Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 13

Поэтому коэффициенты при а', а', а",... должны быть порознь равны нулю; это приводит к системе х, —,' р'х„= 0; ». х, -~ р'-'х, = — с,х, хс, (11. 109) сх — сх — Зх»х. ~ х,, + р'-'х 2 2 О 1 1 1 Структура полученных уравнений подсказывает дальнейший ход решения: первое уравнение позволяет найти х„после чего из второго уравнения можно определить х,, затем из третьего х,. Примем начальные условия в следующем виде: при ! = — 0 х — а, и = О. 11а основании выражения (1!.107) получим х„(0) + ах, (0) + и'х, (0) = а; х„(0) + ах, (0) + а'х.

(0) — О. где х„, х„х.„... — неизвестные функции времени, подлежащие определению. Кроме разложения (11.107) необходимо также произвести разложение коэффициента р„'-; р« = р' + ис, -1- и'с, — ,' (!! .108) где р' — новая, пока неизвестная постоянная; с,, с,,... — неопределенныс коэффициенты (целесообразные значения их указаны ниже). Подставляя выражения (!1.107) и (11.108) в уравнение (11.106) и ограничиваясь выписанными членами разложений, получим уравнение Чтобы эти равенства были удовлетворены при любом значении а, необходимо одновременное выполнение следующих шести условии: х, (0) = а; х, (0) =- 0; х,(0)=-0; х,(0) =0; хз (0) = 0; х, (0) = О. (11. 110) Решая первое уравнение системы (1! .109) при начальных условиях, содержащихся в первой строке системы (11.110), находим х, = а соз р1.

Подставив это выражение во второе уравнение системы (11.109), получим отсюда определим коэффициент з с,= — — а', 4 (11.112) Тогда решением уравнения (11.111) будет цз х, = С, сов р1 -~ С, в|п р1+, соз Зр1. 32рз После определения постоянных из второй строки начальных условий (11.110) найдем аз х, —, (соь Зр1 — созр1).

Таким образом, в разложениях (11.107) и (11.108) определены первые два слагаемых. Решение, точное до членов первого порядка малости, имеет вид <~цз х — а сов р1+ —, (сов Зр1 — сов р1), х + рзх с а сов р1 аз созз рг з~ з = — (са+ — а'~совр! — — а'совЗр1. (11.111) Предположим, что коэффициент при соз р~ отличен от нуля; тогда решение этого уравнения будет содержать так называемый вековой член вида 1з1п р1, в котором время 1 находится вне знака тригонометрических функций, Таким решением резонансного типа можно пользоваться только при весьма малых значениях 1, поскольку вековой член с ростом аргумента 1 неограниченно возрастает. Чтобы решение было справедливо при любых значениях 1, необходимо исключить вековой член из выражения (!1.111), для чего следует положить з с а+ аз=О причем в соответствии с формулами (11.108) и (11.112) р'= Р2+ — 'яя.

(11.113) Подставим теперь х, и х, в третье уравнение (11.109) и решим его подобным же образом. Это даст третий член разложения— функцию х,, причем величина С2 вновь будет определена с таким расчетом, чтобы исключить вековой член. Опуская выкладки, запишем решение, точное до членов второго порядка малости: з х асоз Рг+ 32 ' (соз 3Р~ сов Рг) + ~2~5 — --, (соз 5Р1+ 3 соз ЗР1 — 4 соз р/)' (11.114) з з'и Р Ро т ~ха + 128 а где а, а, р — постоянные. Подставим это решение в уравнение (11.96). Конечно, тождественного равенства нулю не получится, поскольку выражение (11.115) не является точным решением уравнения (11.96).

Согласно основной идее метода следует потребовать, чтобы равнялся нулю интеграл, взятый в пределах одного периода: 2л/р (х+ / (х)1хй = — О. (11. 116) о Подставляя сюда выражение (11,115), получим 2~т/р ~ — ар' сов (р1 + я) + ~ (а соз (р~ + а)) ~ сов (р~ + а) Ж = О, (11.117) 79 В случаях иных нелинейных характеристик процесс строится аналогичным образом, но выкладки обычно оказываются еще более сложными. Метод, очевидно, приспособлен лишь к характеристикам, которые описываются единым аналитическим выражением, и непосредственно не может быть использован в других случаях (например, при ломаных характеристиках).

Отметим важные особенности полученных решений: колебательный процесс описывается не одной гармоникой (косинусоидой), а суммой гармоник, при этом последующие гармоники имеют сравнительно малые амплитуды и поэтому менее существенны; конечно, частота основной гармоники р зависит от амплитуды колебаний а, Метод Бубнова — Галеркина. Согласно этому методу заранее предполагается некоторая определенная форма искомого решспия. В простейшем варианте решение уравнения (П.96) разыскивается в том же виде, что и для линейных систем: х =- а соз (р1 + а) „ (11. 115) или — тора + ~ ~ 1а сов (р1 + я))соэ (р~ -~- к) ~й = О. о Обозначив теперь р1 + а = ф, получим окончательную формулу для квадрата частоты р'= — 1 ~(асов осоьфй~. о (11.118) Иллюстрируем применение этой формулы на примере рассмотренной ранее кубической характеристики 1 (х) = Роох + Ях'.

В этом случае 1'-(а соз ф) = аРо соз 'ф + а а' соэ' ф, и по формуле (11.118) имеем эя 2 р'= ~ (аросоэ ф+ оса'соэ'ф) соэфй~. о Так как ~ сов'фДф=п; ~ соа4ф~(ф= — л, то р' = р„'+ — ка'. х = а1х1 + а2х2 + задаваясь видом функций х1 (г), х, (1),..., и затем требовать обращения в нуль интегралов типа (11.116); т 1~х 1 ~(хпх;а=0 0=1,2; .). о Этот результат полностью совпадает с формулой (11.113), найденной по методу малого параметра. В приведенных примерах использования метода Бубнова— Галеркина движение задается в виде выражения (11.115); при этом с самого начала исключаются высшие гармоники. Однако метод Бубнова — Галеркина позволяет строить и высшие приближения.

Для этого нужно искать решение не в виде одной функции (11.115), а в виде функционального ряда Способ гармонической линеаризации (простейший вариант метода Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова). Представим уравнение (11.96) в виде х -1- р2х = р2х — ~ (х), где р пока неизвестная частота колебаний. Подставив в правую часть приближенную форму решения х = а соз (р1 + а), получим уравнение вынужденных колебаний линейной системы х+ р2х = ~(~) (11.119) где т. е. 2л! р ~ар"'сов(р1+ а) — Дасоз(р1+ а)) ~~ сов(р1+ а) сй = О.

о Последнее соотношение совпадает с основным уравнением Бубнова †Галерки (11.117). Способ прямой линеаризации (случай симметричной характеристики). В основе способа лежит замена нелинейной характеристики 1 (х) линейным выражением ~, (х) = р'х со специально подбираемым коэффициентом р'. Уклонение заменяющей характеристики (11.120) от заменяемой характеристики ~ (х) зависит от координаты х (рис. 11.30, а): г (х) = 1' (х) — р'х. Оно может быть подчинено требованию минимума интеграла й 7= ~г2 1х, о 81 6 я, г. пановко Е (1) = ар' соз (р1 + а) — ~ [а соз (р1 + а) 1 представляет собой периодическую функцию с периодом 2пlр.

Разложив Г (1) в ряд Фурье, получим Р (1) = а, + а, соз (р1 ~- а) + а~ соз 2 (р1 + а) — '- ° ° ° Если коэффициент а, будет отличным от нуля, то слагаемое а, соз (р1 + а) послужит причиной появления векового члена в решении уравнения (11.119). Для исключения векового члена необходимо положить равным нулю коэффициент Фурье а,: г а, = — ~ Г (1) сов (р1 + а) й = О, 2 о Рис. !!.30 самом же деле в задачах о колебаниях более существенны уклонения г при больших значениях координаты х, поэтому естественное рассмотрение «взвешенного» уклонения гх =- [!" (х) — р'х1 х. Тогда задача сводится к минимизации интеграла а — ~ 1[! (х) — р"х! х!» дх, т. е.

к определению р' из уравнения (П.121) Этот подход предполагает, что ошибка, вызываемая уклонением, пропорциональна соответствующему значению координаты. Из уравнения (11.121) находим д а р' = —, 1 ((х)х'Йх= —;1((х)х~йх. — а о (11.1 22) После того как параметр р" найден, задача сводится к известному линейному уравнению х+ р'х= О, заменившему заданное нелинейное уравнение.

Отсюда непосред- ственно видно, что параметр р' представляет собой квадрат ча- стоты свободных колебаний. выража)ощего интегральное квадратичное уклонение г (х) во всем интервале изменения координаты х. Этот интеграл, очевидно, зависит от выбора параметра р', поэтому минимизация достигается Н определением этого параметра из уравнения —.--= О. 1 (Р') При таком подходе равные уклонения г принимаются в равной мере важными независимо от значения координаты х.

На ~ (х) = рох + ах'. Вычисляем По формуле (11.122) получим р" = р~~+ ая . (11.123) Сравним точность результатов, получаемых различными способами в частном случае, когда р, — О, т. е. 1" (х) =- ах'. По формуле (11.123) р = 0,845а ~Га. По формулам (11.113) и (11.118) в первом приближении р = 0,866а 1' а. По точной формуле (11.102) р = 0,847а 1''а. Способ прямой линеаризации (случай несимметричной характеристики). Если характеристика несимметрична (рис. 11.30, б), то при начальном отклонении а, наибольшее отклонение в другую сторону будет а„причем в общем случае а, + а,. Связь между этими наиболыпнми отклонениями определяется формулой выражающей равенство потенциальных энергий систем в обоих крайних положениях.

Среднее положение, около которого совершаются колебания, смещено от начала координат влево на отрезок Л = (а, — а,)'2. Данному отклонению а, соответствуют вполне определенные отклонения а, и смещения центра колебаний Л. Заменяющая линейная характеристика должна быть проведена через центр колебаний; ее уравнение (х) = р2 (х -1 — Л), Образуем, как и раньше, уклонение >.