Бабкин А.В., Селиванов В.В. - Основы механики сплошных сред (Том 1)

КМГТУим.175-летиюН.Э.БауманаМЕХАНИКАПРИКЛАДНАЯСПЛОШНЫХСРЕДВНаучныйредакторпрофессортомахтрехдоктортехническихВ.В.наук,СеливановТОМ1МоскваИздательствоМГТУимени2004Н.Э.БауманаБабкин,А.В.В.В.СеливановМЕХАНИКИОСНОВЫСПЛОШНЫХСРЕДРекомендованообщегоиМинистерствомобразованияпрофессиональногоФедерацииРоссийскойвдляучебникакачествеИзданиестудентовзаведенийучебныхтехническихвысшихвторое,исправленноеМоскваИздательствоМГТУимени2004Н.Э.БауманаУДК531@75.8)ББК22.22Б12Рецензенты:кафедройзав.газовойакадемикЛомоносоваволновыхкафедройзав.техн.ISBN5-7038-2343-9аппаратаипринципырядаОписаныихисплошныхфизико-механическихсплошныхмоделииисредДанысоотношения.средиуравнениялюбыхисплошныхмеханикипонятияописанияВыводятсяреологическиекурсакраткогопомощьюобщиепостановкипримерызадач.приведеныприложенииосновуМГТУстудентамДляред.механикаповедениясостоянияфизическиепрактическихВВс:/ Науч.т.дляописанияагрегатногоосновныезадач2-е—376—ииспользуемыеконтинуума.длясоответствующиепостановки3Рассмотреныисчисления.материальногоотсизлагаемоговеличины,справедливыенезависимоВвекторногоизучениядлясред",тензорногосостояниявтузов.2004."Прикладнаясерииэлементыдостаточныефизическиедвиженияприведеныисплошныхсоотношения,характеристик.учебниковнеобходимыематематическогодляБаумана,сред:основныеприведенымеханикисоответствующиенаук,1)комплексатомеУчебникН.Э.им.сплошных(Т.сред"анализа,кафедройд-р техн.зав.Баумана1).Т.5-7038-2344-7"ОсновыМГТУмеханикаISBNпервомН.Э.сред:Изд-воСеливанов;сплошныхфизико-техническогоНовиков;сплошныхМ.:—(ПрикладнаяВ.В.Смирнов;механикиВ.В.механикииспр.ил.Н.Н.экспериментальнойим.СеливановА.В.,ОсновысредМГТУлабораториейпроф.Зарубин.Бабкинизд.,С.А.М.В.им.зав.наук,проф.наук}B.C.МГУиматематикипроф.тензорногофиз.-мат.государственногод-рприкладнойВЕ.И.д-ртеоретическойСаровскогоинститутаБ12РАНпроцессовдинамикиволновойифакультетаШемякин;механико-математическогоучебникаим.Н.Э.техническихстудентовтиповыхрешенияпримерыматериалположенлекций,Баумана.задач.читаемыхиуниверситетовавторамимашиностроительныхвузов.531@75.8)УДКББК©tIqSrnBNt;7пчя5-7038-2344-7(Т.ISBN5-7038-2343-9оълл7ГГл\1)©В.В.А.В.Бабкин,2004,1998;Издательствонимсизменениямиэс22.22Селиванов,изменениямиМГТУБаумана>1998;2004>ПРЕДИСЛОВИЕМеханикакоторомвфизики,изучаетсяизучающейдвижениематериальныхточекизучаетсредявляетсявремявчтотом,этаприкладныхтвердых(вчастности,многихиприкладныхОднакосилами.сплошныхсвоемуитехническихопытуниверситетевН.Э.им.учебныепланывузовтехническихиМосковскомБауманамеханикисплошныхвузовивключающейсплошныхвнеобходимостииуниверситетовориентированнойвсебятакиемашиностроительныхсреднавзаимосвязанныеввведениясплошныхмеханикисред,исредтехническомнаскурсаНашвузов.механикиубедилтехническихстудентамигосударственномтехническихадаптированногоплановусвоениямашиностроительныхосновпоизложенияучебныхдлядоступенпреподаваниядисциплинмеханикикурсметодикесодержаниемвсегдауниверситетовмноголетнийприкладнойнееефакультетовпостроению,срасходитсяипроцессовнагруженииуниверситетскийсмысловомусущественносмежныхклассическийсодержанию,университетовприсредемеханико-математическихдлясредширокимразличныхсплошнойбазойнаучнойсисследованиявпластичности,т.д.связанонаук,происходящихивзрыва),физикаислужащейсред,методовдинамикаэтотелтвердыхтехническихилигазовая—узких,жидкостейупругостисплошныхматематическихдлянапример,разрушениясредболеегазов,теориимеханикиявлений,основойдинамикагазоваяпрочностиРазвитиесвойствсплошныхдвижениегидродинамика,теориивнешнимимеханикиотносятся,числузаконовифизико-механическихучетомизучающихихсплошныхмеханикисвойствявляетсяприкладнаяаэродинамика,применениемсточкамимеждуобщихдисциплинаКтел.расстоянияЗначениедисциплин,пространствоЦельюсредсред.сплошныхмеханиказаполняютнаиболееэтихсистемдискретныхизменяются.установлениематериаловсостоитимеханики,тел,которыеобразомдвижениядеформируемыхдвиженияточек,тел,твердых,сред:теоретическойоттвердыхтакихсплошнымвоотличиематериальныхабсолютноитеоретическойразделдеформируемыхВдвижениенепрерывно,которыхэто—движениегазообразных.ижидкихсредсредсплошных—студентовразделы,основыкакмеханикидеформируемогосплошныхтела,твердогомоделированияВнельзяуниверситетахнезависимомеханикииразвитиемновыхизучениестудентамикакмеханики,которыесложнейшихиирешениясредсплошныхкоторыхсодержаниеизсостоиттрехвраскрываетсяучебниковкомплексаисовременногоприборостроения.механикитомахсоответствующихизадачпроцессепроблемичастей,взаимосвязанных"Прикладнаясериимеханикасред".сплошныхПервыйсред)(томучебниксодержитаключевыхэлементовпрактическихтела)Втвердогоприналичияматериала,ПриведенамеханикиВимакроструктурынагружения.характерапрочности,критериевповрежденийилинейнойволновыемеханикиихрупкогомеханикиописаныоиимикро-дефектовмоделиударновол-деформированияпозицийизвестныхподробноипредставлениепроцессыразличныхразрушенияифизическоерассеянныхкнигесред.динамическогоснагружениирассмотренысплошныхразрушениядеформированияданохарактеристикаразрушения,разрушения.немпринциповмеханикизадачМеханикаописанытела,теладляобщихописаниястатического,нагружения.моделисоотношения.самодостаточнымвопросамусловияхтермодинамикибазовыеприведеныфизические2.посвященвидинамикикниги(томуравненийдлядостаточныхжеприкладныхучебниктелтвердыхсоотношенийсред,являетсяглаведеформируемогооперацийпонятий,исоответствующиематериалВторойразрушениясплошныхЗдесьзаключительнойпостановкистроенииосновныхкинематики,даныисредИзложенныйновоготрактовкуконтинуума.сплошныхвыполненного втакжесплошныхмеханикипонятийосновныхмеханикиматериальногоОсновы1.изложениеисчисления,соотношенийусвоения6вмашиностроениясредсплошныхрешенийприкладныхрешениятехнологическихсчтомеханикииприкладноймогутсвязивизвестныхвозникаютнаучно-Очевидно,ужепостановкитехническихКурсидлятакжеапроектов.прикладнойнепрерывноперспективногоипониманиядляипрактикеперспективетехнологийполезнымтензорногоработ,высокихтакмоделейвближайшейвбудетприложений,закономерностисуществуютужеопытно-конструкторскихглубокоетехническихифизическихкоторые(и появляются!)появитьсявпонятияприложений,техотисследовательскихсред.основныепроблем,техническихсплошныхобразованияфундаментальногообсуждатьпланечисленноговопросыдвиженийнеустановившихсяразрушениямеханикасред,такжеапроцессы,вязкогосопрово-ударноволновоедающиежанализвыполненособенностиихВсрешенияиспользованияприменительнопроцессов(впростейшейсеточныеметодысемействаалгоритмычисленногометоды,икакнаизбралиавторыглавнойдостижениеинформациипротекающихвиставитьичисленныхСодержаниекурсукоторыймашиностроительныхтакстудентам,различныхопубликованныхмногихлетим.вН.Э.рядаинститутов,иматериалаучебныхзанагрузок.университетеспециалистамнаучно-исследовательскихнаучно-производственныхобъединенийлекционногоипроисходящихпротяжениитехническомгосударственномкактвердогофундаментальномуначитаютмеханикиосновдинамическихсоответствуетавторыобъемебыстро-физикиявлений,ипроцессовинтенсивныхучебниковлекций,МосковскомБауманаанализаусловияхвсредахсред,минимальномзадачифундаментальныхдеформируемогоразрушенияметодовсплошныхбазесплошныхприконкретныенамеханикилучшихпредполагаетчитателярешатьпроцессовсред,механикепонаучить—процессов.взаложеннуюкоторыйизложения,целисплошныхбыстропротекающихмонографияхиприведенычисленногооснову,стильвопросыиэкспериментаметодическуюучебникахотечественныхлагранжевых,Обсужденывозможностиинструментаиодномерныхрядаметодов.исследованияОпираясьтелазадачиспользованиидемонстрирующиемоделированияпостановки,решениявычислительногопроведенияпредставленыхарактеристик,результатыприрассмотренысхем,методэйлеровыхипримеры,разностныхПриведенынестационарныхпримерезадачиячейках".вэйлерово-лагранжевыхтехнологииНагазодинамическойрешениядвумерныхудара).итеориичисленный"частицбыстропротекающихфизикипонятияосновныедеформируемоговычислительнойвзрываплоскойфундаментальныеванализируютсямеханикизадачамфизикичислеодномернойметодыметодовктомпереходов.Численныезадачразностныхматематикисред,отмеченыпроцессов)численногоиучетом3.(томучебникебыстропротекающихпроблемытелаволнструктурыраспространениятретьемфизикизадачахдеформируемыхнапряжений,фазовыхнагружениеиприродыпособиях,последниеилимонографиях,15Основныебюро.конструкторскихвтойинойразделынашлимерестатьяхвотражениеиобзорах,лет.В.В.СеливановВВЕДЕНИЕПодходзаключаетсявкизучениюпереходеидеализированномупредставлениюописанию.Будемиотчастиц,Vтело,являютсяРеальныминепрерывномзасилхаотического(вогромно1см3NтвердоготелаПоэтомуеслиматериальныхПриабсолютнотвердогоменее6порядкаиNхтакоенеобязательно знатькаждойнаметоды,применениеихвзаимодействиисстроениизатруднено,молекултакикакнедостатоквЭтоцелью—гипотезостатистическихинформациибазируетсявероятностныеансамблюсвойствахмолекулОднакомодели.упрощенияфизике)большомупохарактеристикиспользованиеЭтодвиженияфеноменологический.(развиваемыйдополнительныхпрактикеизучениюкмеханики.среднихвведениечастиц,нахарактеристики.подходаподходнепервого—суммарныестатистическойметодахбыОднакочастицыосновныхкакмолекулыпотребовалосьуравненийвеществастатистическийсред:реальныхкаждойматериальнойдвавсегданесредусловий.средние,определяетдеформируемыхСтатистическийсм3начальныхнекоторыеположение1молекул),нимисовокупностьдифференциальныхчислодвижениекакдвижениядля1024хжезнатьнужно6=порядкадеформируемыхописаниителатела1024междутелочастиц.объемахмалыхпрактическидвиженияизучениетел,Числосодержитсярассматриватьдляразличенвзаимодействиясилыневозможно,междусостояниях.всобойХарактермолекул(молекул)ввзаимодействуютагрегатныхэлектромагнитныеизвестны.8взаимодействияразличныхчастицнаходятсяпроисхождения.ивматериальныхадвижениидвиженияОнимолекулы.иэлектромагнитногонаходящихсясоставляющимичастицами,иДпространстваS.поверхностьюатомыхаотическомсчетобластиограниченнойматериальнымиматериальноематериальныхсистемунекоторойвителом,материальнымподсостояния,заключенаобъемихматематическомупониматьагрегатногокотораяимеющейксредсоответствующемудальнейшемегосреддеформируемыхреальныхвнезависимодеформируемыхдвиженияотприметодовнепозволяетсформулироватьисложномобвзаимодействииогипотезучрезмерноподходФеноменологическийявление)—базируетсядля(отобщих,нагипотезах,изакономерностяхиспользуютсякоторыепостроенияполучаемыеуравненияизаопытаиистинныеуравненийиположенысоответствующаяphainomenonсловаизпринимаютсяподходаконтинуумагреческогополученныхпоследующихфеноменологическогоосновуамолекул,сложны.понятиематериальногопонятиюэтомуВвыводов.гипотезасплошности.МатериальныйбольшогомалыхотведеннуюобразомданномуСледуетчтоотматериальногокачественноопытаэтиувектор(ё)упараметров,Т,устанавливаютсяуравнениямиданныхр,тензормеждудеформируемыхсоотношениями,инаискоростейповоротасостояниеЕ)напряженийсред.(а)выражаемыеКихскоростейсистемаи(плотностьабсолютнаят.д.).ивеличинаминаполученныхописанияматематическогочислуиопределеннымиоснованыкоторыеиспользуютсясреды5,энтропияфизическимивведеннымидляфункций,(вектор(е)(w)),средыдеформацийтензорывнутреннееэнергиявзаимосвязи,инимихарактеристических(и)поворотадавлениеВо-вторых,изучениюпонятий,физическихмеждусплошнойи,внутренняятемпературарядсистемасистемаопределяющихудельнаявводятсяичастицскоростидеформацийкподходомсредвзаимосвязи.движениеифункций.процессы,вводятсяопределяющихдвижениядифференциальногоколичественно,устанавливаютсяВо-первых,перемещенияреальногонепрерывныхихвидевисследованииприаппаратопределяющихоснованииидеализацияфеноменологическимдеформируемыххарактеризующихтелвеществасдвижениявеличин,подходастроенияматематическийсоответствиипроцессовр,ТакаяисчисленияВфеноменологическогоиспользоватьтелинтегральногокразмерамиссравнениюпредставлениюпозволяетдеформируемыхматериальныйотношениюпоатомно-молекулярногоконтинуума.веществаD,состояния.агрегатногопорамкахидеализированномукдискретногоивреальногокотораясоставляющейбольшаяноизсостоящаяпространстваегомалаятела,образом,абстрагируютсяпереходятчастицей,тела,естьобластьотчастьразмерамТакиммолекул.субстанция,заполняетподпонимаетсягеометрическимсреда)независимотелу,отметить,континуум,ичастицсплошнымнепрерывно,(сплошнаяфиктивнаяконтинуумчислаотносятсяуравнения,изопытаповедениявыражаю9фундаментальныетакиещиесохранения(уравненияначалозаконы(уравнениедвижения),массынеразрывности),атермодинамики,такжеВ-третьих,прикоторыхфизико-сред.начальныеифункцииусловия,граничныенайденыбытьмогутметодами.МеханикафеноменологическогосплошныхподходагипотезамимеханикисвязанасВтораясплошныхточкисвязанасредположениеопределяюткоторыенекоторойчисел,помощьюсзадаваемыхотносительносбесконечнопонимаетсяоднозначноточек,гипотеза—континуума.пространствомкоординатами,произвольнойсредматериальногомеханикиПодсовокупностьопределяемыхсплошныхпонятиемгипотезаназываемыхрамкахупрощениях,сред.гипотезапространства.большаяисплошных—встроитсяограниченияхмеханикисплошностисредприПерваяпонятиемсплошныххарактеристическиематематическиминачаловтороеотражающиеизучаемыхустанавливаютсявсеисоотношения,свойствамеханическиеэнергии),конечныепервоеилиэнергии,сохранения(уравнениетермодинамикиимпульсасохранениязаконзаконзаконкакприроды,принятойточки,заначалокоординат.Мерностькоторымиопределяетсябесконечноположениебольшаяпроизвольнойзадаетсякоординаттремяплоскоститочкиявляетсяиоднозначно(долгота) и(рэтовсехдляу,z),точека2 определитьтакиегпространство=физическоенаплоскости\/{х2ввестисистему—х\Jтрехмерноеявляются+1точкамипроизвольнымидвумямеждуформулеможнокоторыхвпрямоугольнуюдекартовуобычноеЕвклидовыевклидовым.пространства,расстояниепорассматриваетсякоторомвявляетсясред,—Следовательно,10может0угламикоординатами:пространство,деформируемыхединуюдвумерноеточкиположениездесьдвумячтопространстваиточек,(широта).движение(х,Двумерныму\.х\,совокупностьюповерхность,определеноточекположениекоординатамисоставляемоеПредполагается,координатСовокупностьz\.пространство,двумяпространство,системег/i,двумерноеположениекактакх\}задаетсясферическуюобразующихбытьфизическомпрямоугольнойкоординатамисоставляетпроизвольнойобычномвпространство,декартовойвНапример,пространстве.точектрехмерноеточкикоординат,числомвточексовокупностьсоставляетпространственаобусловленапространства(уг—УхJ+(*2—^iJипространствоевклидовыми.Этонеотноситсятаккаккдвумерномунельзярасстояниеприведеннойпоточкаминапространствуопределитьформуле,вышесферы,поверхностидвумямеждупроизвольнымизавыходянеэтогопределыпространства.Третьяабсолютноговыборадеформируемойидеализациейчтобысредгипотезе,вДаннаядвижениянеобходимостьодинаковотечеткоторойрассматриваетсягипотезабольшинстварешениигипотеза—времяотсчета,среды.скоростивозникалаэтойсистемыприкоторыхусловияхсплошныхСогласноотдвижениезначений,эффектов.механикивремени.независимохорошейгипотезаявляетсязадач,практическихнетелучетадостигаютрелятивистскихтакихвГлава1МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТМЕХАНИКИСПЛОШНЫХХарактер1.1.СРЕДобъектовматематическихматематическогоаппаратамеханикиМеханическоессистемеотсчетанимиисправил,—вточкикоординатамипомощьюзаустанавливаетсякоторыхточкамимеждуточек.каждойтричисла(рис.1.1).ж^,ж][^,определяютпространствапринятойотносительноначалоза0, имеющей=ж2индексзначениямерностьюж^,точкикоординатж1координатыж3==В0.будемкраткостидлясовокупностьж3г=вможнооднозначноположениеточкиМточкеКоординатыж1, ж2,12это—принятойдальнейшем1.1связаннойкипространства,обозначатьРис.котсчетапространствасоответствиедвижениекоординаткоординатамитрехмерногопоставитьточкесоответствиечисламиДляназываемыеточкиоднозначноеиилителуСистемапроизвольнойвзаимнопространствакиотношениюпокоординат.отсчета,числетомопределяется—системесовокупностьначаловсегдасред,средвдвижение,деформируемыхнекоторойсплошныхточкикоординатж1,как1, 2, 3пределах,принимаетопределяемыхпространства.где=ЧерезлюбуюточкупространствалиниикоординатныеКоординатнаяикоординатныеизменениемкактогдакоординат,М(х1)у(линиидвеповерхностьэто—другиерис.1.2).могутбытьпроведеныкоординатныекаждуютривкоординатизпространстве,постоянствоми(x1)M(x2),точкуоднойКоординатнаяточек(x1)M(x^)J(поверхностиЧерез1.2).местодвух1.2).внеизменнымирис.геометрическоехарактеризуемое(х2)М(я3)трехмерногонапространствалиниикоординатныеитриповерхности.ВзависимостивидаотпрямолинейныесистемыкоординатсистемылиниикоординатныелинийкоординатныхкриволинейныеиПрямолинейныеКриволинейныекоординат,наизменениемтретьейтолькоостаютсяМ(ж3)М(я2),(рис.точекместогеометрическоехарактеризуемоепространстве,проведеныповерхностиэтолиния—бытьмогутсистемыявляютсялиниикоординат,линиями.прямымикоординатсистемыкоординатныекоординат.это—которыхразличаютэто—системыявляютсякоторыхкривымилиниями.МРис.1.2Рассмотримиспользуютсявкартовупрямоугольнуюдекартовойсред:координат,сферическуюпрямоугольнойпроизвольнойсистемы=Мя,х2прямолинейнуюкриволинейные=ву,=де-координатхарактеризуетсяпространствеж3всегокоординат.системеточких1чащекоторыесистемуиВкоординатамислучая,сплошныхмеханикецилиндрическуюположениечастныхтриz(рис.1.3).Координатны13миповерхности,даннуючерезпроходящиецилиндрическойВпроизвольнойх1координатамиугловойх2толькокоординатнаяосиПрямаяперпендикулярнокоординатыz,MMi,последней,Третьяг.х3проходящихММ2,проходящаятольколиниякоординатнаячерезzтолькоМточкуосиперпендикулярнооднойтольковповерхностямицилиндрическойкоординатплоскость,даннуючерезточкутолькопроходящая0),иточкусферическойпроизвольнойхарактеризуется координатойточки0, принятойг).координатами14координатМточких1зах2г=начало=#ив=z(неизменна(рис.1.5)пространстве(расстояниекоординат)х3которойосьюкоординатаположениечерезцилиндрическаяосьявляетсясистемеzпроходящаяповерхность,Восьугловаятолькоданнуючерезиточкуданную(неизменна1.4z),координатаплоскость,Рис.zосиперпендикулярнокоординатаслучаесистемыявляются(неизменнаданнойи</?.z,угловойКоординатнымив.координатыпроходящаявлежащаяокружность,—изменениюсоответствуетz.координатыосьиизменениюсоответствуетМточкуМточкуТак,линиями.черезчерез(рис.z=черезизменениюсоответствуетоси),1.4).некоторойпрямымипроходящаяпроходящейплоскости,отявляютсядвелинияпараллельноточкикоординатойилиний,М,произвольную точкув=координатныхтрехположениехарактеризуетсяданнойкоординатойИзкоординатпространстве(расстояниег=всобойплоскостям.системеМточкипрямые,представляютточку,координатнымпараллельныеплоскости,—осям.координатнымпараллельныеМ, являютсяКоординатныеточкучерезпроходящимилиниями,Източкиотдвумяугловымитрехкоординатныхлиний,проходящихчерезпроизвольнуюМ,точкуОМ,прямаяоднойкоординатыдругиекоординатныекотораятольколинииОднавцентромпринятойпересечениемпроходящейплоскости,Мчерезосьисначалекоординат,черезданнуюТретьяOi)перпендикулярнотолькодляповерхностямисферическаякоординатнойугловойсферическойкоординатытолькоповерхностьснаходитсяв(неизменнаzосьостаетсяЭтиосьюСоднакоординатz,коническаякоторойвершиналинияОМ(здесьнаправляющей—ц>).координатанаиболеечастобудемдвиженийрассмотрениисред.Фундаментальноесвойствоприменяемыхбытьв);координатаокружностьчерезпроходящаяплоскость,сдальнейшемприкоординатКоординатнаятолькосистемытрииспользоватьявляются:координаттолькокоординат.аКоординатныминачалевсовпадающейосью,началеобразующей,неизменнойв.центромточкесоответствуетлинииг);координатаивточкуданнуюсистемысф).координатацентромссферическойжечерезЭтойповерхностьМСэтойпроходящейz.одна(окружностьпересечениемоситочкутольколинияплоскостью,изменениесплошных(изменяетсяточку(неизменна1.5проходящейопределяетсясРис.вцентромкоординатнаяповерхностиявляетсясферическойиz,поверхностиотносительно(снихкоординат)определяетсясплошных—из0,точкеначалоточкуДвег.окружности.заэто—изменениюсоответствуеттолькопрямойявляетсяоднавсред,—выбораобоснованоихнезависимость)(илиЭтокоординат.следующиммеханикиаппаратеинвариантностьсистемыобъектов,математическихматематическомутверждениеможетобразом:15явления—технике,объективнывоздушныхмасси(например,течениеатмосфере,взарядавысокоскоростноевоздухе,илинаблюдающегот.е.изучающегочтоочевидно,—развиваютсякоторымтактеСистемаиликоординатбылозависятнеявленияжеобъективныотвводитсядеформируемыхсплошныхсред,техническиепроцессы.Однакокоординатколичественнометеоритногодекартовойсферическойвыбираетсясистемыудобствапритакноисистемызаконов,системыкоординат.величины,значением:иплотности,зависятпрямоугольной,16отцилиндрическойкакойТ,значениячтоданнойземнойточкекоординатсистемеилиявляютсясвоимтемпературар,вназываютсятензороводнимочевидно,втого,координат,простыхопределяемыетемпературыкоординат.инвариантныесистемыСовершеннобытьсистемынаиболееплотностьдр.этихвыборадолжнысредобъекты,скалярныезаписиматематическиеговорить,преобразованияпреобразованияПримерамивучаствующиепринятоМатематическиеотносительноматематическогоотносительносплошныхотносительнотензорами.координат.инвариантнымимеханикевинвариантнымисистемысред,КакбытьдолжныобъектыбытьдолжныИнымикоординат.выборасплошныхсубъективноотзаконовматематическиемеханикимогутпроцессы,зависетьдолжнынеотносительнообъектыивыраженияСледовательно,объективныхвыраженияподчиняютсяинвариантнымисоображенийиздвижения.явленияисследователемаппаратаобразомматематическиематематическиесловами,координатсистемаописаниикоординаты,выбираемойилиКонкретнаяматематическомкоторымсодержатькакиспользованиецилиндрическойглавнымчтосистемыисследованииикоординат.исследователемзаконов,выбордопустимопрямоугольной,Очевидно,сопровождающееприударатого,механическоеописатьНапример,произволен.дляисследователемдвижениевысокоскоростногопозаконы,иявления.иныеможноприродныечеловека,процессы);ичтобыиземнойсметеоритаэтиввеществавзрывчатогосоударениеобъективны,поверхностьюилирекевводывзрывиприродевпроисходящиепроцессы,сферической)числовымдавлениер,Vобъемдавления,поверхности(декартовойрассматриваетсяневоздушныхдвижениематематическимиопределяемыенаправлениемвсвоимкоординат,рассмотримэлементынеобходимыеимеютодинаковыеилиявляетсяпервогоавектора,—векторас1.6).Суммойдвухсовпадаетконцомначалоониправилупокоторогоконециеслинаправления.(рис.началообладающиевектора,осуществляетсятреугольникавектор,первогоодинаковыевекторовкоординат.равными,считаютсяивекторами,системедвавекторов:модулиСложениеалгебры,спрямоугольнойразмерностью,параллелограммавекторнойоперацийпроведенияравенстваодинаковойалгебрыэлементыдекартовойкисчислениявекторнойЭлементыправилаУсловиеизложениивекторногоосновныеприменительносистемыдальнейшемвэлементыопределяющейиобосноватьисчисления.ОсновныеРассмотримвекторныезначениемпреобразованиявекторного1.2.1.являютсячемотносительноБолеекоординат.числовымПреждепространстве.векторовосновныесистемыобъектамисложными1.2.величиныпреобразованиявеличины,инвариантностьСкалярныемасс.инвариантны относительносовпадают.векторавторогоконецпричемвектора,второговекторовначаломсЬc=o+bc=a—b;Рис.Вычитаниеобратное(рис.свычитаемымкакопределяетсявекторовРазностьсложению.которогоРис.1.6двухвекторомвекторовравнаестьуменьшаемому1.7действие,вектор,суммавектору1.7).17Умножениеправилом:жетусторону,получаетсяположителен,1.8).(рис.произведениювМодульданногомодулявекторамножителя.>0тbт—Рис.Всякийнекомпланарным(векторам,векторсоставляющихтрехвсистемева^,ау,можетпредставленввидепроизведенияскалярнойединичногосоот-параллельноговектора,ветствующейкоординатнойахоси:величиныизбытьивеличины1.91.9).каждыйочередь,некоторойРис.которых(рис.составляющихвекторовazсуммыизосисвоютрех/видекаждыйкоординатнойiилипрямоугольнойВ_y__i-плоскостивекторов)представлена^,векторовтремоднойэтихбытьможетсоответствующейколлинеаренполежащимдекартовойваразложенначалаточекТак,координат1.8несовмещенияусловииО<тобытьможетвекторвекторамнаправлениям.18направленныйииотрицателенравенследующимскалярданномускалярскалярвекторамодуляприопределенона(параллельный)когдакогдаполученногоскалярвектораколлинеарныйпротивоположную,иумножениипривектор,внавектора==ауСкалярныеazk.ах,a>xhа«,а2называются=ау3<>навекторапроекциямиСовокупностьвектора.ортогональныхвекторовобразуетортонормированныйсистемыкоординат.Такимвидевахксоставляемогох)+у)z)cos(a,ау/а,=az/a.косинусыобоихвекторызаданыкомпонентами,т.е.z)какопределяетсявекторовнаумноженноевекторов,Ъавекторами:A-1)1.=а=Ьcos(рис.а1.10).Ьхгсвоимиа+axi + ayjто6zfc,нулюскалярных=byj+произведенийazk+с~"равенстваба-(г-j'векторовг-fc0,=abcosaa»b=0=единицеравенства""^/>разноименныхи(a,cosперемножаемыескалярнот.д.)осью=+двухэтимимеждузисныхугла,косинусу)(а,cosмодулейуглаучетом1.9).рис.направляющиепроизведениепроизведениеих)(а,Скалярное=модуляОтношениевидcosЬcos(a,ах/а>васоответствующейс=(см.иквадратуопределяетсвязывающееимеетЕслиа2компонентвектораравна=векторатождество,косинуса\+векторомcos(a,т.е.а**еговсякогобытьможетвекторпроизведений+ ayj+ azk.координатмодулюданнымвектора,axiсистеме+координат,прямоугольнойвсякийкомпонентквадратоввектора:Тогдатрех=компонентамиосямдекартовойобразом,акомпонентыкоординат,посуммывекторов:Суммадекартовой прямоугольнойэтогонаправленныхбазиспредставлениfc,j,иливзаимноединичныхтрехг,базисныхосикоординатныеРис.ска-1.10произведенийлярныхбазисныходноименных(i-iвекторовпроизведениеaпостроенногоперпендикулярно=axbxпомодулюнадвухплоскостиayby+двухпроизведениеВекторноевектор,b=площадиданныхвекторах,двух+скалярноеA.2)azbz.какопределяетсявекторовравныйl)выражениемопределяетсявекторовдвухl,j'jf=l,fc*fc=параллелограмма,данныхинаправленныйвекторов,так,счто19егоконцаковторомучасовойвращение(рис.выражено1.11).axidyj+векторыВекторноеazk+bиbxiортогональногосоотношениями1.9),рис.jхгхгjf,=Такксобоймеждуxfe=единичныекаксвязаныfc, jf—двухпроизведениевекторноеbzk.+г,fc, j=авекторов:byj+базисабытьможетпроизведениеперемножаемых=путиходапротивпроисходитькомпонентычерезкратчайшемуповекторадолжновекторустрелки=первогог=и(см.т.д.определяетсявекторовобразом:следующимxba(aybz=azby)-(azbx+г(o>xby+axbz)-кdybx)—jazax=¦A-3)bz(смешанное)Векторно-скалярноеневекторовОднакоалгебры.трехскалярнаячисленновеличина,построенногонаДействительно,результатомЬисявляетсяоснованиюнаоснования:206=(ЬS=и6сс)хd,являетсяVнаправленный1.12)рис.а.Припараллелепипеда,(рис.1.12).перемножениявекторовперпендикулярно(параллелограмм,наsin±Fвекторахвекторногос=объемуравнаяпараллелепипедавекторахвсмешанногорезультатом•перемножаемыхвекторэтогоdавекторовиспользованиячастогочтоотметим,произведениятрехвекторнойоперациейеговвидуисчислениитензорномпроизведениесамостоятельнойявляетсяидальнейшемравныйпостроенныйплощадискалярномэтогоумноженииавекторанапроизведениюпроекцииД/3с)|хЬ,а,аповоротспротивсоставляютсобоймеждустрелкиострыйугол),положителен,произведениятройку,часовойвкпутипротивномазнакс.концавектору(векторытоЬ,а,ст.е.кратчайшемупоивысотевекторовправуюходаравнойсмешанногоориентацией6S=перемножаемыхнасоставляютвекторапроисходитd,ЗнакУ.=взаимнойвекторывектораdвектораS/i=равныйскаляр,построенного(Ь•получаетсянаправлениеопределяетсяЕслиснаа\аспараллелепипедапараллелепипеда,векторах:произведенияXоснованиявектораcos6=площадиa=dвекторЬихссмешанногослучае—отрицателен.Смешанноеихчерезпроизведениекомпонентыискалярного(Ьас)хоснованиивыражается(byczbzcy)-формулобразом:аналогичныхпроизведенийвекторного=векторовтрехнаследующим(bxcz+ахbzcx)-+ayах(bxcybycx)az-ауbx=схИзприведеннойформулылюбыхдвавектора,скалярномрезультатпроизведенияопределителятретьегоCzA.4)чтотом,есливекторно-иликоллинеарны,равеннулюто(двестрокиилиодинаковыпорядкаbzСусмешанномводинаковыпроизведении,смешанногоbyовыводследуетучаствующихдляпропорциональны).Элементы1.2.2.связанныеВвекторномспеременнымиинтегрированиемиточкисдифференцированиемизренияифункцийвекторныхСкалярнаяфункциейобычнойявляетсявопросы,рассматриваютсявекторами,аргументов.аргументажанализескалярныхвекторногоанализавекторногофункцияускалярногоf(x)=аргументаодногонеинтересаанализавекторногоискалярногопредставляет.функцияВекторнаязаданной,зависимостиеслиотнекоторогозаданвекторскалярногосчитаетсяаргументаскалярногоа,изменяющийсяаргументав*,т.е.а=a{t).21Рис.Вмеханикепонимаетсяподскалярнымпонятияинахарактеризующегоположениеотносительнодекартовойэтомгслучае=концоврис.(рис.материальнойпрямоугольнойдвижущейсясистемыВкоординат.функциейt,временит.е.1.13).ГодографвекторазависящегоестьместогеометрическоеотгодографомкриваяматериальнойМ,точкиматериальнойдвижениятраектория—Нахарактеризующегог,движущейсяLточекаргумента.скалярногорадиус-векторапространствеявляетсяг,точки,являетсявектора,1.13вдальнейшемврадиус-векторапримерерадиус-векторr(t)положениенеобходимыенекоторыеположениявсегочащеаргументомРассмотримвремя.1.13точки.ПроизводнаяаргументаДафункцииаргументаприведенногорис.моментточкикпринафункциивекторнойкакопределяетсяизменениюсоответствующийМ,drсобойпроизводнойнаправлением22ввекторакасательнойt.временипогодографуv=-—Д*скоростидвиженияОчевидно,чтоаргументускалярномукlimд*->овектормоментматериальнойДг1#=dtточкиdr/dtположению—представляетДлянулю.радиус-векторапроизводнаяпримеравремени,скалярногокпоследнегостремлениивекторнойизменениясоответствующему1,13скалярногоотношенияпределвектора,материальнойнаправлениесовпадаетт.е.свекторскоростивMf(t+At)Рис.касательнойпонаправленк1.14движениятраекторииматериальной точки.Зависимостьрадиус-вектораматериальной точкиМобразом.Пустьскалярногоотсамтраектории,естьtвремениs5,проходимыйсложнаяправиламиsвремени:гпроизводная=изнихds/dt.Второйвидепроизводнойпредставляет=порадиус-векторВссоответствииSV.аргументускалярномудвухпроизведения—собойпредставляетМточкипоdsединичныйДг1в=—радиус-векторасобойасомножительdrявляетсяdtскалярныйматериальной—sгодографа иdsповдвиженияскоростиvds1.14),функции=:dtпредставленаОдинсомножителей.траекторииdr(рис.Мv[s(t)].==—-радиус-векторабытьмодуль=годографа,Тогдасложнойdrможетs(t).=другогоЛ/оточкиточкойвремени:Vт.е.кривойдугиматериальнойфункцияфункциядифференцированияэтосложнымфункциейначальнойнекоторойот—длины—болееизаданаявляетсягаргументапутьбытьможетрадиус-векторотсчитываемойдвижущейсягhmД5->О—Asповектордлинедугиs,направленный23касательнойпокривойкдлиныдугикстремлениикривойЭтоs.нулю(Аг)(см.т.е.Приизучении&*¦внутреннегодвижениясостояниявеличины:ПосколькудлясплошнаяполямискалярныхПолезначенийтойполеположениеТвГ(х,=задатьиливекторнуювпоставитьсоответствующей24положениескалярноескалярную=v(r).vv(x,=я,пространствехарактеризующийvz),2/,у,у,задаютzэтойточкииливекторноерт.д.у,точкиг,началаозначаеткоординат,задатьаргументавекторногорт.е.г,градиус-векторувеличины:р(х,=координатырадиус-векторполеирекеоднозначноПосколькукаждомуфизическойвспространстве:z).втемпературыводыотносительнофункциюсоответствиеиликоординат,вточекточкепримерасвязанополяотсовокупностькачестветеченияскоростивеличинопределяющихдавленийописаниезависимостейсделокаждойвВполевекторноеэтозаданныхпространства.Математическоеприсловами,иметь—величины,скалярноеатмосфере,установлениемвекторноеобластиназватькаждойввеличинвеличин.векторныхинойсостоянияиприходитсясредилиилирассматриваемойможнодвиженияпространства.скалярное—некотораязаполняющаяИнымисплошныхидр.естьдвижениедвиженияиобразомееобластиописаниивекторныеvскоростьхарактеризующихкакой-либоточкесекущейрамкахконтинуум)описаниезаданиемсиииТ,сплошнымпространства,связановскалярныенепрерывным,частьдвижения(материальныйсредасубстанция,средописаниятемпературар,(As)кривойсплошныхвводятсясредыдавлениесекущая-1-Asподходапри0)1.14)рис.As-+oфеноменологического—>положениедугип.чтотого,(Asдугизанятьстремитсядлинысближаются,издлинызначенияавозрастаниясторонуследуетприращенияАткривой,квутверждениегодографакасательнойгодографа=р(т),значениеТ=Т(г),z),ТшТ2-constT—T>Рис.Графическиповерхностейуровняповерхности)Это(р(х,частности,свидетельствуетобластипространстве,z)const=ит.д.).изоповерхностиможноизотермосудитьВпространстве.вкдругизотермизменениидругуданнойвтемпературыксВекторные1.16сДвижущейсяv,помощьюлинийВвекторкасательнойполяграфическилиний.Например,ней.Модульсвязанпри(t>i,i>2,векторасографическомстепеньюизображениялиниямипотокпоказантокапрямоугольнойM2,М3)(Mi,т.д.)V3ивданнойсближенияизображениипоточке.такженазываютсяточкеvскоростиккаждойданнойвдекартовойотносительновсовпадаютточкеграфическогодляскоростикоординат.каждойвектораиспользуемыевекторарис.которымлиниитакиевнаправлениемлинии,поляЭтополей.касательныеграфическогодляиспользуютсявекторныхнаправлениютокавзначениюжеj/,показанывидурезкомлинииизображениясистемыточектомуТ(ж,const,(изо-уровняизображенияпространства.ВекторныеНаирасположениеболееопомощьюместотемпературыблизкоесПоверхности1.15Пораспределенияболееграфического=рис.(изотермы).характереz)у,напримератемпературыдляодномувеличиныкачествеудобногеометрическоесоответствующеескалярнойВвекторныхполей.пространстве,полялиний.используютсяскалярныхconst1.15изображатьи—тока.жидкости,любойлиниипонаправленобластивекторноговекторныхполяскорости25*ъ*ъъ.Рис.течениянесжимаемойпеременногосечениялиниитокатечениячастиктеперьвОпределениеопределениетемпературы Т.точки1.18)функцийпространства.векторноговзадано1.18сРассмотримполяскалярногопримересчитать,величин,векторнойсвязаночто(рис.инаправлению.Рис.26скоростивектораосновныхвеличиныпонаградиентаБудемрасположеныфункцииэтойфункциикоординат(модульокрестностискалярнойГрадиентпроизводнойтрубыскалярнойаргументааргумента.густорассмотрениюизменениевекторноготрубевнаиболеемаксимален).характеризующихсистеме1.17),жидкостиПерейдемвычислением(рис.узкой1.17движущейсяжидкости,самойвРис.1.16прямоугольнойдекартовойскалярноеполетемпе-ТратурыТ(ж,=спространстваМ\уМнаправление5,изменяющаясяхарактеризоватьВдольпрямой1).у2/E),=zпроизвольнойфункциейТ(х,z)у,z(s).T[x(s),направлениювектораdsвДифференциалыдуdsкоординат5, отсчитываемой2/,ж,zds.величинуИзdzсзаданногоdsотвечаютизменениямизменениемкоординаты5,векторанаправления(см.соображенийгеометрическихпопроизводнаяdzdsсоответствииввдольсравнаdx,dyyкоординатаргумента:соответствиифункцииМ5:Ттемператураскалярногоz(s)].точкедхвектораВсложнойsотодного2/E),zу,я,направлениюСледовательно,ММ\только=координатызависимостипопрямойдифференцированияправиламиММ\в=произвольноеединичнымМточкиМточкуиzбудемотсложной—произвольнуюj,изменяютсявдольявляетсяТ(|s|=x(s),=хВыберемa;пространстваотсчитываемойточеккоординатыz).укотороеsвекторомукоординатамина1.18)рис.чтоследует,илиНасвязывающегооснованиинаправляющиеdz/dsмогуткакдлятождественновышепроизвольноеsxi++5zfc,направление,длинынаправляющиеприведенныекомпонентам,компонентамиявляютсяSyjегоравнывеличиныпроизвольноеединичнойвекторакосинусынаправляющиевыбранноехарактеризующегокосинусы=какdy/ds,dx/ds,величинывектора,рассматриватьсяТакнаправление.A.1),тождествакосинусывектора,sизвестногоединичноговекторавыбранноехарактеризующегот.е.dx_dydz__27ИзсоотношенийпоследнихвзятаяМточкевпространствапроизведениедвухдтОдинат.полученногокомпонентамипроизводныеданнойвпочастныесоответствующимградиентавекторомточкепроизведенияявляютсяфункцииназывается—скалярногокоторогоскалярнойкоординатам,функциидтсомножителейизскалярноекакопределяетсявекторов:дт.вектор,—потемпературыsвекторачтоследует,производнаяединичногонаправлениюA.5)A.2),изискалярнойТогдапространства.ОТдТ.дТA.6)С\гг\A.7)ФизическийаргументавекторногосоотношенияградиентасмыслA.7)пространства,температуры ГивТ(ж,=единичнымуровнятемпературы вдольу,векторомsyвданнойповерхностичереззаданокоторомz),вдольнаправлениесПроведем1.19.рис.поверхноститочкепоМуровня(рис.1.19,остаетсяgradT28помощьюМточкупроизвольнуюполескалярноеповерхностьнаправленнымфункциискалярнойустанавливаетсяуровняТуровнякасательнойопределеноа).Пустьconst.=кповерхностиЗначениенеизменным,поэтомуqradTскалярнойпроизводнаяdT/dsНо0.=образом,векторградиентавуровнязначенияпопроизводнаяградиентауголмеждуградиентанаправленОтметимdT/dsопределяетсяВэтоммодуляпроизводнойквекторвектор=0(рис.cosТогдаs,векторфункции.с|gradT|cosa.=A.8)попроизводнаятомв).когдаслучае,пкотносительночтопоонаповерхностиПоэтомусказать,взятойонравеннормалинаправлениют.е.=бытьможеткaв1.19,можнофункции,п0.связаназначениеградиентаградиента>sвекторнаправлениюполучаетуровня,нормалиа•скалярной\s\•|gradT|аТединичныйинормалиаповерхности<апонаправлениюскалярнойgradтг/2,увеличения|gradT|случаевектора5максимальное=произведениечто|gradT|чтопои0),>соотношением=Очевидно,направлениюМ(dT/dss:производнаяgradT-5=возрастанияточкевскалярноесторону,градиентавектораOSГсторонучтотакже,—жетувсторонувектораgradслучаемодулемпединичноговповерхностейб).