Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 9

(11.60) Тогда х = — ар з1п р1, и мы получим Ч!'= — Иаа+'р"+' ~ ~ з1пр~ ~"+! Ж о или 11à — 1!с!л+! рпЯ (11.61) где величина 5 = ! ) я~п ! !" ~' и ! (11.62) зависит только от показателя степени и: 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4.000 3,500 3,142 2,874 2,667 2,498 2,356 Приравнивая правые части выражений ([1.59) и (11.61), получим дифференциальное уравнение для верхней огибающей; !!а — ча" = —, !и ' (11.63) где коэффициент и+! ч Ь= 2!!с (11.64) зависит только от параметров системы. Обратимся к интегрированию дифференциального уравнения (11.63) и начнем с изученного ранее случая линейно-вязкого сопротивления, когда и = 1. Тогда (11.63) принимает вид (11.65) а выражение (11.64)— Разделяя в формуле (11.65) переменные — йй = — и интеаа а а грируя в пределах от 1 = О до 1, находим 1н — = — Ы, т.

е. ар км а — ае — и — -де 2~п ΠΠ— !!Ж = 55 Полученный для огибающей кривой затухающих колебаний результат соответствует выражению (П.54). Обратимся к случаю, когда и + 1. Разделяя переменные в уравнении (11.63), имеем Интегрируя в пределах от ~ =- О до 1, получаем 1-Л ао! И вЂ” = — И, 1 — и 1 — и откуда ао (11 66) Этим выражением и определяется закон затухания свободных колебаний при любых значениях и, отличных от единицы. Остановимся на двух частных случаях.

1. Случай и =- О '(кулоново трение). В этом случае из выражения (11.66) получаем а= ао — ог, (11. 67) т, е. огибающая имеет вид прямой линии. Согласно формуле (11.64) при и = О т' (11.68) этим выражением определяется темп затухания, 2. Случай и = 2 (гидродинамическое или турбулентное демпао фирование). Из основного выражения (11.66) имеем уравнение огибающей ао 1 + Ьао1 Рис. 1[.22 т. е, огибающая имеет характер гиперболы.

На рис. 11.22 схематически представлены огибающие для случаев и = О; 1; 2. Практическая ценность уравнения (11.66) состоит не столько в том, что с его помощью без труда можно построить огибающую виброграммы свободных затухающих колебаний при известных значениях постоянных 6 и и, сколько в том, что, опираясь на это уравнение, можно вычислить значения Ь и и по опытным виброграммам. Эти постоянные могут быть далее использованы для расчетов вынужденных колебаний с трением.

Свободные колебания при кулоновом трении (точное решение) В случае сухого трения уравнение движения записывается в виде тх + сх — Й =- О, (11,69) 56 причем знак перед последним членом нужно выбирать в зависимости от знака скорости (направления движения). Пусть, например, движение начинается в мгновение 1 =- О, когда х =- а,, х =- О. Тогда в первом интервале движения, пока скорость отрипательна, в уравнении должен быть принят знак минус. В следующем интервале движения, когда скорость положительна, в уравнении нужно принять знак плюс и т.

д. Обозначив х, = Й/с и р' = — с/т, получим уравнение для первого интервала х -~- р'х — рзх = О. Решение уравнения при указанных начальных условиях х = (а, — х„) соз р/ + х,. (11.70) Для скорости получим выражение х = — (а, — — х„,) р з1п р1. Когда аргумент р1 становится равным л, скорость вновь обращается в нуль, т. е. система достигает своего крайнего отклонения по другую сторону от начала координат; это отклонение согласно уравнению (11.70) а, =- (а, — х„,) соз л +- х„= — а, + 2х„ т.

е. по абсолютной величине оно меньше начального отклонения на 2х„,. Если абсолютная величина а, удовлетворяет неравенству с ~а,~ Й (или ~а,~ .>х,), то сила упругости больше силы трения, и система начинает двигаться в сторону положительных значений х. Теперь для второго интервала уравнение движения запишется в виде х + р'х + р'х„, = О. Смещая начало отсчета времени, примем начальные условия: 1 = — 0; х = а,; о = О.

Тогда решение запишется в виде х = (а, + х,) соз р1 — х,. Рассуждая как и выше, получим следующее отклонение: а,= — а,— 2х,, или, выражая а., через а„ а,=а,— 4х,. Таким образом, за один период амплитуда уменьшается на одну и ту же величину 4х; = 4Й/с, т. е. последовательность амплитуд образует арифметическую прогрессию и огибающая кривой х (/) представляет собой прямую линию. Тангенс угла ее наклона 57 с осью 1 равен М((сТ), что совпадает с полученным выше значением по (1!.68).

Вычисления, подобные приведенным, можно продолжать до тех пор, пока соблюдается неравенство ~ а; ~ ) х„. При ~ а, ~ ( х., движение полностью прекращается, так как сила упругости са; будет недостаточна для преодоления силы трения. График колебаний дан на рис. 11,23. Он состоит из отрезков синусоид Ф! с одинаковым периодом, но различной амплитудой. .Гп Две горизонтальные прямые х = — х„определяют зону застоя: если скорость обращается в нуль в пределах этой зоны, то а движение прекращается Рис. 1!.23 (точка 5).

Свободные колебания при гистерезисном трении Выше было пояснено, что рассеиваемая за цикл энергия не зависит от темпа процесса циклического деформирования и ее абсолютная величина определяется формулой (11.51). С другой стороны, изменение энергии системы выражается формулой (11.59). Приравнивая эти два выражения, получаем дифференциальное уравнение для верхней огибающей кривой затухающих колебаний: lг „с~а — —, а"= —.

сТ й Как и в случае неупругого сопротивления, пропорционального и-й степени скорости, решение этого дифференциального уравнения не дает подробного описания процесса затухающих колебаний, но зато позволяет легко найти огибающую. Если обозначить О = Ю~(сТ), то придем к уже решенному дифференциальному уравнению (11.63), но с другим значением параметра Ь. Окончательный результат в данном случае имеет прежнюю форму (11.66); в частности: при д = О И а=а,— Ы=а,— —; сТ ' прип=1 и ц=цое ы =цОе 88 при п=2 аО ао 1+ Ьа,~, М~ ~:Т Обобщение понятия о логарифмическом декременте колебаний Данное выше понятие о логарифмическом декременте можно распространить на любые процессы затухания колебаний, полагая, что во всех случаях логарифмический декремент 6 есть натуральный логарифм отношения двух последовательных пиковых значений.

Обычно это отношение переменно, так что логарифмический декремент не является постоянным числом для всего процесса колебаний, а постепенно меняется. Исключениями являются случаи вязкого сопротивления и гистерезиса (при п = 1), когда для всего процесса колебаний 6 =- сопз1. Итак, примем о =1п а;/а;„. Если затухание умеренное, то отношение а,/а;„мало отличается от единицы и можно принять 1п' — = — 1 = а; а; а; — а~+1 . а1+1 а$+1 аГ+1 следовательно, (11.71) б = Ла/а, где, в отличие от принятого в выражении (11.57), Ла — абсолютная величина разности двух последовательных пиковых значений. Выражению (11.71) можно дать иное толкование. Энергия, рассеянная за один цикл, определяется формулой (11.57); максимальная потенциальная энергия саг П= —.

2 59 Огибающие, соответствующие этим случаям, схематически представлены на рис. 11.22. Важно отметить, что одинаковые огибающие виброграмм затухающих колебаний могут получиться при действии сил не- упругого сопротивления различной природы. Допустим, что при обработке опытной виброграммы (кривой записи колебаний) обнаружено, что пиковые значения убывают по закону геометрической прогрессии, т. е, что огибающая — экспонента.

Отсюда, однако, еще не следует, что затухание колебаний обусловлено вязким трением — тот же характер затухания может быть вызван гистерезисом, когда потери на внутреннее трение совершенно не зависят от скорости. Для того чтобы выяснить подлинную природу сил трения, одной виброграммы недостаточно, необходима постановка некоторых дополнительных экспериментов. Составляя отношение этих энергий, получим величину, вдвое большую, чем (11.71): ЛП/Ц = 2Ли/а.

Отсюда вытекает следующее определение: при умеренном затухании логарифмический декремент есть отношение энергии, рассеянной за один цикл, к удвоенной максимальной потенциальной энергии цикла. При учете выражения (11.58) формулу ([1,71) можно записать также в виде (11.72) Для всех рассмотренных выше случаев справедливо дифференциальное уравнение (11.63).

Пользуясь им, получаем следующую зависимость логарифмического декремента от амплитуды колебании: 6 = 6Та" — '. (11.73) Так, в случае п = 1 т. е. логарифмический декремепт постоянный. При сухом трении (и =- 0) логарифмический декремент возрастает с убыванием амплитуды; б = ЬТ(а. 6 =БТа, В случае и = 2 т. е. логарифмический декремент убывает с уменьшением амплитуды.

Соотношение (11.73) может быть положено в основу экспериментального способа определения параметра п. Колебания груза на сложной вязко-упругой подвеске Во всех рассмотренных выше случаях предполагалось, что подвеска колеблющегося груза состоит из одного упругого элемента и включенного в систему звена вязкого трения (см. рис. 11.17). В этих случаях связь между внешней силой Р, приложенной к системе подвески, и соответствующим перемещением х имеет следующий вид: Р = Ах + сх. (11.74) Здесь с —.