Бабкин А.В., Селиванов В.В. - Основы механики сплошных сред (Том 1), страница 3

Так,суммированияправилоA.22)выражениеформальнобытьможетвидевпредставленоили3drridx1=r2dx2+Использованноекаком-либоA.23)следующимодин(одинразпочтопредполагается,внизузнакназваниеdx*дифференциалтрехсуммусоответствующейСdx{)(гг=значенийже•в(индексслагаемыхгdxj)(tj48(г,-=гTj) dx{dxj.A.24)содержитвизменяетсявиде•записидевятисуммуотпределах1доизменениесоответствует3,иjиндексапределах).A.25)выражениикаждыйиндексыизбазисныхпроизведениескалярноеTi-Tjиндексами,суммированиивкраткойиндексаОбозначимВсобойпредставляетопределяетсяопредставленоA.24)изтолькоозначают.дифференциалаисоглашениябытьможетСоотношениеэтихбыкоординаты.(dlJв.которыхбазисаосновногоиспользованиемA.21)каждому—гизкакойвыражениясуммирования,dx*rj.=каждоевектораНобуквой.радиус-вектораслагаемых,произведениемвыражениеdxJtjвыраженииИндекслюбойиндекс=жетомсуммирования.обозначенГ{=чтото,этомприиодномвобозначатьсябылниdrвсуммированиепространства;индексаможетсуммированиятипатопроизводитсядваждыноситбуквойвопускается.Встречающийсяиндексесливстречаетсявверху),мерностьюсуммированияA.23)образом:индексжеразиндексуэтомуdxl.r,=правилототодиниопределяемыхпределах,иdx%r,соотношениивыражениидважды^=формулируетсявЭйнштейнасуммированияr3dx3+которыхA.25)gij.=гвекторовипринимаетjсвободнымиявляютсязначенияот1до3.Следовательно,соотношенийдевятьСA.25)равенствоA.25)видевпредставленообразом,х%координаткоординатмежду119ijугоднокоэффициенты(см.чтосвязаносri'Tjбазиса=образуетматрицуМетрическаякоординат.симметричнойматрицейметрическаяхарактеризуетсяслучаеVQ-\Важнымчастнымявляютсякоординатныевзаимноперпендикулярныортогональностиметрическихив023013023033любойкоэффициентов(L27)JJсистемпространствавзаимноизвекторовg±jV11координат,точкебазиса.основногобазисныхпкриволинейныхследовательно,а-|022системыкоторыхвекторыQп012случаемперпендикулярны,Q-\-гортогональныелинииgji,величинами:различнымикоординат=основногоматрицаобщемвкоординатgijумноженияскалярногоПоэтомуТ{.девятиметрическуюсистемыявляетсяrjскалярноеСовокупностьбазиса.коммутативностьюсистемышестьюкакопределяемые11базисаосновногопостоянныеэто—g{jрасстоянияточками.g±jA.25))базиса11 g+jвекторовблизкимиосновногоосновногоматрицадифференциаловквадратвыражающаякоэффициентовметрических11A.26),векторовсистемойсотносительнопространства,произведениеA.26)пространстваскольметрикикоэффициенты=д^AхЧхГквадратичнаядвумяМетрическиекоординатбытьможетпространстваметрикаестьформасистемысодержитA.24)соотношениеметрики(dlJТакимформетипаобозначенийучетомкраткойвотличнымиВвидувзаимнойдевятисовокупностиотнуляявляютсялишь49трикоэффициента,метрических(ггиндексыгj•0=метрическаяприсистемыкоординатфгj•гприj).=ПоэтомуортогональнойтолькоототличнымитремядиагональнойявляетсяиОбазисахарактеризуетсявеличинаминуляг,•основногоматрицаодинаковыеимеющихф j,гматрицей:A28)Отметим,образомчтодальнейшемвбудутортогональныесистемыортогональнымиявляютсяпрямоугольная,главнымиспользоватьсяВкоординат.рассмотренныесферическаяицилиндрическаячастности,декартоваранеесистемыкоординат.ДляортогональныхметрикисистембудетпространстваA.26)выражениекоординатсуммупредставлятьтрехслагаемых:(dlJОтсюдаgu{dx1)=+g22(dxz)способвытекаеткоэффициентовкоординат.расстояниябазисаскольдвумямеждудифференциалыдифференциаловкоэффициентов.метрическихкоэффициентовбудутВивыразитьквадратточкамичерезпризначенияопределятькачествепримеразначениябазисацилиндрическойквадратахметрическихнайдемосновногоg+jпрямоугольнойсистемахКоэффициентыкоординат.метрическихблизкимиугодноA.29).ортогональныхвнеобходимоэтогодгзЫх6)значенийнахожденияосновногоДля+системдекартовойдля(рис.координат1.36).Вх2=декартовойх3у5точкамиz)=(dxJсистемерасстоянияквадратвыражается(dlJ50прямоугольной=+(dyJ+(dzJ=+(dx2)х,=каккоординат(dx1)иблизкимидвумядифференциалычерез(х1координатмежду1.35+(dx*).Рис.ИзэтогосравнениядекартовойкоэффициентыбазисаВ=#22#зз-цилиндрическойz)=длявыражениеОтсюдасцилиндрическойучетомсистеметретийкакиТеперьнабытькоэффициентовA.29)два#22#33основании#11величинами,отточкикоординатвеличиной,т.е.С1-31)вышерассмотренныхгеометрическийосновногов=двухустановленвидкоэффициентазависитразмерной=чтометрическихбезразмерными0,—+получаем,коэффициентхпринимаетr2(dey+г,=пространства(drfявляется(а;координатпостоянными#22можетA.30)метрикикоординатпространстваметрическихбезразмерными=выраженияявляются9ззпримеровметрическиеявляютсясистеме=тогдачтоследует,координатт.е.#11иA.29)формулойсистемеосновноговеличинами,а;3свыраженияпрямоугольнойв1.36базисасмыслсистемыкоординат:51коэффициентыметрическиепропорциональностивпрямоугольнойх2=метрическиеВж3у,z=х1угловаях3базисаосновному)естьг2,г3),каквремякоординатвсданнойг3векторовтрехсовокупностькоторые(поВзаимныйсистемывзаимосвязаныA.32),определению(г{)основногоивекторамиснуль.основного0приiф j.базиса.обусловленобазисныхпроизведениеединице;свекторовA.32)базисаj,произведениебазисовравноОпределениевзаимного=индексамиперемножениявекторамгскалярноебазисныхявляетсяпри(W)6?:одинаковыми1скалярноевзаимногоКронекерасимволавекторовиндексамиразнымипозволяетпостроитьизвестнымпосовокупностьНапример,длятрехизпервоговекторовбазисаг1-ri^l,52размернойтовсоотношениемСогласновекторовявляетсяСогласнокоординат.базиса.базиспространстваосновноговзаимногосистемывзаимногок(илиг2кактогдабезразмернымиявляютсябазисотношениюг1,радианах.длины,квадратакоэффициентыточке=вA.31)).ВзаимныйМетрические#22коэффициента(см.дведлины,размерностькоэффициентдругихтолькоизмеряетсяразмерностьюя,=безразмернымиимеютвх1поэтомукоординат—декартовойкоординатытридлины,являютсях2свеличинамиz=метрическийвеличинойрезультатомразмерностькоординатаэтомузначениемкоординатимеюткввсесистемеикоординатДействительно,A.30)г=соответствиеквадратовсистемекоэффициентыцилиндрическойкоординатывекторовприводящиеданнойспространствав(размерностидлины).квадратаразмерностидваметрикикоординатразмерностивеличинами.выражениикоординат,системойкоэффициентыестьr1-r2=0,г1^3=0.A.33)Какизследуетбазисаг1долженГ2ибазисабытьдолженсоотношений,этихбытьСледовательно,г^.скалярногоA.33):отношениюкбазиса7*1т»1тпостроенногосистем(?»2котороегз)определяетсямодулейобратноДляопределяетсявекторовгг.коэффициентовпоосновногопроизведениебазисныхметрическихпервоготгдегз,параллелепипеда,базиса.смешанноеX2извекторовобъемуравновекторахпроизведениемЗначение1.=основногокоординатопределенияXгз)Xгпроизведениюгз),Xт(г2=произведениюсмешанному[г2•наортогональныхвекторт•основноговекторамг1векторномумножителясоотношениявзаимноговекторобоимортогоналенколлинеарензначениепервыйСучетомA.25)базисаосновногополучим<(г2г\г3)X|н|=\т2\•-\Ы=г3)гдедA.28)системымножительm1/у/д,г1второйопределяютсятретийи(г2векторыXобразом,первыйнайтипозволяетчто=матрицыТакимкоординат.—базиса:взаимноговекторметрическойдетерминант—ортогональнойдляскалярныйиI II I g+jdet==т$\Iу/д.Аналогичнобазисавзаимногог2 2г3.УточнимгеометрическоепредставлениевзаимногоВбазиса.общемслучаенеортогональнойкриволинейнойсистемывекторыГЬггнеявляютсяортогональными,взаимногосовпадаютбазисаосновногоГ2,1.37)(рис.координатавекторыг1,базисасг2,г3неодноименнымиРис.1.3753(имеющимиВбазисапоодноименныевекторынаправлению,могуткоординатперпендикулярны,базисоввзаимногоинесовпадатьпосовпадаютдекартовойвсистемевекторыкоординатбазиса,взаимноговпостроенныессоответствииA.32),определениемснаправлениюимодулюпосовпадаютвекторамиединичнымиг3Метрическиекоэффициентывводятсябазисакаксвеличины,образуеттакдевятиметрическуюже,ипроизведениемт.е.rl.rj.=A.34)gl*I I g%J 1 1коэффициентовбазисавзаимногометрическаясистемывзаимногоскалярнымметрическихматрицукакбазисавекторов,базиса,основногоматрица,котораяявляетсясимметричной:[{ди(И)"Дляявляетсяортогональнойсистемыд12»229™координат9й))»»9*4)метрическаядиагональной:(И)54IU13#И711-оо===fc.векторовgtjСовокупность=взаимногоиспользованиемопределяемыебазисныхсоответствующихг3=г2г,=координатг1базиса:основного1.381.38).(рис.модулюНаконец,прямоугольнойРис.модулю.системывзаимноосновногонопонинаправлению,криволинейнойбазисаосновногог1)иrjнапример,ниортогональнойслучаевекторыпоиндексы,одинаковыеосновноговекторамиО,22О•матрицаJ,Междувзаимногосуществуетвывода:дцпрямоугольнойсистемебезВобразом,(дцкоординатдуг=базисасистемекоэффициентов,"9221,=В1/г\=533Ij,Такимсоставляющиххарактеризуетсяосновнойсоставляющихвзаимныйматрицами11д%j\системадевятибазис,базис,1,I Ig*JметрическихметрическуюединичнойвкоординаттройкойтройкойаI Iвектороввекторовтремятакже,11значенияобусловливаютсядиагональнойявляетсяобразом,A.32),'значениямиобразуеттипакотораяA-37)vг/j.приСовокупностьсмешанногокоторыхвзаимному:базисад\Ь\.Кронекеракоэффициентовк—взаимногокоэффициентовметрическихсимволовскалярныеизодинОопределениютиподинкоэффициентыкаквторойаA.36)ещеметрическиевекторов,базису,основномуСогласног2)=отхф].0,=определяютсябазисныхдвухк#22отличаютсясуществует—которые^1,чтокоэффициентовтипа^произведения1,=базиса=отметим,смешанного#зз=базиса:заключениеметрическихпространства1)=координат(дивзаимногоосновногоg\#зз—системыкоординаткоэффициентыметрические11приведемдекартовойвзначения:цилиндрическойматрицуматрицей:икоторуюТакимвзаимногоследующиепринадлежитосновноговзаимосвязь,1/дгг.—коэффициентыметрическиеимеюткоэффициентамиметрическимибазисов5^ II>даннойточкет\,г%,т*з,г1,г2,г3,метрическимикомпонентамикоторых55являютсякоэффициентыметрическиебазисов,такжеаосновногокоэффициентыметрическиевзаимногоисмешанноготипа.Преобразования1.3.2.Прианализеотмечено,преобразованиятаксистемекаквеличинытакжесистемыдругой)Покажем,чтокоординаткописаниядвиженияизменяютсянет.е.однойотпереходепри(придругойвекторныепреобразованияотносительноинвариантнытого,прямоугольной,среды.координат,системыотзависятнекакой-тоилисплошнойдвижениезначения(декартовойсферическойрассматриваетсяобъектыявляютсятензорамиихкоординатцилиндрической,указаннымматематическиеПростейшимитензорами.какойкотносительноТакиевеличины,былосредпредъявляемоеинвариантностькоординат.скалярныевих—системысплошныхтребование,основноеназываютсяобъектовматематическихмеханикиаппаратаобъектам,векторовхарактераматематическогочтокоординатбазисныхиточкинеизменностиотсче-та).ДлянекоторуюсистемусистемуВыберемкоторойг,средыкоординату3координат(у1краткостисистемукоординату3точексуществуеткаждаяиз56г,у2, у3), например0, у3у2(у1,——новой.пространстватрехкоординатиz).движенияописаниялюбаясистемадругаясистемахгж2, ж3Будемчто=дальнейшемвстарой,ижг(у-?),зависитточкуточкиназыватьПредположим,встаройж1,Мточкецилиндрическая=хгвзаимосвязь:кДлявыбранакоординат—близкую1.39).бытьz).=положениеисходнойможетж3у,=координатугодно(рис.drдекартовуж2ж,пространства,началасколь=относительновекторомкоординатикоторойположениесплошнойкоординатами0точкиотносительнохарактеризуетсярадиус-векторомхарактеризуетсяМточкунапример(ж1координатпроизвольнуювведемсредыж2, ж3),(ж1,хгкоординатпрямоугольнуюMi,сплошнойдляасистемумеждуновойсистемаху3у-7 (ж1),—оттрехт.е.координатРис.У1? У2-> 2/3связаныкоординатуrsin#,=zВ=какхгпоххквновойдгПрикоординатвектораdrвекторакоординатбазисаосновногоу3хх)координатданнойкбазисныхк(гу)'=суммабудетпроизведенийВбазисаосновногобазисаосновного(векторынаприбазиспространства.векторы(векторыдг/ду3Несмотрявекторовдругой,dy3,зналенияизменятьсятакжеаточкедг/дхгу3).координати=ккоординатсистемыобразующих.основнойA.20)ггстаройбудут(см.базисаосновногоотdx%компонентамиявляютсявекторамвекторов,вотdrвГ{dx\т{—dxlотопределениемизменятьсясистемеdx%переходесистемекоординатс•—гдхгтрехсистемысистеме=посовокупностьсоответствиибазисаосновноговекторовразложенииA.23)).компонентизменяться ибытьможетвекторамкоординатdrA.22)в,cosкоординат:дифференциалыиdrвекторпроизведенийсуммаdrвектораг=z.дифференциаловгдесистемаххсоотношениями:разложенияМточкецилиндрическойикоординатвидеточеккоординатыизвестнымисистемевпредставлениНапример,прямоугольнойнаоборот.идекартовойвпространства1.39переходебазисаосновногоизменениебудутввкомпонентоткомпонентоднойсистемывектора57инеизменной,т.е.(какdrвекторостаетсяобъект)математическийпреобразованияотносительноинвариантнымбазисаосновноговекторовсоответствующихявляетсясистемыкоординат:drназваниеСогласнотрехкоординату1уV.=х\КомпонентыдифференциалыЭтивыраженияу2отвновойсистемевсистеме.координат(формальныйперейтиотилисdxkdy*знатьпооднойотиндексdrвекторажевектораВеличины,координатстарым.системыdrназываются—этогочастныевекторабазиса,видекомпонентнеобходимокомпонентампризнакобщемвкомпонентамкпереходеприyiсоответствиинесколькихзаписаныкоординатосновноговекторамбытьу-7,преобразующиесяподобнодругойвж2,х3).х\yV,=координатфункциихгновыхж1,суммировании:чтобыdyi/dxkу3х%определяютсямогуткоординатизкоординатсистемекоординатоСледовательно,трехх\у2(х\=междукаждаякоординат,зависитdrсоглашениемв58х%системдифференцированияиконтрвариантнымиу2, у3ееправиламипроизводныеу1,закону,взаимосвязиновойивекторапеременныхпопреобразования.законаотносительностаройкоординатамиA.38)проводитсяконтрвариантногопредположениюх3:dyj.(tjI=координатПреобразованиеносящемуdx{v{=вверху).вразложениикпоПреобразованиепереходе отоднойзакону,носящемукоординатсистемыкоординаткаждаяхгу3:координатамиправиламиизxl(y3).=Всложной(rjIновойвггсвоюсвязанаочередь,соответствииосновноговекторыссвязанысистемесскоординатстаройвфункциейявляетсяфункциисистемебазисаосновноговкоторых,дифференцированиябазисаж2, ж3)г(ж1,=позаконаковариантногогприпроводитсядругойкназваниеРадиус-векторжг,преобразования.базисаосновноговектороввекторамикоординатсоотношениями,j>r_~W~+_3_дг^дх^дт^дх^дхъдг+дх1Эх2дх3ду)дуЭдузилидх1'приобразом,точкеосновногоиспользованиисоглашениядляотпереходабазисаyiкоординатстарых(rjIотвекторамоднойпризнакКовариантныйпреобразованияиинвариантностивекторакоординат.Действительно,A.39)приподобноковариантнымиконтрвариантныйзаконыобратными,drсистемевнизу).взаимноявляютсяиназываютсяиндексданнойдх^/ду3преобразующиесякдругойкоординатввекторампроизводныеВеличины,базиса,квчастныесистемы—хгт\пространствазнатьосновного(формальныйточкеновым.побазисакоординатженеобходимокоординатпереходесистеметойвТакимсуммировании.основноговектороввпространствао<ы0>чтоиприводитпреобразованияотносительновсоответствииксистемыссоотношениямиA.40)59Выражение,скобки,взаключенноесобойпредставляеттрехдх1у*Согласномеждух1опредположениюкоординатамиж^у1,=у2, у3),угсобойдруготтольковиндексу суммирования=I.Вdyi(tjI=точтопри—dx%Г{обратнывзаимноdrвцеломСотносительнопособойdr,будетнулятолькоиндексаdxk6^—суммупоотзначениет.е.=dx*иdrвекторинвариантенНесмотрякдругойкоординат.системыdrвектораикоординатбазисные(контрвариантныйобеспечиваютвекторы,иинвариантностьпреобразованиясистемых3отпроведенногоучетомвыполняетсяоднойиотличновидсистемыотпереходебудеткакая-либокогдаупрощенияdx^ж1, х2,представляеткоторогопреобразованийэтихк.отличнымкомпонентызаконыфскобки,преобразованияпреобразуются60riIсебе.Однакорезультатеотносительноприсуммированиедляслагаемых,ксуммирования0принимаетв(здеськ).к,самойзаключенноеизк,\=A.41)слагаемыходно=дх*/дхкслучаевыражениетрехIкоординатIпоВыражение,припроизводнойодномдифференцируетсяупрощенияГ 1независимостисилузначениедруга.кдхквнулякоординат.х*значениямиопределяютсядх1dyiДействительно,векторавыражениекоординатыкоторойдхкный)х3),координат:последнеепроизводнуюзначениядх1насистемахКронекера:символаокончательноя2,частнуюх*,координатеновойиУг(^у=дугвзаимосвязисуществованиистаройвточекпредставляеткоординатасуммучленов:ковариант-Поаналогиисобъектом,математическимбазисныхикоординатЛюбойявляютсябазисадругойприбазисаосновногоносятивидеВекторыккоординатA.40),законуназваниеразложения(aJ)l(rj)f.системытакжепреобразуютсязакону(контрвариантному)агг{=ковариантномуиковариантнымагвпообратномувектораоднойобратными.однойназываютжеотв=отпобазисКомпонентыбазисом.апереходепреобразуютсяосновнойвекторапредставленбазиса:являетсякомпонентвзаимнобытьможетосновногоосновногопоэтомупридругойвекторвекторампоИнвариантностьпреобразованийпереходезаконывекторовкавекторотносительнокоординат.чтотем,векторалюбойинвариантнымсистемыпреобразованияобеспечиваетсясистемыdrвекторомвекторампоразложениикомпонентконтрвариантныхвектора:ВвтожеразложениявидеМожнопоказатьслучаетакогопосистемыбезпредставлениявекторадругойккоординатвкоординат.однойотпереходепреобразуютсяиегосохраняетсяприа{Гг.=чтосистемыбазисавзаимногоадоказательства),преобразованиявекторыпредставленбазиса:взаимногоприведемотносительноэтомбытьможетвекторвекторам(мыинвариантностьПрилюбойвремяпоконтрвариантному закону| /рЗибазисом.векторамвзаимногоантному)базисвзаимныйпоэтомуконтрвариантнымзакону\—такженазываютКомпонентыatбазисапреобразуютсяи/рносятвекторавназваниековариантныхпоразложениипо(ковари-обратномукомпонентвектора:Ы'=A.44)61Итак,антныебытьможетвекторкомпонентыбазисныхобъектов(контрвариантного)базиса,контрвариантныебазисныхосновного(ковариантного)асвоичерезпривг,векторовбазиса:аУ=(а,-)' (г*")'=Следовательно,векторобъект,ииспользованииобъектовматематическихвзаимногопредставленагкомпонентыкачествег1векторовковари-качествевбытьможетасвоичерезиспользованииприа,математическихкоординат,oV,-=(а*)' (г,-)'.=собойпредставляетинвариантныйвекторныеотносятсякA.45)математическийпреобразованияотносительнот.е.скалярные,представленвеличины,системыкакжетакобъектам,математическиминазываемымтензорами,Понятие1.3.3.Тензорывведенывторогоосновенавторогопредставленаосновногоаналогиибазисные(г,-)(г4)введениипреобразованияобъекты,ПривведениибазиснымидиадныепроизведениябазисныхпроизведениярезультатсистемыПообразоватьинвариантныерангаболеетакимиобъектамиматематическимибазисныхвекторовнеопределенногосаналогииматематическиекоординат.второготензоракприводилипозволяютчислами,математическиепреобразованияотносительновекторассовокупности—координат.базисныесложныеуправляякоторые,сложныевинвариантныхсистемыболееввестиобъекты,болееа,-объектов,математическихможновекторыкоторыеилитензоравектора—базиса,агвведениябытьможетобъектыкомпонентами—относительно62видеПривзаимногообразованиюсобойИдеявекторами.бытьмогутранговматематическиеиличисламисложнымисобщемсамомрангавтороговысокогообразом.следующимэтимболееиврангаиспользовалисьтензораДиадныевекторов.r^j,rlr3,умноженияявляютсяТ{Т3представляютвекторовилиих{rtrj),базисаосновного(r,-W).базисоввь1раженийкаждыйизкоторыхjг\г\,приприЛюбаяоперация,аматемяти^евненекоторыхвторогонадсвойствами.ееопределяетсяумножениянеопределенногопроизведений.диадныхихсвойстваосновныенеитензоров—образованиюкнекоторыеумноженияаЬоперацииприводящейвекторов,Отметимнекотораяобразованиювекторов)выполняемаякесть^3^3-••>векторов),полностьюи•кумноженииобъектом,относитсяЬиумножениискалярномвекторномобъектовматематическимЭтоадевятьГ2Г\,приводящаяматематическихновыхП**3>векторовПоэтому,3.дообозначаетформег\Т2,векторами,(как(каквекторовзаписанныхиндексами,1откраткойвумножениескаляровизкаждомобо-илисвободнымизначениеr^jэтиминадвявляютсяпринимаетпроизведений:Неопределенноеоперациянеопределенноговекторов:невыполнение—(некоммутативностьаЬчтоигвыражениенапример,диадныхранга.Отметим,индексы(rlrJ),базисавзаимногоилифЬа;законапереместительногонеопределенноговыполнениенапримеризаконараспределительногозаконапереместительноговекторов),умноженияотносительномножителя,скалярногонапримерс(Аавыполнение—векторВЬ)+с,сВЬАса=ВсЬ;+аЬдиадыумножениянанапримеррезультатомса(Ъ=(аЬилисоставлявшихв—аЬ•(с=•а)Ьуколлинеарныйвектор,отперемножения),аЬ\аЬдиадыумножениявекторногоизодномупорядкапроизведениедиадноевыполнениес,сзависимостиисходное—с),будеткотороговекторовнанапримераЪхрезультатом(а(Ь+скалярногоаЬвекторсАа=с=а(Ьс)или(ссбудуткоторогохс),хха)Ъ—новыевзависимостихаЬ=(са)Ь,хдиадныепроизведенияотпорядкаперемножения).63Сиспользованиемобъектовпроизведенийдиадныхбазисавзаимноговекторатензорытакиесистемыкоординатавторого(см.A.45))девятиранга.диадногоВсисоответствующегопреобразованияобъектовпредставляющийпереходеРассмотримвторогооднойотA.46).рангаккоординатоставалсяусловии,контрвариантномучтоЧтобыдругойвекторызаконукачествепроизведенийпри(кактензоранеизменным,тензоразадаватьсяможетвдиадныхrlrJ.базисавзаимногорангаиспользованиемобъектовматематическихбазисныхдругой.кпредставлениявторогоса,-ухарактеромкоординатформыТензоринвариантностьматематическихсистемывозможныекомпонентамисвоимитензораобъектов]обратнымбазисныхисобойкомпонент—взаимнокомпонентприестьтензорчиселобеспечиваетсяполноедатьотносительноматематическихтензораA.46)можноранга:некоторыхбазисныха\т{Гу=A.46)координат,произведенийиa^TiTj=инвариантныйсистемысумму64суммапроизведениемтензора)соотношениемобъект,преобразованияприявляетсяпроизвольноготензораматематическийсистемыпредставляетсякоторыхаХ)Т{т>=соответствииопределениевекторовобъектыкакпроизведения:(а)—выражениемматематические(компонентычисланекоторогосрангаизкаждоеобъекты,математическиевтороготензорслагаемых,илиотносительноаналогиибазисныеиосновногоинвариантныеПокомпонентычерезматематическихвектороввводятсяпреобразованиякакбазисныхкачествевпереходеотоднойобъект)математическийименнобазисавзаимногоA.43),т.е.преобразуютсяпокомпонентытензораa^jпреобразовыватьсядолжныпокова-законуриантномуЫ(сравнимвектора).дх1(L48)=akiw^jA.44)формулойскомпонентдхку/преобразованияковариантныхДействительно,A.47)формулизиA.48)чтоследует,a'а)'V (А'(гЛ' VТаккак))VaJ-^^r"^Ч1-dyidyiКронекерасимволокончательнодх<*значенияпринимает1прик=Оприкфа,а,получаем«у)'(г1')'чтообговоритпреобразованияинвариантностисистемыпреобразуемыекдругойпокоординат.ковариантных{формальный признакпреобразованияконтрвариантномузаконуобъектовотносительно3-9712обратнымявляетсяA.47),преобразованияиобеспечиваеттензоравторогокматематическихинвариантностьсистемыA.48)закона,-убазисныхпреобразованиячторангавторогоотношениюпоназваниеносятКовариантныйкомпонентковариантныхкоординат{1.48),тензоравнизу).тензора,aijсистемызаконуиндексы—однойотковариантномукомпонентрангаКомпонентыпереходеприотносительнотензоратензоракоординат.65Тензорвторогоможетрангаа1-7компонентамиконтрвариантнымибазисныхкачествематематическихпроизведений векторовбазисаосновногоназваниеносят(формальныйобеспечениявверху)a^rtrJ=дхадолжныНаконец,второготензора(а)обеспеченияотносительнопреобразованиеформавтензорапредставлениякомпонентсмешанныхбазисныхкачествепроизведенийвекторовосновногоикоординатктхгу.приггбазисныйоднойотпереходевектораконтрвариантномузакону,дх1заданиемдиадныхслучаебазисныйдругойдхкиспользованиибазисовэтом=возможнаяобъектоввзаимного—законуопределяетсяприобратномупотретьярангаматематическихнеобходимоподхР\'/преобразовываться—лДлябазисаосновногозаконуконтрвариантномуВдлячтотем,объектавекторов'а;-с(a^)\ri)\rj)'=преобразованияковариантномуонитензоратензорасвязивматематического(a)условииatJКомпонентыкомпонентинвариантностипривдиадныхr^rj.индексы—своимииспользованииприобъектовконтрвариантныхпризнакизадаватьсявекторпреобразуетсяrjпопо—закону:ковариантномуобъектаматематическогоинвариантностипреобразованиякомпонентсистемысистемыа\покоординатсмешанномузакону:Ряд1.3.4.СформулируемРангтензораикомпонентнулевогоурангомтензораскомпонент.какгчисломхарактеризуемыйтензораиТензор(JVединице.второго9).=индексовравноОнконтрвариантные(см.A.46)).поставитьвко-можноранга3.xразмеромиконтрвариантных3.смешанныхматрицы:соответствующие¦К(М)((ап(И)(И))своичерезкомпонентывторогоматрицы«зкомпонентсмешанныетензоруа'г,-),a<i,своичерезсвоичерезсоответствиековариантных,образуетлибо=соответствуетдевятьлиболибоа,^,а%3,Каждомукомпонентыимеетпредставленкомпонентывариантные2)=аа\,а,стензор(илиа+ггкомпоненту(гсложный=компонентами—бытьможетавекторрангавеличина,более—числамиЧислоскалярнаязначением.1)=Это3.тремяа1, а2, а3).(или(г=ЭточисловымрангаNпростейшимявляется1.=однимпервогокомпонент0)=NтолькоТензоррангу(гкомпонентхарактеризуемаякомпонентсвязанорангачисломстензоромСовокупностьNиндексов3Г.=Тензора?количествоопределяющееколичествутензорарядпостроимсложному).число,равноеитензоракэто—тензораЧислорангапростоготензоракомпонент#понятие(оттензоровтензоровНа31а21а22а23«31<*32«33а21а12а22а32а23а33а\а{а2а\-\,а\19а2а13))JJ;а\а\а\467ТензорNЧислоиндексовсвоиа%3\иВт.д.данномвекторовТ{Т)Тъ,т.д.,результатосновноговекторовимеетрангаиследующуюзапись:структурную(а)Вdijkrlr3v=механикеупотребляютсятензорыранга(векторы)сплошныхтензорытензорыфундаментальныйкоторогопервогоПримеромранга.второгоявляетсярангачасто(скаляры),рангаинаиболеесредкомпонентытензор,atj=нулевоговтороготензораметрическийкоэффициентыметрические—координат:системы{я)Приэтомсистемыt jrV==являютсятензора,смешаннымнапример,чтовторогоранга.базисаприпреобразуютсядевяти(д).метрическихбылоотчтодоказано,однойосновногоккоординатA.40):законуdxkgijтензоравекторысистемыковариантномуПокажем,коэффициентовкомпонентыковариантныеРанеед\типатензорадаетвзаимногокомпоненты,смешанногосовокупностьпоglJконтрвариантныекомпонентампереходекомпонентамикоэффициентыегобазисаосновногобазисаосновногоg^jковариантнымикоэффициентысоответствуютg\vlTy=метрическиепредставляютметрическиеglJriVjкоэффициентыметрическиекоординатметрическогобазиса68базисныхпредставляющиетретьегоа\всобойтрехТензорбазисов.взаимногоа*-,видапроизведенияумножениячерезобъектовтриадныеинеопределенноговыраженматематическихвыступаютггг3гксоответствуетбытьразличногобазисныхслучаекомпонентконтрвариантныеа^ькомпонентыкачествечислоагдкомпонентысмешанныеимеетможетрангатретьегоковариантныекомпоненты3)=компонентуТензортензора.рангу(грангатретьего27.—(удх1другойкоэффициентыметрическиеСоответственнокакопределяемыескалярныепроизведенияпреобразуютсябазиса,позаконуполученнойчтопоказывает,дх1переходеприпопреобразуютсяоднойсистемыкоэффициентовриантныеобщемхарактеризуетсяилиа\).различныхкомпонент,Вменеечастныхкаквтороготензорранга,взаимосвязаныкомпонентыисимметричныхслучаиа1*',(илиa,j-случаяхнекоторыеСимметричнымназываетсякотороголибоа^-толькопоследнемнижниеслучаеа%3видерангаaJ%.Очевидно,11 aijВверхние.записываетсяглавнойотносительно11которойэлементовсреди,втензорусимметричномусимметричнаяматрицашеститолькотензорачтопониматьследуетлибосимметричностисоответствуетдиагоналиодноименнымииндексы,условие=перестановкеприПода^.=значениятензор,изменяютсянеиндексов:одноименныхболееа^ггг^=тензоров.компонентвторого—количествоопределяетсяЭтособой.междуантисимметричныхразличнымитак(а)рангакомпонентамикоторымидевяти,рангатензора.второговажныхдвухвтороготензоратензордевятьюкова-определяетнекоторогослучаедевятидействительнометрическогоВдругойсовокупностьg{jфундаментальногобазисакомпонентСледовательно,компонентыA.48)ккоординатдх1основногоg{jковариантныхранга.метрическихдхкформулойспреобразованиязаконувтороготензораформулыкоэффициентыметрическиеотосновноговекторовдхкСопоставлениебазиса,основногонекомпонент:различныхai3I IПримеромсимметричногофундаментальныйвыполняетсясимметричностиJ Jазз«23второготензораметрическийусловие«13тензор,g±jрангадля=являетсякоторогоgj{.69АнтисимметричнымкомпонентназываетсяизменяютсякоторогоКомпонентыa^jантисимметричногоиндексамиравнысимметричныеразличаютсязнаками:АнтисимметричныйтолькоПоэтомуa23-посколькутакжевектор0) )общемврангаотличнымиотслучаечислами:нуляназываетсяиногдадиагонали,а2г-а23второготремяон0-^13тензорai2,псевдовектором,толькохарактеризуетсятремякомпонентами.исчисления,алгебраическихТензорнаяалгебравопределяютсякоторомоперацийумножениесправилавычитаниеискаляр;операциитензора;скалярноетензороввычитаниеитензоров;жонглированияивекторноеприследующихограничениях:бытьдолжнытензоровсуммируемыхОперациятензоров.выполняетсятензоровравными;Суммойодинаковой.бытьдолжнатензоров(д/)Дв'чТ*~*J7*—и(b)70проведениятензоров.структура суммируемыхдвухтензорногосложениенаСложениерангиалгебрыразделомтензорами:свертываниеумножениесложенияявляетсятензораиндексами;тензорнойЭлементы1.3.5.=bijrlr^—а3\одинаковымиглавной-«12v=соответствующейотносительноIalJилиay,—сэлементы=характеризуетсяпри=тензораанулю,тензору матрицы,a13>противоположныенаиндексов:одноименныхперестановкезначениятензор,=ащв*7"-»—Jа•t7*7*VJтоготензорявляется(с)(а)=исходныхcxjrlri=равны(илитензоровиликонтрвариантных,Суммированиетойиранга(b)+которогокомпонентыкомпоненттолькожекомпонентжеструктурыctjrtrj=с\г{т^=суммесоответствующихтолькоковариантных,толькосмешанных):разныхтипов,илинапример+Ь%*,а^недопускается.ВычитаниевыполняетсяРазностьюограничениях.(с)(а)=компоненты(Ь)котороготензоратогоравнысцтензорананаскалярнуюжеранга=итойжеиаоперацияумножениятипа(например,(например,тензорданнойпроизведениютого(а),скалярнойтензора:г>=с]aalJ,аа\.=Этииндексами.осуществитьтензораа(а)=исходныйичтоструктуры,жонглированияпозволяют(с)тензорисходногокомпонентo\txtj=являетсясОперацииa%3riTj=равныкотороговеличиныдругогоЭтаскаляр.«?-*«.=Результатом<Lijr%r3величинукомпонентыоперациис*тензора(а)компоненткомпонентЬ«,-ограничений.каких-либопроизвольногоа*=тензорабезвыполняетсятензорвычитаемого:с«Умножениеявляетсяструктуры,жесоответствующихразностиац-Ъц,F)итойирангаи=(а)тензоровжеуменьшаемогоаналогичныхпридвух-действие,какопределяетсятензоровисложению,обратноепереходоткконтрвариантных)ковариантным).оттипаодногоккомпонентамНеобходимость71операцийэтихнапокажемидеальнойдвиженияиндивидуальнойсвязываютчастицыЭтовекторноеиуравнениивекторовВтрехтензоровкомпонентылюбогоизэтихвекторов,бытьмогутвводнаизвектораДляоперацийтрехОперациязаключаетсяРассмотримпримеретензораегодругим.операциятензора(индекскомпонентамэтойпроведенияоперациина(вектора)ранга(а)опусканиекомпонентковариантнымпервогоковариант-используетсяЭтаконтрвариантныхправилаегоиндексаодногоиндекса.откцелейдругихзаменапереходевверху)ипереходквектораиндексами:опусканияв(индексвнизу).этойиндекса,операциюпредварительныйжонглированияподнятиеиндекса,силнаFJкомпонентF{.A.51)уравненииобъемныхнакладываемыхтензоров.компонентамвНеобходимF,силкомпоненты:контрвариантныеограничений,контрвариантныхнымобъемныхиспользоватьсилудляслучаевектораF3gradp,давленияобщемдлякомпонентысуммирования72ОднакотолькоконтрвариантныеотградиентаНепосредственнонедопустимоковариантныеdv/dt,напримеризвестныFJvj.—F.силправиламистолькоускоренияобъемныхвекторасоответствииввранга:участвуютвекторовскалярнымучаствующихпервогоA.51)суммированияFтензоровуравнениях=асF:силтремкомпонентычерез/э,объемныхвекторомэквивалентно—плотностьF-gradp.=уравнениезаписаннымуравнениям,имеющейgradpр—ускорениявекторжидкости,давленияградиентомУравненияпримере.следующемжидкости=atV=а? ТуA-52)считатьБудемзаданнымиОпределимвектора.Дляа{.TbiчастейСнеизвестныеэтогоскалярноеA.52)навектораггг-ткопределенийучетомA-37)A.34),левойчастиполученногопослагаемымвA.37)метрическихэтой=kA.53)aJgjk,=тензорапроизведенийрангапервогоконтрвариантныхегокоэффициентовметрическихчастномA.53)отсутствуетсистемеjA.30))записидекартовойпрямоугольнойвзаимновобоихиак=Этотэтослучаяхкомпонентамвкаквзаимноговекторовединичныхтрехjyизтройкакоординаттройкойг,так1—следуетранга,к.выполняетсяквыводжесовокупностьвекторовдекартовойj ф А;, д^кприпервогособразомприменительноак.системесовпадает0—тензораортогональныхАналогичнымивд^A.52)базиса—системеДействительно,структурнойосновногоэтойковариантнымимеждукоординат(см.к=системывчтоследует,различиеконтрвариантнымипрямоугольнойдекартовойслучаеформулыизпрямоугольнойиндексачерезвидпринимаеткомпонентыкомпонентами.базисатипа).векторабазиса.Ввекторовопределениекомпонентсоответствующихнуля(см.аксмешанногокомпонентысуммойкоординатприакд^от=ковариантныхковариантныеосновногокоординатвыполняетсячленя*и*9jk-aотличнымбудеткоэффициентовсуммеконтрвариантныеопределяютсяA.25),коэффициентоввыражениявыражениекомпонент-rk.Единственнымг.индексуОкончательноет.е.ajrjт.е.гд.,получимсуммированиеегоосновного=обеихумножениебазисаметрических%9kВкомпонен-ковариантныевыполнимравенстваа-?компонентыконтрвариантныеопусканияоперациятензоравторогоранга.73Есливторогозаданы(акАтакжеполучаютсябазисафундаментальноговнизу)вверху).Правилапримеретензоракrk.базисаПодляэтойпервого•Будемвектора.A.52)скалярноенаизложеннымсподнятияопределениявыполнимравенствааналогиизаданнымисчитатьДлякомпонентчастейнарассмотримA.52).агrkajrj=взаимноговекторполучимвышеиндексакприменительнотензоруобразомак-ранга:отОперацияодногозаменысA.51)движениясвободнымсуммирования,которыйобозначатьсяка^тензораa)g*1второгоацд*?1.=индексапомощьюA.56)Бедругим.жидкостиотличиеотлюбойВпримера.следующегоидеальнойВиндексом.может=второготензоракомпонентамaklaij9ik,=операциякомпонентaklпроиллюстрироватьявляетсявзаимногокомпонентамковариантныхконтрвариантныма)уравненииикомпонентфундаментальногокпереходирангаосуществляетсяприменительнот.е.первогоA.55)A.55).тензораранга,aigik.ковариантныхкомпонентАналогичныминдекса=коэффициентовметрическихметрическогосмешаннымтензораегоконтрвариантных—aka?g),=произведенийсоответствующихподнятияaiglkкомпонентысуммойбазисаг*,•Контрвариантныеопределяются74тензора(индексранга:агг{можнооперацияоперациирангаоперацииA-54)компонентампервогоконтрвариантныхобеихвыражениековариантныхкомпонентыумножениеЭтаконтрвариантнымковариантныеa%J9ik9jl-=компонентпроведениянеизвестныхaJk9jl=индекса.отпереходе(индексак1поднятияОперациявкомпонентт.е.a%39ik>=компонентыметрическихтензора,<*>[тензора(а^)ковариантныековариантных—метрическогозаключаетсяииспользованиемсосновногокоэффициентова%3компонентыконтрвариантныесмешанныеторанга,гиндексиндексабуквой(а=а,г*=_a-rJсуммы,a^r^)—исвободныйодномвнеобходимостьвозникаетFtизиFjкомпонентысиндексомотинулягиндексов:=j,A.37)).j (см.применительноA.57)нужноприменитьсвойствотипа,которыесовпаденияслучаесвойстваэтогоучетомajgl=A.57)заменытензоруНаранга.A.51)движенияFjиндексаодногопервогообразомдругимвместоцспользоватьвтакаяжесоотношениеуравненияАналогичныминдексасмешанногоСкомпонентычерезвыраженыgjоперациюксоотношенияможнополучаемотображаетгтолькоaiкотороетоединицеравныкоэффициентовметрическихA.51)индексомсможетнеЕсливыражениисилкоэффициентовметрическихотличнывыражениядругим.вобъемныхвектораобозначениядлячленовкаким-либозаменятьсяпроизвольнокомпонентлишьиспользуетсяиндекспроводитсясил:заменыоперацияприменительнобытьмогутобъемныхвекторакомпонентамкдругимоснованииодноговтороготензораранга:a>il<*>ij9Jl>=Свертываниекомпонентверхний,тензораавторогосмешаннымидвум(а)рангаа^,а\собойпредставляющаятензоранапримертретьегогиранга&,являетсяявляетсявекторизодинсверткойнапример,своимизаданногосумма=скалярную(а)Так,а\т%т^=суммированияиндексам,нижний.—(L58)операциякаким-либодругойкомпонентамиaij9k9Jr=Этотензора.потензоракоторых4l=Ь.величинуа%;Т*г*гь—потензордвумпервогоСверткойиндексам,рангаскомпонентами75Какизследуетсверткаприведенныхменьшеединицынаэтунеменеебытьдолженпервогов(riаИтак,иформулойA.2)первогоПриdijT^vi2)=натензор(а)•(Ь)=76тензорпервоговекторов,вектор:умножении=разностиранговЬкг^—(г21)—=сг-а{Ь•с).результирующийперемножаемыхПриа^ЬК=свойствизпри—=¦=однотензоров=а^Ькт{ (г> тк)(bkrk)ац(ькд>к) г1 a^W•atjbkrlgJkпроявляющеесяаЬс(а)рангаF)рангакомпонентаминавторогорангаиспользовалосьпроизведенийравныйтензора(o0-rV)ковариантнымирезультатаскалярногосаналогичнойсовпадаетпервого=диадыдляумножении(т\отсутствуеталгебры.скалярномполучаетсявчастности,контрвариантнымирангавекторнойрангапервогопопарныхгдеформулаполученнаятензоров=Вкоординат,ковариантнымипроизведенияa2b+суммекомпонент.тензоров,ахЪ1тензоровсистемемеждускалярном6jW,=метрических=равнаяодноименныхкомпонентамиагЬ{=величина,прямоугольнойразличиесF)иоперацийпроизведениемскалярнаяпроизведений(Ъ3д1))агскалярнымявляется(с)умноженияаггг=выполненияправила=—A.34),A.25),также(а)A.37)1):—примереиндексами:жонглированиядекартовойт2=определениякоэффициентов,Рассмотримнатензороврангавидутензора2).>тензоров.умножениятензоровимея(гвытекаетсвертываемогорангдвухдвеОтсюдатензора.умножениескалярноготензора,накоторогорангоперацию:Скалярноеправилатензор,исходногорангаограничениесвертыванияправилсобойпредставляетсУ=получениидиадныхумножениискалярномСледовательно,притензортензоров:имеетгранг,=г\—г2-ВекторноеправилаумножениевекторногоТ2—умножениивекторном(а)F)(alrt)=общемиливариантные,rlxW,ЛюбоеизилиявляютсятгхггхггхДискриминантпныйосновного==Aljkrk=(Л)=КомпонентысA.59)тензорранга,третьеговповекторовбазиса.черезДискриминантныйсвоиковариантные,компоненты:AyfcrVr*правиламиЛ?г*;базисныхсмешанныеразных—г*;компонентамипредставлениЛ*естьвзаимногоилибытьможетконтрвариантныесоответствииAljkrkпроизведенийвекторныхвекторам=являютсякоторого(Л)рангаРиччи):тензоркомпонентывзаимногоилитретьего(тензораVjбезуказанныхосновноготензоратензорапоразложенияразложениивекторамт3.аПримембазиса.вхггвектором,видевкомпонентыдискриминантногоразложенииявляетсявзаимноговзаимногобазисоввзаимногоипочерезвекторовгу,представленопроизведенийбазисаXггкомпонентамико-черезвекторныепроизведенийбытьосновноговекторныхилиосновногоможетчто(илитензоровопределитьвекторовдоказательства,перемножениибазисаназванныхвекторамПриг,-)Xконтрвариантные,основногоследовательно,тензоровWtj.=aWfr,=записинеобходимовекторовбазисаF)ивекторномслучаечерезкомпоненты)произведениядвухпримереа%т{=(Vrj)вВвекторов.смешанные(а)Xнеобходимостьбазисныхтензор1):—тензоровXвозникаетнатензоров(г\рангапервогоОпределимтензоров.умножения=Л"*г<г,-г*типовжонглированиясвязаны=AfyrVrjfcмеждуиндексами,=собой..внапример:77Л|--Aijkgkl.=Поэтому,векторныепроизведенияустановитьзначениянантногоосновноголевойг/.(г,-хЛгзначенияхAijiXVjjjилипроизведенияминусвrj>j ф l,irl-Дляф1A^iметрическихкоэффициентовосновногообразом,тензора принимают=1гз|-векторовСопределенияучетомбазиса11]д^iприкоординатосновногоматрицыплюсориентациисистемlr2lназнакомсовзаимной*приопределяютсяпостроенноговзятогоортогональныхилиj,различныхобъемупараллелепипеда,=смешанногоЛ^/трехотtслучаепротивномкомпонентыравнозависимостиIф j,A.25)идляортогональныхполучимкоординатдlj,котороеi|rl '(илиA.4)формулуВг,метрическойдиагонального видасистем(см.произведения=Компонентыиндексамивекторов).векторахиличисленныхтензора.нулюравныбазиса,основногооодинаковымисмешанноговекторовбазисныхгдедискриминантногозаключениеиндексовзначениемri->Aijiтрехзначенияхразныхбазиса.следует/)тензорадискриминантногоA.60)двумя=A.60)(векторно-скалярным)основноголюбымиЛг;/;=Vhвекторовформул/,=одногочкомпонентсвекторзаменыAijkg{=компонентытрехнаоперацииг/-смешаннымИзучетомAijkrk=ковариантныеопределяютсягVI•/\TiKjl=произведениемA.59)(сдискрими-скалярноеполучимVт.е.достаточноЛ^выполнимравенстварезультатедругим)индексацельючастейВA.59),векторовковариантныхправойибазисавсевозможныеопределитькомпонентС этойтензора.умножениечтобыбазисных11 g{jdetJjметрическойдетерминант—ортогональнойбазисасистемывТакимкоординат.компонентыковариантныематрицыдискриминантногоортогональнойсистемекоординатследующиезначения:0i=j,припри78iгф^=гф1,/,j=j*l./,((плюсЗнакминус)илиизнепосредственноопределятьсовокупностьчхотройкукратчайшемуповектора г\таккакгз(см-ХГ2г\=fr2XJri—у/ду=гз,векторуНетруднот.д.какаследовательно,установить,Л^-/компонентзнакатакXвекторгзчтои0.Напротив,Xг\направлен(гзт\)Xдля+д,=вектор>Г2правилокт<Лсторону,хг2)-гзчтосводитсяпротив\т\=(т\поворотгзжетуследовательно,гз•вт*зГ2,происходитv<iЛштого,учетомтч,векторавекторунаправленапротивоположноиконцаНапример,1-31),сбазисакпутивекторРис-д213(свекторовудобноA.60)основногострелки).часовойходанаиболеесоотношениявекторовправуюобразуетЛ,^/компонент0<гзопределенияциклическойправилуперестановки.Сзначенийустановлениемтензорапредставляетсявекторногоумноженияявляетсякоторыхкоординатнымии11 g{jдискриминантноготензораформулаполученнаяпроизведениясвязиэтимскомпоненты0,значенияпринимаютсовпадаетсвеличинапостояннаяесть+1,A.3)формулой—1,авекторноговекторов.ПривекторномaijrlrJнавторого(а)В1.атензоров,матрицы11ковариант-междукомпонентами==прямоугольнойдекартовойразличиеотсутствуетметрическойdet=с*.участвуютвконтрвариантнымидетерминанткомпонентамикомпонентыичастности,ckrk=срангатензораВтензоров.alVAljkrk=первогообразованиивсистемеrj)Xдискриминантногоперемножаемых=а^(тгтензора26^Л,д,компонентывекторногоранга=также=дF)XправилРезультатомпервого(а)дискриминантногоопределениетензоров.тензоровумножениякомпонентвозможнымтензор(b)рангапервоговтороготензораумножении=bkrk(а)ранга=тензорполучитсярангахF)=(atirV)=(&Ч)ао-6*г''(л?,г')X==a.A'V(ацЬкА{,)Xrk)==сцт{т179скомпонентамисциспользовалосьпроявляющеесяприхса(Ь=примеханикетензорногооперациидифференцированияназываетсяотвисистемыоперациисвязанакоординатнобазисныхидекартовойбазисанефактэтоткомпонентыя2,(а)дифференцированияя3, ?),аГ{=почтоГ{(х1ух2уХ^).любойпроизведениязаданногоаггг.=от(втакжеобщемзависятпроизводнуючастнуюхКсчитать,ивремени:случаевекторыОпределимполучимБудемкоординатбазисныекоординатенатензоров(вектора),зависяттензоракоординат)криволинейной системы(а)ж3).дифференцированиякомпонентами,тензоравекторы#2,дифференцированиярангапервогоконтрвариантнымикоординат:точкахразныхг^ж1,—особенностиправилатензорааЧя1,вбазисныет.е.ввкоординатам.Рассмотрим=Напротив,напримерггопределяетот1.32).рис.1.33),рис.случаепереходевекторовкоординат:ипопримере(см.координат,(см.различнавсовокупностьприбазисныхфункциямитензоровтолькоизменяетсядругойксовокупностьявляютсятольконекоординатсистемепространства80переменностьюкриволинейнойслучаесистемыкриволинейнойцилиндрической,агскоординатам.поДействительно,пространствалюбойчтообщемпрямоугольнойточкиИменноввекторов.основноговектороводнойпеременныханализом.тензоровэтойвремени.рассматриваютсяинтегрированияДифференцированиекомпонент,икоординаткоторомтензорнымСпецификаматематическиетензорныезависятисчисления,тензоров,анализасредправило,ранговГ2).тензорногосплошныхобъекты,изнаивысшемуmax(ri,=ЭлементыкакРазделгвектор:тензоровумноженииравентензоров:1.3.6.векторов,надиадывекторномтензораперемножаемыхВпроизведенийумноженииИтак,результирующегорангрезультатаполучениидиадныхвекторномс).хПрисвойствизодноаЬaijb^A^.=СучетомправилотвекторнойПроизводнаяфункцииж-7аргументуобозначимскалярномукоторыйТ{собойпредставляетвсякийивектор,пох3называютсяГ*-компонентых3поразложениивназваниепосимволовA.62)принимаетвсуммирования:да*A.64))выражениеxJкоординатепоА;инаегодвукратноедругойвверху,ообозначенияд.Этог.сагГ^г^С учетомодинвыражении:точкираззренияиобозначенияизмененияиндекскакбуквой,вПоэтомувнизу.такдопустимо,любойвыраженияэквивалентны.индексовповторение—суммированиисуммированиягобозначатьсяможетсущественно лишьГ*а*А;ikвГг*+г"=выражениинагсуммированияa*Tji-г;полностьюиндексовполучимпроизводнойтензораконтрвариантнымикоторогоиспользованиемвидПоменяемт.е.(а)носятС(см.родатензорад{а)соглашениякоординатебазисарода.второгоапоГ{основногопроизводнойдлярода,базисавторогопоГ{базисапервоговекторамКрисгпоффеляКристоффелясимволовбазисавзаимноговекторамосновноговекторабазиса:взаимногоосновногоКристпоффеляпроизводнойвпредставлениливектораразложениисимволамибытьможетосновногопроизводнойвA.63)^у.A.63)векторамГг^Компонентыкоординатевектор,dri=векторразложениявидепонекоторыйкакгцКакж2, ж3)г^ж1,=являетсякомпонентами,имеютзаданногоранга,первоговектор,компонентыобозначениеспециальноеfSa*r*'(L66)81иабсолютнаячтокомпонентчастнойГ!-,сотличаетсявекторапроизводнойсвязаннымиОчевидно,ранга.первогопроизводнаяобычнойотатензоракомпонентконтрвариантныхпроизводной(ковариантной)абсолютнойназваниечленамидополнительнымибазисныхпеременностьюповекторовкоординатам.Остановимсятензорногоболеекаканализа,A.64),символыявляютсякомпонентамизаключаетсявКристоффелявекторыпоэтомупроизводнаях-7координате(см.Гг^A.64))Г*=общемнуля,?2,нулюлюбойсистемыкоординат),нуляотличнаОчевиденКристоффелякоординатнарядусимволывывод:координатных("криволинейность"символыотэтойкомпонентыискривленностькоординатт.е.метрическимдг^/дх30.характеризуютхарактеристикойсистемысистемыявляютсяфундаментальнымстензором.СимволыКристоффелянетензоранекоторогооднойчтонулювесликакой-торангакова-припереходеизменятьсядолжнывпреобразования:закономковариантнымдх\*ijk)Очевидно,третьегодругойккоординатскомпонентамиДействительно,ранга.тензорасистемысоответствииявляютсятретьегокомпонентыриантные82/координат:отивкоординатзависятотГ*-дг{/дх^:системебазисалюбойповекторапроизводнаяф 0,Г^д.линийравныкомпонентыотличныследовательно,координат,г,-0.=криволинейнойпоэтомусистемевекторадг^/дх^иосновногох3),производной:Кристоффеляотнулю:векторыгДх1,аравнабазисаотзависятнебазисногоравныВ0.=случае—базисалюбогородаосновногоКристоффеляпрямоугольнойсимволовдекартовойосновногоопределениювтороговекторасмыслВкоординатСоответственноПоипервогопроизводнойследующем.объектахтакихнаКристоффеля.координате.ГеометрическийпоТ{подробносимволы-а«/компонентыоднойтензорасистемерангатретьегокоординат,тоонибудутинулюравныКристоффеляКристоффелясимволовнаустанавливаетсявыполнимвзаимноговекторнаA.37)длякоэффициентоввыполненияrk-vlrtjkзаменыНесмотряГ*-=натокомпонентамиПчтоВычислениеКристоффелясимволовявляютсяковариантнымметрическиекоэффициентовпочастныеатакжеметрическихпроизводныескоординатамA.63),базисаосновногоg±jСоставимсвыполняетсякоэффициентовметрическихкоординат.обозначенийTtjkgkl.Кристоффеляподобночерез=базиса.взаимногопомощьюнетензораполучимГ|,.символыранга,правилдругимГ^1,=взаимосвязаныкомпонентамкоэффициентыиндексаитакжеаКристоффеляродасмешаннымбазисатипа,третьеговторогоA.64)A.34),равенствавзаимногоTijkgklсимволыэтоговыраженийучетомодногог1,•тензораипервогоСсмешанногооперациисистемыг*.коэффициентовметрическихметрическихA.64).Длячастейобеихродавторогоиопределенияумножениебазисаа,нуля.первогоосновескалярноенулю,равныотдекартовойвусловию:ониотличны—Символыкоординат.координатцилиндрическойвсистемеэтомусистемеСвязьидругойудовлетворяютпрямоугольнойнапример,любойвнеучетомвыраженияA.25)идифференцированияправилпроизведения:dJii--L(r..r.\-(r.дд*д(,,}_dri_¦-дгк~дх*дхdrjdrk83Вчлены,напримерA.63)r{jиA.67)выраженийчастяхправых•г=д.определениягу,-одинаковыенаходятсяЭтогд..•арезультат\дх*)Сдифференцирования.порядкаопределения^^__2дх*+черезA.68)Кристоффелядекартовойкоэффициенты(ж1тензорапервого=ж2г,A.30)),=Кристоффелянуля:(ковариантная)производнаярангавводитсязначенийметрические(см.символовотв27всекаккоординатзначенийотличныеАбсолютнаякомпоненттаквеличинамисистемечлены,Например,координат0,=постоянными27совокупностиприсутствуют841\уд.являютсяизвестныбазиса.системецилиндрическойвесликоординат,прямоугольнойКристоффелясимволовсимволовзначенияосновногоgijвидддцвычислитьсистемекоэффициентыметрическиевпозволяетлюбойвТк~Пчк- _2Г.принимаетdgikФормулаиКристоффелякоэффициентыметрическиефакта1.2Г.Гк-П^1Тотполучимсимволовдлявыражениеродаучетом%3зависитнеотмеченногоA.64)дхк~дх>Окончательноепервого~Кристоффелясимволовкак_дифференцированиядвукратноготакд2/дт\dxiвыраженияA.20),базисаосновноговекторовизследуетковариантныхврассмотрение0, х3а=z)дифференцированииприаггг,=позаданного(а)векторакоординатамкомпонентамиковариантнымиа—Вп{.—этомслучаеи)дхЛ1дхз хзнеобходимостьвозникаетнаходитсяизосновногоипосоотношениевектороввеличины,получаемвигд.=х3сГ},<$?,соответствиисвеличинасвязывающеговекторыДифференцируяэточтотого,учетомЬ\КронекерасимволыЭтахКкоординатебазисов.координате%дх3производнойdxJопределениипоггсоотношениявзаимногоггилиггбазисавзаимноговектороввданнойприКристоффелясимволовопределениемпарепостоянныеестьA.64)Очевидно,начтобазисныйпривекторкомпонентамиеслизнакомполучаетсяг*,Кристоффелясимволыминус-ДтакA.69)-Рт;Гш,какТеперьнайтиможнозаданногоСт.е.рода,второго=совзятыеявляютсявектора—FJL-,величинаскалярнаяпервогодгг/дх3вектораумножениискалярномизмененияпроизводнойобозначенийвектора,покомпонентами,ковариантнымиучетомдлявыражениеиндексакоординатам.суммированияполучаем-e*r«)ri=(v^)rl-(L70)85Производноймитензорапервогокомпонентами,заданногоранга,являетсявектор,1ёабсолютнымиявляютсякомпонентчленами,икаккомпонентрассмотрениепредыдущемчастнойучитывающимислучае,производнойпеременностьстензораконтрвариантными(а)а'-7,компонентамиобозначенийд(а)индексовd(ai^rlrj)_Производной_~тензорадаЦдхккомпонентами,которого—исходногокомпонентной)заключение„-Яг,•JдхкковариантныхСучетом}заданноготакжетензорабсолютныевторогоранга,производныетензора:приведемпроизводнойранга.иполучаемe°n*ВA.64)формулыранга,второгокоординатезаданногоучетомявляетсякомпонентыконтрвариантныхa^i^ry,=спосуммированиядхкконтрвариантнымидифференцированиирангавтороговзаданнымвектором,Привводитсярангавторогоаналогиикомпонентами.измененияпроизводнаятензорапоконтрвариантными86вот(ковариантная)контрвариантныхвторого(L71)векторов.Абсолютнаяхкжеотличаетсяпроизводнаядополнительнымибазисныхв*г&ковариантныхТаквектора.абсолютнаякоторогопроизводнымиисходногоковариантны-компонентывыражения+el"lrk-(L72)(ковариант-абсолютнойвыводтензоракомпонентA.69)производнуютензора.(а)рангавторогокомпонентамипоаг;,a^VW,=заданногокоординате*aijT-дх~Ь-~дхЪГГабсолютнаягдерангаПодчеркнемещедополнительнымиипервогочтоиидифференциальныеиспользованиемсмеханикиВпервогопорядкаиудобенанализесВименнопринципе(см.,практическомизнапример,идивергенциивеличины,символический,каждаяпервоначальнотензорамивсвводятсятензорамиопределенияОднакопервогоградиента,тензорномскалярнойспорядкапервогоподхода.ссред.операцийсоответствующеговектора).простсплошныхопределениятензора.градиентаротораиспользуютсяширокодифференциальныхоперацийпомощьюопределенияболееисимволическогоперечисленныхвводитсяфундаментальнымиявляютсязадачA.66),формулыпроизводныхоперацииротораA.73)компонентанализачислуоперациитензораискривленностьрешенииотносятсядивергенции-~производныеоперациитензорами.Tа,7Г^,-ПолученныеДифференциальныеК'производныхтензорногопостановкеa*jaUy Lklr Tj « r'V-"'абсолютныевсеранговвторогосоотношениямипорядкаayrl,--координат.абсолютныхдляг1г> r•компонентучитывающимиA.71)—A.73)приUt}XчастныхсистемыП *'rпа1г~-^L=раз,членами,линийтензоровJJдггформулойобычныхотa"—rJ++видековариантныхVita,координатных^Иопределяетсяотличаютсяв^rVпроизводнаявторогозапишемдац=+ковариантнымиxkиспользованииабстрагированный87отизначальногоопределенияВподход.этимсанализетензорномвдифференциальныйГамильтонаоператорVкомпонентамипроизводныенекоторыхслучаемоператорA.19),декартовойпрямоугольнойвпомощьюэтогоA.74)Гамильтонаоператораоперациипервогопорядкаоткомпонентдействуетдифференциальныйнеопределенногоgrad(a)Уг(а)гг,соответствующимкоординатам.величинсовпадаютпоэтомуA.75)(а)рангакоторогоа=апоскалярныхчастнымипервоговекторабсолютнымпроизводныеобычнымитензораявляетсяравнывеличиныАбсолютныеградиентзаданныйнаV(a).=скалярнойсоператорарезультатГамильтонакомпонентызаданнойпроизводнымжет.е.нулевоготензоракоторыедействия(илиgrad(a)=толькоA-74).оператораГрадиентомберутсянарезультаттензор1.3.3),разделиметьследуетVt(.