Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 14

= ~(х) — р2(х+ Л), Определим в качестве примера частоту р по формуле (11.122) для рассмотренной выше характеристики а вызываемую им ошибку будем считать пропорциональной величине х + Л. Тогда минимизации подлежит интеграл а, у = 1 я и — ~' ~х ~- лп ~х ~- лн' ~ — а. Решая уравнение получим а, р'=,~ ~(х)~х+Л)'Нк. Введем переменную х, = х + Л и полуразмах колебаний (или амплитуду колебаний в эквивалентной линейной системе) а = = (а, + а,)/2. Тогда выражение а г Р2 =, 1 ~ (х1 — Л) хз ДХ1 — а (11.124) р'= —,.- ~~(т)~' И 0 (11.125) где а — амплитуда угла поворота. Для муфты с натягом (см. рис. 11.25, б) вычисление по формуле (11.125) дает Р У 4сга (11.126) где 1 — полярный момент инерции системы.

Сплошная линия на рис, 11.31 выражает зависимость а (р'), соответствующую формуле ([1.126). Штриховой линией показана та же зависимость при большем значении усилия Р,. Величина представляет собой формулу для квадрата частоты свободных колебаний. Конечно, формулы (11.123) и (11.124) справедливы не только в случаях, когда характеристики описываются аналитическими функциями. Ими можно пользоваться и в случаях, когда нелинейные характеристики имеют разрывы или переломы (в частности, кусочно-линейные характеристики). Рассмотрим приложение формулы (11.123) к муфтам, показанным на рис. 11.25, б и в. Обозначив через ср угол взаимного поворота полумуфт, получим (11.122) в виде муле (11.125) .и. 1+ 1 ~д, ° ~ ~Г„ 7 сит'(1 р Рис.

1!.32 Рис. 11.31 Зависимость а (р'), соответствующая этой формуле, показана на рис. 11.32 сплошной линией. Штриховая линия соответствует иному (большему) значению с~,. Величина ~''слг'/1 есть собственная частота соответствующей линейной системы (<р„= О). 7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Простейшая система Составление уравнений задачи.

Как указывалось выше, для составления уравнений движения могут быть использованы основной (уравнення Лагранжа), прямой и обратный способы. Иллюстрируем их применение на простейшем примере двухмассовой системы (рис. 11.33, а), и которой с, и с., — жесткости пружин; т, и и, — массы грузов; х, и х, — перемещения грузов. Основной способ. В процессе колеб;ший в пружинах развиваются усилия У, = с,х, и У, = с, (х, — х,), поэтому потен. циальная энергия системы выражается в виде П ~~Р,' , ~а (ха - - «,)' 2 Кинетическая энергия системы составляет Эти выражения должны быть подставлены в уравнение Ла- гранжа (1 = 1, 2).

(11.127) ' дТ ~ дТ дл; ~ 85 1lспгМ есть собственная частота при Р„= 0 (в линейной системе). Для муфты с зазорами (см. рис. 11.25, в) соответственно фор- Прежде всего образуем соответствующие производные: дТ . с~ ( дТ ' Х1 '1,йх1 1 дТ . д ( дТ ' дП дп — = С1Х1 — С1 (А1 — Х1), — — — = С2 (Х2 — Х1).

дх, дх2 В соответствии с этим уравнения (П.127) принимают вид гп1Х1 + с1х1 — с~ (х~ — л 1) = О; (1!.128) т2-Х2+ с2 (х2 — х.) = О Прямой способ. В процессе колебаний на первую массу действуют сила натяжения первой пружины и сила натяжения второй пружины, причем их проекции на Ф~ ' '~ ось х равны с1х1 и с2 (х, — х,).

Уравнение движения первой массы имеет вид — С1Х1+ С, (Х~ — Л1) — 7И1Х1. (11. 129) Н а вторую массу действует только сила натяжения второй пружины, имеющая проекцию — с, (х, — х,); уравнение дви- жения 11 111 т1К1 — с., (х, — х,) = т,х,. (П,130) Рис. 11.33 Х вЂ” УП Х1 — 171. Х 1 2 '1 =— с (11.131) перемещение второй точки (равное общему удлинению обеих пружин) (1! .132) С1 ' С, 86 При большом числе последовательно расположенных масс каждое из уравнений будет содержать не более трех неизвестных координат, так как силы упругости пружины, действующие на 1-ю массу„полностью определяются смещениями х; „х, и х„, (рис. 11.33, б).

Обратный способ. Рассмотрим безмассовую систему двух пружин, нагруженную силами инерции (рис. 11.33, в). Первая пружина нагружена силой — т1х, — т,х,„а вторая — силой — тх,. Перемещение первой точки (равное удлинению первой пружины) х, = а, з1п (р1-' ,а); ~ х,=-а.,в1п(р!+и). ~ (11.

133) Эти функции еще не представляют общего решения задачи, но дают возможность его построить. Подставив выражения (11.133) в уравнения (11.129) и (П.130), получим — с,а, + с., (а, — а,) = — >п,а,р-'; ~ — с, (а — а,) = — т,а,р'. (П. 134) В этих уравнениях содержатся три неизвестных: амплитуды а,, а, и частота р. Конечно, из двух уравнений найти три величины 87 Сопоставляя полученные уравнения, можно отметить следующее. Полное совпадение уравнений (!1.128), полученных по основному способу, и уравнений (П.129) и (П.130), полученных по прямому способу, не является случайностью. Оно имеет место всегда, когда обобщенные координаты выораны так, что выражение кинетической энергии не содержит произведений скоростей (в данном случае произведения х,х,).

Если обобщенные координаты выбрать с таким расчетом, чтобы выражение потенциальной энергии не содержало произведений х,х, (в нашей задаче это не было достигнуто), то уравнения, получаемые по основному способу, совпадут с уравнениями, составляемыми при помощи обратного способа. Хотя система уравнений (11.129), (11.130), конечно, эквивалентна системе уравнений (11.131), (П.132), однако при увеличении числа масс эти системы неравноценны в вычислительном отношении. Выше указывалось, что если иметь в виду механические системы рассмотренного типа, то независимо от числа масс прямой способ будет приводить к уравнениям, каждое из которых содержит не более трех неизвестных функций.

В то же время уравнения, составляемые по обратному способу, будут прогрессивно усложняться, так как в каждом из ннх будут представлены все а искомых функций задачи. По этой причине прямой способ всегда предпочтительнее для анализа колебаний цепных систем рассмотренного типа. В других случаях большие удобства может дать применение обратного способа (как, например, при исследовании изгибных колеоаний балок с несколькими массами). Решение уравнений движения для простейшей системы. Продолжим рассмотрение системы с двумя степенями свободы (рис. П.33, а). Это позволит простейшим образом обнаружить основные особенности колебаний систем, имеющих несколько степеней свободы, в частности существование нескольких собственных частот.

Попробуем удовлетворить уравнения колебаний (11.129), (1!.130) функциями нельзя; однако уравнения (11.134) позволяют довести до конца определение собственной частоты. Находим из первого уравнения отношение аг с1+ сг — тгР (П.135) то же отношение из второго уравнения П~ с2 аг С2 т2Р (11.136) Приравнивание выражений (11.135) и (11,136) приводит к частопгногггу уравнению с, + с.,— т„р' с, с с, — т,р' содержащему единственную неизвестную — частоту р. Частотное уравнение (11,137) может быть также получено иным путем.

Система уравнений (11.134) может быть переписана в виде (е, + с.г — т,р') а„— с,а, = 0; ( с2ад + (е2 — агар ) а2 = 0 ° с, ~- с.,— т,р' — е2 — О. — с, с,— тр (11.138) Развернув определитель, придем к уравнению (11.137) или, продолжая выкладки, к уравнению (11.139) Для квадрата частоты получаем два вещественных и положительных решения: 1 г' с,+с, 2 (, т 2 1 г' сг+сц т (11.140) Здесь отчетливо видна однородность системы уравнений относительно амплитуд а, и а,.

Однородная система уравнений удовлетворяется нулевыми корнями а, =- а, = О. Это — тривиальное решение, которое в нашей задаче означает отсутствие колебаний. Однако в одном исключительном случае возможно нетривиальное решение (а, с 0; а,+ 0) — при равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов системы: массе (подобная задача возникает, например, при анализе колебаний артиллерийских систем после выстрела). ~ри помощи выражений (11.145) получаем: а„з1п и, + а„з1п и, = О; ~а~т 51п <у ~ ~ 'к~ ~а~~ 51п с~ 2 = О; а~~р~ соя я~ —, а~2р~ соз я~ = 0; х~~а~яр~ соз я~ + х~~р~ соя я2 = — ор.

Отсюда находим ~~> . 1 . ~Ъь, а,=и,.=О; а„= — —; а,2 — — °вЂ” р, х„— х.„' р., х.„--- х,, Величины р„р„х„и х„известны; для их вычисления должны быть использованы формулы (11.141), (11.143) и (11.144), Таким образом, в рассматриваемом случае реализуются обе колебательные составляющие, входящие в выражения (11.145). Искусственным подбором начальных условий можно добиться одночастотности колебаний, например, сделать так, чтобы а,,. = О.

При этом колебания описываются одной гармоникой: х, = а„'1и (р~1 + с~,); х, = х„а„яп (р,1 + с~,). Так как коэффициент х2, не зависит от начальных условий, то рассматриваемые одночастотные колебания характеризуются вполне определенным (т. е. зависящим только от параметров системы) отношением перемещений, которое остается неизменным в процессе колебаний. Это отношение определяет первую собственную форму колебаний. Если начальные условия таковы, что а,, = О, то колебания будут также одночастотным, по с частотои р,. х~ = аыз1п (Р4+ М; х~ =- ~~~а~~ 51п (ра1+ ~~) определяет вторую собственную причем отношение амплитуд х„ форму колебаний.

В частном случае, когда с, = мулам (11.140) находим с З вЂ” 1'5 Р~ = — ' с2 — с; ш~ — — 01~ —" 1и, по фор- с 3 -~- $' 5 р2 т 2 и по формулам (11.143) и (11.144) получаем х„=, =1,618; х... = — = — 0,618. 1+$'5 1 1 5 При первой собственной форме колебаний обе массы движутся в одном направлении, причем амплитуда колебаний второй массы болыпе амплитуды колебаний первой массы. Второй собственной форме колебаний соответствует движение масс в противополож- 90 ных направлениях; амплитуда колебаний второй массы меньше амплитуды первой массы.

Еще раз подчеркнем, что для реализации собственных форм в чистом виде необходим специальный выбор начальных условий. Ортогональность собственных форм колебаний. При колебаниях системы по первой собственной форме наибольшие отклонения равны а„и а„; этим отклонениям соответствуют силы инерции т,а„р1 и т2а,,р1'.