Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 4

ГЛАВЛ 11 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ НЕУПРУГИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ Основное уравнение свободных колебаний тх+сх = О, х+рх=-О, или (11.1) где р — постоянная, зависящая от свойств системы: р=1дт. (11.2) К уравнению типа (!1.1) приводятся многие задачи о колебаниях внешне совершенно иных механических систем; подробно рассмотрим его решение. Решение уравнения. Решение уравнения (11,1) можно пред-, ставить в виде х — С1 я!п р1 ~ С2 соз р~, или в эквивалентной форме х = а з1п (р1+ а).

(11.3) 19 Вновь рассмотрим одномассовую систему, показанную на рис. 11.1, б. Этот простсишии случаи типичен для широкого класса систем с одной степенью свободы без диссипации энергии. Допустим, что возмугцающая сила Р (1) огсутствует, но состояние равновесия каким-либо образом было нарушено и затем система предоставлена самой себе. Происходящее в этих условиях движение и представляет собой свободные колебания. Начальное смещение х, и начальная скорость о, предполагаются заданными (в противном случае движение не будет полностью определено), так что начальное возмущение равновесного положения характеризуется начальными условиями: х = х, и о = о, при 1 = О. В любой момент процесса колебаний на груз действует горизонтальная реакция пружины — — сх; коэффициент жесткости с определяется по известным формулам теории сопротивления материалов.

Дифференциальное уравнение движения (1.2) принимает вид Постоянные С„С, определяются из начальных условии: Ск 0р/Р Ср хр так что х = хр сов о1-'- — ' з!и р/. ~р р (11.4) Для постоянных а и ср из тех же условий получаем а = 1/хсо + ор/р'-, '(11.5) а) к и= агс1д Р ', 0р Здесь а — амплитуда колебаний; а — начальная фаза. Из закона движения (11.3), показанного на рис, П.1, а, видно, что движение представляет собой гармонические колебания.

Повторение процесса начинается после такого промежутка времени Т (периода колебаний), по истечении которого аргумент р1 + а (фаза) увеличивается на 2л: фк р) к р1 + а + 2л = р (~ + Т) + я. Отсюда находим Т = 2л/р. Тогда число колебаний в единицу времени п = 1/Т = р/(2рт). Рис, 11,! Следовательно, р = 2лп. Отсюда ясен физический смысл постоянной р — это число колебаний в 2л единиц времени. Постоянная р называется круговой (угловой) частотой свободных колебаний или просто частотой свободных колебаний. Как видно из формулы (11.2), частота р зависит от параметров системы, но не зависит от характера начального возмущения, вызвавшего колебатсльный процесс; то же относится и к периоду колебаний. По этому признаку частоту свободных колебаний называют собственной частотой, Формуле (11.2) можно придать иной вид, если воспользоваться понятием о статическом перемещении 1„= тд/с, понимая под /„то перемещение конца пружины, которое воз- никло бы в случае действия силы веса тд вдоль оси пружины.

Тогда для собственной частоты получаем формулу 20 и соответственно число колебаний в 1 с где 1'„— в см. Здесь следует отметить, что собственная частота системы не зависит от ориентации оси пружины. В частности, рассмотрим случай, когда пружина подвешена вертикально (рис. П.2, а). Пусть точка 1 определяет положение равновесия груза (рис. 11.2, б).

В этом положении на груз действуют его вес тд и реакция пружины с1„ք— статическое удлинение пружины, соответствующее весу груза ту). Условие равновесия покоящегося груза имеет вид б) в) тд — с~„— О, т. е. с1„ = — тд. (11.7) Если положение равновесия К нарушено и груз находится в движении (например, в точке 2 — см.

рис. 11.2, а), то в текущий момент времени на груз действуют (рис. 11.2, в) сила Рис. 11.2 веса то и реакция пружины с (1„+ у), где у — отклонение груза от положения равновесия. Дифференциальное уравнение движения — с(1„+у)+тд= ту при учете условия (11.7) вновь принимает прежнюю форму (11.1): у + р'у = О. Совпадение дифференциальных уравнений означает, что весь колебательный процесс будет происходить так же, как и в случае горизонтального расположения оси пружины (конечно, при условии, что начальные условия аналогичны); центр колебаний располагается в положении равновесия (точка 1).

Кроме частоты, все остальные характеристики процесса свободных колебаний существенно зависят от начальных условий. Так, если колебания возникают при условиях, когда груз оттянут от положения равновесия на расстояние а, а затем свободно отпущен, то х, = а, и„= О и согласно уравнению (11.4) движение происходит по косинусоидальному закону (см. рис.

11.1, б): х= асозр1. Если колебания вызваны мгновенным ударом по грузу, то начальные условия имеют вид; х, = О, о, = 3/т, где 3 — удар- 21 ный импульс; второе из начальных условий сформулировано на основании теоремы об изменении количества движения. Согласно уравнению (11.4) получается, что движение груза происходит по синусоидальному закону (см. рис.

11.1, в) Я х= — з1п р1, тр х = аз!и (р1+а); о = ар соз (р1 + а). (1!.6) Совокупность этих уравнений можно рассматривать как фазовую траекторию, заданную в параметрической форме (с временем 1 в качестве параметра). Чтобы получить уравнение фазовой траектории в явпой форме, нужно исключить время 1 из системы (11.6); после этого получится — '.,+ '=1, й-+ в; т.

е. уравнение эллипса (рис. 11.3, а). Начальным условиям х = х„о = о, соответствует начальная изображающая точка, из которой начинается движение. Периодичность процссса выражается в том, что изображающая точка будет обегать одну и ту же эллиптическую орбиту. При изменении начальных условий фазовой траекторией окажется другой эллипс; вся совокупность возможных состояний системы описывается семейством эллипсов, вложенных один 22 причем х„„., =- 5/(тр). В случаях, когда одновременно не равны нулю х, и и„ движение происходит по закону (1!.4).

Полученное решение имеет очевидный недостаток: так как не были учтены неизбежные неупругие сопротивления (трение), получилось, что колебания происходят без затухания. Этот недостаток ниже будет учтен и исправлен, однако уже здесь мо кно отметить, что влияние этих сопротивлений на собственную частоту, как правило, весьма мало. Поэтому формула (11.2) хорошо согласуется с опытными данными. Представление решении на фазовой плоскости. В ряде случаев (особенно в колебательных системах) для описания и изучения движения удобно пользоваться фазовой ггловковпгью, т. е, координатной системой перемещепие — скорость.

В каждый момент времени состояние системы характеризуется перемещением х и скоростью и; на фазовой плоскости этому состоянию соответствует изобрамаюигая точка, имеющая координаты х, в. С течением времени изображающая точка будет перемещаться по фазовой плоскости, описывая фазввую траекторию.

В рассматриваемом случае гармонических колебаний имеем в другой !рис. 11.3, б). Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портреиг (фазовую диаграмму) системы. Можно сказать, что параметры системы определяют вид фазового портрета, а начальные условия фиксируют одну определенную траекторию.

Начало координат соответствует состоянию равновесия. Если х, =- О и о, = О, то изображающая точка находится все время в начале координат и никакой траектории не описывает; точки равновесия в« называют особыми. Если особая точка «о' «о окружена системой замкнутых траекторий (как это имеет место в рассма- и « триваемом случае), то она называется центром. Коэффициенты жесткости для раз- ц) личных систем.

Упругие свойства системы в каждом конкретном случае характеризуются коэффициентом жесткости с (табл. 1). Остановимся на случаях 11 и 12. Эти схемы соответствуют условиям, возникающим при вращении консоли вокруг оси, проходящей через центр Ряс. !1.3 тяжести корневого сечения, когда развивается центробежная сила твЧ (в — угловая скорость вращения).

Если ось вращения совпадает с осью у (рис. 11.4, а), то направление центробежной силы остается постоянным и нужно пользоваться схемой 11. Если же ось вращения перпендику- Рис. 11,4 лярна плоскости ху, то центробежная сила должна проходить через центр тяжести корневого сечения (рис. 11.4, б) и коэффициент с определяется согласно схеме 12. Основное уравнение угловых колебаний.