Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 2

( ) В отличие от выражения (1.1), служащего для непосредственного вычисления х, соотношение (1.2) представляет собой дифференциальное уравнение относительно функции х. Для определения этой функции необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (1.2). После решения уравнения (1.2) по функции х = х (г) находят внутренние усилия, напряжения и т. п. Можно сказать, что в рассматриваемом примере одной функцией х полностью определяется деформированное состояние в любой момент времени. Подобные системы обладают одной степенью свободы. К этому же типу относятся системы, показанные на рис.

1.2. Характерной координатой для системы 1 является ордината у точечной массы т, а для системы 11 — угол поворота с~ жесткого тела (в обоих случаях упругие связи считаются лишенными массы). Системы 1!1 — 71 имеют по две степени свободы. В системе 111 имеются две сосредоточенные массы, и движение системы полностью определяется двумя функциями: у, = у, (1); и, = гг, (г). То же относится и к системе 1$'. Для плоской системы 1/ необходимо учесть возможность перемещения точечной массы в двух направлениях и за координаты удобно принять х — х (1); у = у (1). Особенностью системы 1л1 является конечность размеров груза, связанного с балкой; в этом случае необходимо учитывать инерцию вращения этого груза, так как в процессе колебаний балка будет нагружена на конце не только силой инерции груза, но и моментом сил инерции.

Движение системы характеризуется перемещением у == у (1) и углом поворота ~р = ~р (1). Система У11 имеет три степени свободы, и ее движение определяется функциями х = х (1); у = у (1); ср = ср (1). В системах ИП вЂ” ХП грузы подвешены различно, но способны совершать колебания вдоль одной фиксированной прямой: поэтому независимо от различий в устройстве упругих связей каждая из этих систем имеет одну степень свободы.

Система ХП1 имеет одну степень свободы, если качение не сопровождается скольжением. Система Х1Г представляет собой совершенно жесткую балку, положение которой в любой момент времени определяется одной величиной — углом поворота вокруг неподвижного шарнира; независимо от числа масс и пружин эта система имеет также только одну степень свободы. Система Х1' может совершать крутильные колебания вокруг оси вала и поэтому принципиально не отличается от системы П; если учитывать только массу диска, то движение системы полностью определяется функцией ~р ф. Система ХИ имеет, строго говоря, не одну, а две степени свободы, поскольку ее движение описывается двумя функциями ~р, (1) и ~р, (1), выражающими углы поворота дисков вокруг продольной оси системы.

Однако упругие колебания определяются только одной функцией — относительным (взаимным) углом поворота дисков ~р = ~р, — ~р,; в этом смысле система имеет только одну (колебательную) степень свободы. Той же особенностью обладает система ХГП. Во всех рассмотренных примерах число степеней свободы оказалось конечным благодаря допущениям, что деформируемые части механических систем лишены массы (безынерционные упругие связи), а тела, обладающие массой, совершенно недеформируемы. Иногда в расчетной схеме как бы признается, что свойствами инерции и деформативности обладают все элементы системы, но ограничение числа степеней свободы достигается путем априорного (и в известной степени произвольного) задания конфигурации системы при колебаниях, т. е.

формы колебаний. Так, если принять, что при колебаниях двухопорной балки с распределенной массой изогнутой осью служит синусоида (рис. 1.3). у(х, 1) = а(т) з~п — ' то конфигурация системы в любой момент времени полностью определяется одной величиной — прогибом середины а (г); система имеет только одну степень свободы. Если для той жс балки принять более сложное представление изогнутой оси, например у (х, 1) = а, (1) з1п — ' + а., (г) з1п то положение системы в любой момент времени определяется функциями а, (1) и а., (1), т.

е. система имеет две сгггеггени свободы. Нужно иметь в виду, что хотя с увеличением призна— — — г' —— ваемых степеней свободы к точность динамического исследования возрастает, для практических целей обычно достаточен учет небольшого Рис. 1.3 числа наиболее существен- ных степеней свободы.

В заключение укажем, что в ряде случаев можно получить точное решение задач о колебаниях упругих систем, вовсе не прибегая к каким-либо упрощениям, т. е. учитывать действительную бесконечность числа степеней свободы; правда, это удается сделать только для систем простой структуры, например для балок, обладающих постоянным сечением и равномерным распределением массы.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ Силы, действующие извне на механическую систему, а также внутренние силы, развивгнощиеся в ее связях, весьма разнообразны как по своей природе, так и по той роли, которую они играют в колебательном процессе. Опишем основные свойства различных типов сил применительно к системам с одной степенью свободы. Позиционные силы Позиг1ионные силы — это такие силы, которые определяются отклонениями системы от положения равновесия. Если направление позиционной силы противоположно направлению отклонения, то такая сила называется восстанавливаюгчей.

Можно сказать, что колебательные свойства механических систем определяются наличием именно госстанагливающих сил. Б частности, восстанавливающими силами являются си.гьс упругости. Б простейшем случае, т. е, в линейно-деформируемой системе, восстанавливаюгцая сила упругости пропорциональна отклонению системы, при этом упругие свойства системы харак- 1О теризуются одним числом — коэффициентом жесткости с, который представляет собой коэффициент пропорциональности между внешней силой Р, статически нагружающей систему, и вызываемым этой силой перемещением у, т. е. Р = су. При этом восстанавливающая сила противоположна по направлению внешней силе Р. В иных случаях между силой и перемещением существует нелинейная зависимость, и тогда упругие свойства связей невозможно определить одним числом. В этих случаях указанные свойства определяются упругой характеристикой, представляющей собой функцию Р = Р (у), которую обычно иллюстрируют гра- Ф Р фиком в координатных осях у, Р.

Упругая характеристика строится (расчетным путем или экспериментально) для условий статического нагружения системы. На рис. 1.4 представлены несколько простых нелинейных систем и соответствующие упругие характеристики. Различают мягкие и жесткие нелинейные упругие характеристики. Мягкими называют характеристики с постепенно уменьшающимся наклоном (рис. 1.4, а), а жесткими — характеристики с постепенно возрастающим наклоном (рис. 1.4, б).

В некоторых конструкциях упругие характеристики имеют переломы или разрывы. Так, часть упругой характеристики механической системы, представленной на рис. 1.4, в (система с зазором), совпадает с осью абсцисс. Системе с натягом (рис, 1.4, г) соответствует разрывная упругая характеристика. Для систем, положение которых характеризуется угловым перемещением ~р, упругая характеристика представляет собой связь мсжду моментом Л4„статически нагружающим систему, и указанным перемещением (рис. 1.5). В зависимости от свойств упругих связей такая упругая характеристика может иметь вид любого из графиков, показанных на рис. 1.4 (при соответствующем переименовании осей у, Р в оси ср, М).

11 Наряду с силами упругости восстанавливающими свойствами обладает также сила плавучести. На рис. 1.6 сплошными линиями показаны прямостенное (рис. 1.6, а) и непрямостенное (рис. 1.6, б) плавающие тела в положении равновесия, а штриховыми линиями — — отклоненные положения этих тел. Здесь предполагается, Рис 15 что отклонения представляют собой чисто вертикальные поступательные смещения у. При таких смещениях возникают дополнительные силы плавучести, направленные противоположно смещениям. Если тело имеет прямые стенки, то эти силы пропорциональны смещениям и характеристика восстанавливающей силы— Рис. 1.6 'прямая линия (рис.

1.6, а); для непрямостенного тела характеристика восстанавливающей силы нелинейная и притом жесткая (рис. 1.6, б). Восстанавливающее действие может оказывать сила тяжести, например сила тяжести жидкости в сообщающихся сосудах (рис.!,7, а). Восстанавливающими свойствами нередко обладает момент силы тяжести; наиболее простым примером этого случая служит маятник (рис. 1.7, б). Отклонения системы определяются углом ~р, а мерой восстанавливающего действия является момент 12 силы тяжести относительно оси шарнира.

Характеристика этой системы имеет тот же вид, что и график на рис. 1.6, б, В некоторых случаях восстанавливающие силы имеют смешанный состав. Так, для маятника на рис. 1.7, в восстанавливающее действие оказывают как сила тяжести, так и сила упругости. Рис. 1.7 Характеристики систем, изображенных на рис. 1.6 и 1.7, часто называют квазидардгими, подчеркивая этим родство всех типов восстанавливающих сил с упругой силой. Диссипативные силы При колебаниях механических систем кроме восстанавливающих сил неизбежно развиваются силы трения.