Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 5

Обратимся теперь к системам, содержащим твердые тела, которые совершьпог угло- Таблица 1 Коэффициент жесткости с для некоторых простых систем Схема гмт п)н Коэффициент с Д~4 ЗпРз (а — диаметр сечения витка; Р— диаметр пружины; б — модуль сдвига; п — число витков) Ст + СЗ г сг Стсз С,+С, ЗЕ5 (з ЗЕХ (а+ Ь) азЬз ! 2ЕХ (а + Ь) з азЬ (За+ 4Ь) ЗИ (а+ Ь) азбз ЗЕХ (Ь+ !) Ьз )2Г3 (4Ь -'- 3!) Ьз 24 Продолжение табл. 1 Коэффициент с Схема № пуп 24Е,1 13 (Е3 — жесткость при изгибе каждой из двух плоских пружин) 10 азЕ3 сЬ а1 а1 с1т а1 — зЬ а1 (а = УН((Е3)) 1(сс1сйа1 — зЬ а1) (а = *у И~(ЕГ)) 12 П р и м е н а н и е. В приведенных формулах Е.à — жесткость при изгибе.

вые колебания вокруг неподвижной оси (рис. 11.5). Первая из них (рис. 11.5, а) представляет собой диск, закрепленный па упругом стержне, а вторая (рис. 11.5, б) — плоский, упруго подвешенный жесткий рычаг, имеющий одну неподвижную точку. а) М =1ср, (11.8) где М вЂ” момент приложенных к телу сил относительно оси вращения; 1 — момент инерции тела относительно той же оси. 25 Третья система (рис. 11.5, в) состоит из тяжелого маховика, связанного с осью гибкой спиральной пружиной; эта система принципиально не отличается от первой. Во всех рассмотренных случаях нужно исходить из дифференциального уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: В первой из рассмотренных систем момент М (восстанавливающий момент) создастся силами упругости стержня и равен- — с~р, где с = 61 П - — коэффициент жесткости стержня при кручении (61 — жесткость при кручении; 1 — длина скручиваемого стержня).

Следовательно, согласно уравнению (11.8) — с~р = Уср, т, е. (11.9) где (11. 1О) Дифференциальное уравнение (11.9) имеет основную форму (11.1); отсюда сразу следует, что формула (11.10) определяет собственную частоту колебаний. Если отсчет углов отклонения ~р балки, показанной на рис. 11.5, б, вести от положения равновесия, то малое дополнительное удлинение каждой из пружин при колебаниях запишется в виде а;<р (а; — расстояние от точки прикрепления пружины до шарнирной опоры), а дополнительная реакция пружины— в виде — с,а;ср (с; — коэффициент жесткости г'-й пружины). Соответственно создаваемый одной пружиной момент составляет — с;а,'~р, полный момент М = — ~ с„а;ср = — ~р ~ с;а'; = — сср, (11.11) причем сумма с= ~~ с,а'; служит приведенным коэффициентом жесткости системы.

Подставляя выражение (11.11) в дифференциальное уравнение (11.8), вновь придем к стандартной записи (11.1). Рассмотрим теперь двухмассовую систему ХГ1 на рис. 1.2, особенности которой уже отмечались. Начало процесса колебаний можно представить, например, следующим образом. Пусть на диски действуют две равные и противоположно направленные скручивающие пары, которые в некоторое мгновение (принимаемое за начало отсчета времени) внезапно исчезают. Для некоторого мгновения г ) 0 углы поворота дисков равны ср, и ср„так что относительный угол поворота равен ср, — ср,.

Момент сил упругости вала составляет с (~р, — ~р,) и действует на каждый из дисков так, как показано на рис. 11.6. Обозначив через У, и У, моменты инерции масс дисков относительно оси вала, получим уравнения движения с (Ч'г 71) = ~Л1 с (7~ 71) = 1~7~ Минус в левой части второго уравнения поставлен потому, что упругий момент, действующий на второй диск, направлен по ходу часовой стрелки (отрицательный момент).

Деля первое уравнение на У„второе — на У, и вычитая первое уравнение из второго, получим / с с ~ у + у ) (Ч'3 Я~1) Я~3 р1' Введем в уравнение относительный угол поворота дисков — Тогда уравнение примет прежний вид (см. уравнение (11.9)1, причем собственная. частота (11.12) Рис. 11,6 Рис. 11.7 положения узла колебаний учтем, что в процессе колебаний внешние моменты отсутствуют; поэтому в любое мгновение сумма моментов сил инерции обоих дисков относительно оси вала должна быть равна нулю, т. е. Обозначив через а, и а, амплитуды угловых перемещений, получим ускорения: ср, =- — а,р' з1п (р/+ а); ср,, =- — а.р'з1п (р/-~- а), поэтому 1,а, + !,а, = О, откуда а,/а, = — У,//,, т.

е. отношение амплитуд колебаний дисков обратно пропорцио- нально отношению их моментов инерции; знак минус означает, что отклонения происходят в разные стороны. Из рис. 11.7 видно, что при этом расстояния от узла колебаний до концов вала: 1, 1, а= + 1; Ь= (11.13) В заключение отметим, что совпадение дифференциальных уравнений свободных колебаний для внешне различных систем не случайно. Дело в том, что при малых колебаниях механиче- 27 Результаты не изменятся, если помимо упругих колебаний происходит вращение всей системы как жесткого целого.

При /, со вновь придем к формуле (11.10), полученной для вала, левый конец которого закреплен. При конечных значениях /, и 1, некоторое промежуточное сечение, называемое узлом колебаний, не принимает участия в колебаниях. Для определения ских систем с одной степень!о свободы кинетическая и потенциальная энергия определяются выражениями — — ц'; П =- — сг!'", 1 а 1 где а — инерционный коэффициент; с — упругий коэффициент (приведенный коэффициент жесткости); д — обобщенная координата, отсчитываемая от состояния равновесия системы.

Соответственно, из уравнения Лагранжа (1.3) при отсутствии диссипативных сил вытекает дифферепциальпое уравнение ад+ сд =- О, охватывающее все рассмотренные выше случаи. Пример 1. Определить собственную частоту крутильных колебаний двух- массовой системы (рис.!7,7) при следующих данных; диаметры дисков с(, = 30 см и Не = 20 см; толщины дисков Ь, = 2 см и Ь| = 1,5 см; диаметр вала Н, = 1 см; длина вала 1= 80 см. Материал дисков и вала — сталь (у = 0,0078 кг7смв; О = 0,8 ° 10' кгс/сме). Моменты инерции масс дисков: м~4,р 3 14,304 0 0078 7т=Ьт — ' — =2 ', — -* - = $„262 кгс см с'"; 32 д 32 981 яд4~ "7 3,14 20л 0,0078 32 у ' 32 981 Полярный момент инерции поперечного сечения вала ~г(о ! — Р— ' — 0 0981 см4 32 32 Коэффициент жесткости вала при кручении О 7р 0,8 10'.0,0981 с— — 981 кгс см.

80 С обственная частота по формуле (11.12) 981 (1,262 -)- 0,187) 1,262.0,187 Узел колебаний располагается вблизи большего диска; по (11.!3) 0,187 1,262 0,187 + 1,262 ' ' 0,187 + 1,262 Приближенно можно считать вал защемленным в неподвижном большем диске; тогда по формуле (П.!О) найдем собственную частоту р с ошибкой около 7~4. Основное уравнение для маятника в поле центробежных сил. Рассмотрим диск, равномерно вращающийся с угловой скоростью оз (рис. 11.8). К точке А этого диска при помощи невесомого стержня АВ прикреплен груз В. Пусть маятник АВ отклонен от положения равновесия на малый угол гр. Определим частоту колебаний груза, происходящих около положения равновесия АС. 28 Груз В участвует в двух движениях — переносном вместе с диском и относительном вокруг центра качания Л.

Угол между направлениями ОВ и ОЛ обозначим через ф, расстояние от центра диска О до центра качания А через гс, длину маятника АВ через 1, расстояние ОВ через Е., массу груза В через пг. Тогда Р+1соз <р сои ~р При анализе относительного движения маятника АВ необходимо учесть переносную и кориолисову силы инерции. Переносная сила инерции направлена вдоль прямой ОВ и равна Я + 1 сов гр Р ~7 гп, Я соя ф (11. 14) — РР з!и ~ = т!'гр. Подставив сюда выражение (11.14), получим гпгоЖ ф + ! соз ср) !д ф + гп!2гр = О. (П . 15) Так как х !о ~ь= Я+1~м<р ' Рис. 11.8 где х — расстояние от точки В до прямой ОС, то уравнение (П.15) можно записать в виде со'Рх+ Р<р = О.

(П,16) Если колебания достаточно малы, то можно принять = хЯ, и уравнение (П.16) примет вид вас х+ х=О. Здесь, как и в рассмотренных выше случаях, достаточно довести выкладки до стандартной формы дифференциального уравнения, после чего по коэффициенту при координате (в данном случае при координате х) сразу определяем собственную частоту р = со р'1И. (П . 17) Заметим, что собственная частота пропорциональна угловой скорости вращения диска. 29 Кориолисову силу инерции, направленную вдоль прямой АВ, определять не будем, так как она не создает момента относительно точки А.

Дифференциальное уравнение относительного движсния маятника имеет вид Н айденный результат может быть использован для определения собственной частоты колебаний маятника с двойным подвесом (рис. П.9). Подвес осуществлен цри помощи двух роликов диаметром ~1,, вложенных в несколько ббльшие отверстия диаметром й„которые имеются в теле маятника и вращающемся диске. При таком способе подвеса относительное движение маят- ника (по отношению к вращающемуся - — т — — -- диску) является поступательным и все его точки описывают дуги окружностей одного и того же радиуса.

Этот радиус. равен разности диаметров отверстия и ролика, т. е. 1 == с(, — д, Кроме того, рас1етный размер Й в дашюм случае раРяс. 11.9 вен Л, — 1, где Я, — расстояние от центра вращающегося диска до центра тяжести маятника. Гаким образом, собственная частота колебаний маятника определяется формулой р=О ~/ — 1 Л, Здесь полезно вспомнить, что при выводе формулы (11,17) предполагалась малость отношения смещения х к длине 1 маятника. В рассматриваемом случае расчетная длина маятника мала; это накладывает особенно тесные ограничения на величину амплитуд колебаний маятника, и если отношение х!1 нельзя считать малым сравнительно с единицей, то приходится вообще отказываться от применения линейной теории.

Энергетический способ определения собственной частоты Если не считать простейшей системы, изображенной на рис. 1.1, во всех остальных рассмотренных выше случаях выкладки были доведены только до составления дифференциального уравнения движения системы. После приведения этого уравнения к основной форме в зависимости от коэффициента при координате сразу записывалась формула для собственной частоты колебаний. В некоторых случаях целесообразнее иной способ определения собственной частоты; он основан на простых энергетических соображениях и вообще не требует составления дифференциального уравнения движения.