Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 8

В зависимости от природы сил неупругого сопротивления для их описания пользуются следующими упрощенными представлениями. Вязкое сопротивление. Так называют сопротивление, пропорциональное скорости. Если, как обычно, обозначить скорость через и, то сила вязкого сопротивления описывается выражением й = Ао, (Н. 49) где 1с — коэффициент пропорциональности, а под Я подразумевается сила, действующая на демпфер; вязкая реакция демпфера на колеблющееся тело имеет противоположное направление. 48 Такова, например, система с гидравлическим демпфером (рис. 11.1?), который создает сопротивление движению поршня, зависящее не от перемещения (как это свойственно упругим связям), а от скорости и пропорциональное ее первой степени.

Подобные устройства применяются, например, в конструкциях автомобильной подвески. Гидравлический демпфер состоит нз Рис. 11.17 одного или нескольких цилиндров с поршнями или из камеры, в которой может вращаться крыльчатка. Цилиндры и камера наполнены амортизационной жидкостью. При движении поршней или крыльчатки эта жидкость продавливается через калиброванные отверстия; этим создается сопротивление, по характеру близкое к вязкому.

Сопротивление, пропорциональное и-й степени скорости. В ряде технических устройств, в частности в гидравлических амортизаторах, силы неупругого сопротивления нелинейно зависят от скорости. Такие силы записываются в виде й = И~ и~" — ', (11.50) где Й и п — постоянные. Кулоново трение. В этом случае и = О, т. е. силу неупругого сопротивления принимают постоянной по величине, но направленной противоположно скорости: Я = Йи)и,' — '.

Рис. 11.18 49 4 я. г. панонко Гистерезис. Вследствие внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании наблюдаются некоторые отклонения от закона Гука (даже при малых амплитудах) и связь между напряжениями и деформациями описывается не линейной зависимостью, а двумя криволинейными ветвями, ооразующими петлю гистерезиса. То же относится и к связи между нагрузкой на механическую систему с внутренним трением и соответствующим перемещением х. На рис.

11.18 показано, что в системе с одной степенью свободы полная сила сопротивления Р состоит из линейной составляющей, которая соответствует закону Гука, и неупругой составляющей Й, знак которой зависит от направления деформирования (плюс — при нагружении, минус — при разгрузке). Для многих материалов экспериментально установлено, что скорость процесса деформирования практически не влияет на очертание ветвей петли гистерезиса, поэтому площадь петли, служащая мерой рассеяния энергии при колебаниях за один цикл, для любого данного материала определяется только амплитудой перемещения. В частности, широко используется зависимость, предложенная Н.

Н. Давиденковым: Ч' = Йа"+', (11.51) в которой Ч" — площадь петли гистерезиса; а — амплитуда перемещения; Й и п — постоянные, зависящие от материала и типа конструкции. Независимость площади петли гистерезиса от скорости существенно отличает рассматриваемый вид трения от вязкого трения, при котором силы неупругого сопротивления Я зависят от скорости, т.

е, в конечном счете от частоты процесса деформирования. В реальных механических системах причиной гистерезисных явлений служит не только внутреннее трение в материале, но и конструкционное трение в опорах и формально неподвижных соединениях (прессовых, болтовых, резьбовых и др.); в последнем случае трение возникает вследствие малых проскальзываний по контактным поверхностям. Во многих случаях влияние конструкционного трения даже превосходит влияние внутреннего трения.

Конструкционное трение также практически не зависит от скорости, и поэтому для его описания пользуются выражениями типа (11.51), не содержащими скорости (или частоты процесса). В ряде случаев удается вычислить постоянные й и п по параметрам системы и значению коэффициента трения, в других случаях эти постоянные приходится определять опытным путем. Свободные колебания прн вязком сопротивлении Рассмотрим схему, приведенную на рис. 11.17, а. При учете сил вязкого сопротивления дифференциальное уравнение движения груза (рис. 11.17, б) получит вид — сх — /гх = тх. Обозначим — =й; — '=Р. 2 2т ' т х+ 2пх + р'х = О. (11.52) Здесь коэффициент и характеризует вязкость системы (его не следует смешивать с коэффициентом п для сил неупругого сопротивления).

Теперь запишем дифференциальное уравнение в форме: Обычно выполняется неравенство р' > п', и общее решение уравнения (11.52) может быть представлено в виде г = ае "' юп 1ф' р' — Ю ~- и). (11.53) Постоянные а и а определяются из начальных условий. Вместо выражений (1!.5) получим Решение (11,53) может быть также переписано в виде, подобном выражению (11.5): х=е — "<(х,совр р' — п1+ "' ""' в~прр' — пч).

(и54) (П.55) и обычно мало отличается от частоты незатухающих колебаний той же системы, но лишенной демпРис. 11.19 фирования. Рассмотрим последовательные пиковые значения, т. е. отклонения, соответствующие тем моментам времени, когда з1п(р,.1+сс) =1 (рис.

11.19): аз = аŠ— л1~,+ г1 а,= аŠ— "'; а,= аŠ— "1'+г1 где 1, — время, соответствующее первому наибольшему отклонению; Т = 2л/)~~р' — и' — длительность одного колебательного цикла, остающаяся неизменной во время всего процесса (в данном случае не следует пользоваться выражением «период колебаний», так как движение не обладает свойством периодичности). Отношение двух последовательных пиковых значений (термин «амплитуда колебаний» здесь неприменим, им следует пользоваться только для гармонических колебаний) остается все время постоянным: а» ...

епг а а» Кривая колебаний представлена на рис. 1!.19, где отчетливо виден затухающий характер процесса. Как видно из выражения (11.53), частота колебаний определяется фор- мулой т. е. последовательность пиковых значений образует геометрическую прогрессию. Следовательно, при любом значении г справедливо равенство Ь=пТ=1п — ' (Н 56) ос'+1 Величина б называется логарифмическим декрементом колебаний или, короче, логарифмическим декрементолг и часто используется как характеристика диссипативных свойств колебательной системы. Если вычислить работу, совершаемую силой трения за время Т, то абсолютная величина результата определит потерю энергии за один цикл.

Отношение этой потери к средней энергии за тот же цикл также характеризует быстроту затухания колебательного процесса и называется коэффгщиентом поглоигеяия, для которого можно получить следующее выражение: тр == 2аТ = 2б, т. е. коэффициент поглощения вдвое больше логарифмического декремента. Конкретное значение коэффициента поглощения, так же как и логарифмического декремепта, определяется конструкцией, материалом и другими собственными свойствами колебательной системы. Например, в расчетах строительных конструкций пользуются следующими значениями коэффициента поглощения: Материал Сталь Дерево Кирпичная ~Келезобепрокатная кладка тон 0,06 — О,!5 0,18 — 0,30 0,24 — 0,48 0,30 — 0,60 Пример 7.

1гри колебаниях упругой системы обнаружено, что за один колебательный цикл пиковое значение улгеньтается вдвое. Определить логарифлгический декремент и изменение собственной частоты вследспгвие затухания. По формуле (11 56) находим б = пТ = 1п 2 = 0 693, откуда 0,693 0,693 и = = — е' рь — п1. Т 2п Решая это уравнение, находим, что и' весьма мало сравнительно с ра (п~ = = 0,012 рз). Частота колебаний р =- ЗГр' — п' = $l р' — 0,012р' = 0,994р отличается от частоты соответствующих незатухающих колебаний всего на О,бьв. 52 Наряду с величинами 6 и ф в качестве характеристики диссипативных сил используется величина у = б(л, называемая коэффициентом потерь или козффиг4ггенпгом неупругого соггротивления.

Влияние небольшого вязкого сопротивления на частоту весьма незначительно; вместе с тем даже малое сопротивление интенсивно гасит свободные колебания. Это позволяет, с одной стороны, при вычислении собственной частоты не считаться с наличием вязкого сопротивления, а с другой — считать свободные колебания практически исчезнувшими по истечении достаточно большого промежутка вре- Х мени. В рассмотренном выше примере после 10 колебательных циклов пиковое значение убывает приблизительно в 1000 раз. Чтобы построить фазовый портрет х системы с затуханием, нужно рассматривать совокупность уравнений х = ае — "' з[п (р,1 -~- а); х = ае — "' ((р, соз (р„1 + + а) — и э(п (р,1 + а)1 Рис.

! [.20 как уравнение фазовой траектории в параметрической форме. Типичная фазовая траектория изображена на рис. 11.20 (здесь х, и хо — начальные возмущения). Она представляет собой спираль, накручивающуюся на начало координат. Фазовый портрет образуется семейством таких спиралей, окружающих начало координат — особую точку, которая в этом случае называется устойчивым фокусом. Свободные нолебания при сопротивлении, пропорциональном и-й степени скорости В этом случае вместо уравнения (!1.52) получим нелинейное дифференциальное уравнение движения тх+ Ах[х~" '+ сх= 0, которое не может быть решено в замкнутой форме.

Для приближенного решения этого уравнения воспользуемся способом энергетического баланса, который позволит йайти уравнение огибающей (штриховые линии на рис. 11.21), хотя такое решение не может отразить все подробности процесса затухающих колебаний, но такие подробности не представляют практического интереса. Способ основан на равенстве работы силы сопротивления — йх ~ х~" — ' (эта работа, конечно, отрицательная) приращению (также отрицательному) энергии системы. Это равенство записывается для интервала времени, соответствующего одному колебательному циклу.

Конечно, обе приравниваемые величины выражаются приближенно, так как для точного их определения необходимо знать закон движения. 53 Прежде всего найдем приращение потенциальной энергии за один колебательный цикл (рис. 11.21). Потенциальная энергия, соответствующая двум последовательным пиковым значениям а; и а,-,, равна 1 ~ 1 П; = —, са;; П;+, = — са';+в где с — коэффициент жесткости системы.

Следовательно, искомое приращение составляет ЛП; = 2 (%+1 — а,). При умеренном затухании последнее выражение может быть записано проще: ЛП,= —,(а; 1+ а;)(а„,— а;) =са, Ла,, (11.57) где Ла; = а;„— а; — приращение пикового значения за рассматриваемый колебательный цикл. Обозначим через а = а (~) искомое уравнение верхней огибающей (верхняя штриховая линия на рис. 11,21); тогда можно приближенно принять Ла = — „Т, (11.58) где Т вЂ” длительность колебательного цикла, которая приближенно равна периоду колебаний той же системы, но без демпфирования. Окончательно, опуская индексы, имеем ЛП= саТ вЂ”.

(11.59) Определим теперь работу, совершаемую силой неупругого сопротивления — Ахах~" — ' за рассматриваемый цикл колебаний: т = — 1 м' ~ х )" — ' ж = — Й 1 ~ х )" ~' Й~. Здесь начало отсчета времени совмещено с началом цикла. Для вычисления входящего сюда интеграла приближенно примем, что в течение одного цикла движение описывается за- висимостью х = асов р1.