх р2 0 т~2 с1х о. (11.26) Если кроме распределенной массы с осью балки в сечениях х, связаны также сосредоточенные грузы с массами т;, то в выражении кинетической энергии появятся слагаемые типа тЯр'~2, 3 я. Г.

Паловко т. е. что колебания всех точек оси происходят с одной и той же частотой и находятся в одной фазе (т. е. все точки одновременно проходят через положение равновесия, одновременно достигают наибольших отклонений и т. д.). Функция 1" (х) представляет собой форму колебаний, т. е. описывает конфигурацию изогнутой оси в момент, когда прогибы достигают максимума у „(х) = ~ (х). Соответственно закону (11.23) скорости точек оси балки определяются зависимостью где ~,.

— значение функции 1(х) в точке с абсциссой х;; соответственно формула (11.26) приобретает вид 1 1 ЕУ У")'-" ах 9 о (11.27) ~ т1 а'х+ ~~~~ т;1,. о Приведенные варианты записи формулы Рэлея дают точные результаты при условии, что в формулу подставляется истинная форма колебаний 1 (х). 1-1о эта форма заранее неизвестна, и поэтому при практическом использовании формулы Рэлея з а д а ю т с я формой колебаний, что и вносит некоторую неточность в результаты. Рэлей не только предложил описанный способ, но и доказал важную теорему: получаемое по этому способу приближенное значение собственной частоты всегда выше истинного значения или равно ему. Эта теорема позволяет, по крайней мере, всегда судить о знаке ошибки приближенного решения. Г1ри выборе функции Г (х) ее масштаб вообще никакой роли не играет; умножение / (х) на любое число не изменит результата, как видно из структуры формулы (11.26).

Необходимо стремиться лишь к тому, чтобы ая'и— возможно лучше отразить ожи- даемую форму колебаний и, во т 2 ~н всяком случае, обеспечить выполнение граничных условий, соответствующих заданным ~/ю с/ю с/в с/о условиям закрепления копцов балки. Рис. 11.11 Пример 2. Определить собствен- ную частоту колебаний двухопорной безынерционной балки, несущей три одинаковых груза, масса каждого груза равна т (рис. 11.11). Зададимся формой колебаний в виде пх 1= а з1п это выражение удовлетворяет всем граничным условиям (/ = О и 1" = О при х =- О и х = 1) и описывает симметричную кривую. Величина а остается неопределенной — опа войдет множителем как в числитель, так и в знаменатель выражения (!1.27) и сократится, не повлияв на результаты вычислений.

Находим /" = — а —, з(п —; (1")' = а — з1п —. 14 Числитель в формуле (11.27) равен ")- азп~Е3 Е3 (1")а йх = ' 1а о Для нахождения знаменателя вычисляем прогибы под грузами: тг ! а, л ! 6 =~а — — а з!и — —.= — — ~ =а з!и — ' 2 =а. б 2 ' Знаменатель в формуле (1!.27) состоит из одного второго слагаемого ь 6 — "( — )~ "ц ( — ")= — ~. Квадрат собственной частоты по формуле (1!.27) 2 Зги !з откуда 5,596 Еу Р= и! Отметим, что этот результат практически совпадает с точным значением' 2 о (11.28) так как величины $Г и П,„равны.

При 'этом формула (11.27) приобретает вид ~ 77~!х 3 О Р Х з %~ з т7 Нх (- ~„т;~; (11.29) Конечно, в состав фиктивной нагрузки можно включать также сосредоточенные силы Р;; тогда формула (11.29) запишется так: ~ фЙх+ ~~) РД, Р'=-", ) т! дх+ «~~ тф . о (11.30) Весьма распространен особый прием использования формулы Рэлея, который состоит в том, что при решении задаются не функцией !' (х), а некоторой фиктивной нагрузкой д (х); в формулу Рэлея подставляется функция статического изгиба, вызываемого этой нагрузкой. Достоинство этого приема состоит в автоматическом удовлетворении граничных условий и, кроме того, в том, что вычисление наибольшей потенциальной энергии по формуле (11.24) можно заменить более простым вычислением работы фиктивной нагрузки д (х): В данном случае формула Рзлея имеет вид ~ тД Найдя статические прогибы под грузами (рис.

1!.13) тд1а 53я1д1з 11 — 1з = 48Е,7 1 1в вычислим числитель и знаменатель выражения для р~: тра / 1 53 1 ~1 107т~1з ЕУ 1, 48 1296 48 ) 1296ЕУ ( е/ ) ((48) ( ~296 ) ~ ( 48 ) 1 1529Уе'/" Квадрат собственной частоты 107.1296 ЕУ Р откуда Рис, 11.13 и,„=,' ) — "„'", *. (1! .36) Здесь М„„, = М„,„(х) — изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой лтр7'. Обозначим через М„,„изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой т1 (т. е. нагрузкой, в р' раз меньшей, чем силы инерции); тогда М„,„= р'М„„и выражение (11.32) можно записать в виде 4 ~2 о Наибольшая кинетическая энергия определяется, как и выше, выражением т..„= — ', 1тга .

о (11.38) 38 Формула Граммеля. Полезное видоизменение энергетического метода было предложено Граммелем в следующем виде, Пусть 1 (х) — задаваемая форма свободных колебаний стержня; тогда интенсивность соответствующих максимальных сил инерции определяется выражением тр'1, где, по-прежнему, т = т (х)— интенсивность распределенной массы, Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции: Приравнивая выражения (11.37) и (11.38), приходим к формуле Граммеля 1 ~ т1'дх Рй о (11.39) ~ ЕУЦ")'йх=4аЧЕГ; ~ т~'Их= . (П.40) о Теперь по формуле (11.26) определяем квадрат собственной частоты колебаний 20ЕУ Заметим, что этот результат заметно отличается от точного значения д 12,36Е1 Р 14 39 Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией 1 (х), стремясь возможно лучше отразить ожидаемую форму свободных колебаний и заботясь об удовлетворении граничных условий.

После этого путем умножения функции 1(х) на известную по условиям задачи функцию и (х) определяется условная нагрузка и), а затем известными методами сопротивления материалов находятся вызываемые указанной условной нагрузкой изгибающие моменты М„,„. Теперь остается вычислить выражения, входящие в числитель и знаменатель формулы (11.39). Формула Граммеля требует выполнения несколько большего объема выкладок, чем формула Рэлея, но зато дает лучшее приближение при одной и той же выбранной функции 1 (х). В этом можно убедиться на простейшем примере свободных колебаний консольно закрепленного стержня постоянного сечения.

Пусть левый конец стержня закреплен (совместим с ним начало координат), а правый — свободный. Примем, что форма колебаний описывается функцией ~ (х) = ах', где х — координата сечения; а — постоянная (ее значение несущественно, так как в окончательных выражениях сокращается). Эта функция удовлетворяет геометрическим краевым условиям и может быть положена в основу вычислений как по формуле Рэлея, так и по формуле Граммеля.

Для того чтобы воспользоваться формулой Рэлея, предварительно находим: Для вычисления собственной частоты по формуле Граммеля принимаем условную нагрузку в виде тах' и находим соответствующие изгибающие моменты от этой нагрузки М„„= ~~ (х' 4хР+ ЗР). Теперь определяем знаменатель выражения (11.39): 2 Л „~1х ~2ц~1~ Е/ б2,31ЕУ о (11.41) что значительно ближе к точному значению, чем результат, полученный по формуле Рэлея. Способ последовательных приближений определения собственной частоты Для уточнения приближенных значений собственной частоты применяется способ последовательных приближений.

Остановимся на случае изгибных. колебаний и положим, что имеется балка, несущая п масс т,, т„..., т„. Будем исходить из того, что закон колебаний любой точки имеет вид Соответствующие силы инерции — т,у, = т,а;р'з1п (р1+ а). В крайнем отклоненном положении эти силы примут значения Е;= — т,а р'. Состояние крайнего отклонения, когда скорости равны нулю, можно рассматривать как результат статического дейстлия сил 1';. Если бы эти силы были известны, можно было бы совершенно точно найти форму колебаний, а затем и собственную частоту. Однако эти силы, как видно из формулы, сами зависят от частоты и заранее неизвестны; однако решение задачи возможно путем последовательных приближений по одной из следующих схем. Первая схема вычислений.