Бабкин А.В., Селиванов В.В. - Основы механики сплошных сред (Том 1), страница 6

)+значениеформулойобозначенийVjUiявляютсялюбоеприниматьпоэтомупорядокпомалостипренебречь.деформацийможномалыхвидeij^O^iViUjВоперациювидetjприобретаютgkl),=дифференцированиюжонглированиетензораприобретаютRlRkд\,=геометрическиекомпонентымалометрическиеRlЯ,иОкончательноопределяющиепроизведенияковариантномувеличинами,какскалярныесоответствующие(llk-Rjкоэффициентыявляющиесячтодалее,дальнейшембудемсоотношенияпричтосчитать,имеютвид+изложениивопросовдеформациималы,B.10)VjUi).теорииадеформацийгеометрическиеB.10).123ПриведемрассмотрениекраткуюдеформацийтензораЗначенияегоEijт.е.0,5(Чщ=VjUi)+деформацийдевятивторогоявляетсяскомпонент=чемeji,=симметричнуюматрицуугловПомимо(е)=размерности.Некомпонентытензоракоординаттензордеформаций.деформацийимеютбытьточки.деформацийтензоратакжедеформаций,тензорапоeijRlRJгдевбазисныевПоэтомуцеломпредставленпричинам.декартовойвэтомимеютневекторыразмерностивилиследующимвведенислучаеисходнойсистемематематическимявляетсяОднако,размерности.имеющимматериальногорассматриваюткоординат,можетсопутствующейцелесообразнодеформацийнехарактеризуют6{jдеформацийчтосистеме?2з)деформированияданнойиндивидуальнойе^лдеформации,Остальныекоординат.компоненткомпонентыонотносительныхвдольвзятых?13,окрестноститеориидиагоналилиниямивведенныхвсмысломглавнойсистемы{е\2,Вчленами.геометрическимнавследствиевобъектом,?33координатнымиконтинуумаТензорпрямоугольной?23коэффициентыматрицыB.4))?13отрезков,междуфизические?23деформацийкоординат(см.?22находятсяэтойсистемы^12различнымисопутствующейэлементы?13шестьюматериальныхлинийкоординатных?12вышематрицыудлинений?11установленнымтензораприведенной124V.-Uj)+симметричным.образуетболеенесоответствиитензор,(Ч,щ0,5рангазадаваемуюистинныеизнапример,=компонентего(М)измененияследует,B.10):тензорСовокупностьчередованияпорядкомЭтосоотношенийгеометрическихранга.второгоразличающихсяодинаковы.индексов,тензора—компонент,ввведенногохарактеристикувлюбойкакдругойивсякийсистемеоставаяськоординат,инвариантнымпреобразованию,такомуапоследовательно,отношениюкбезразмернымоставаясьобъектом:Вновойсистемеприобретать(ж1дг/дх1—г,=размерностьюГ2второйх2координатызаданияобладатькомпонентыкоординат,такбезразмернымИтак,координат.Этоприкоторомбазисныетензоракомпонентыеге*жеостанетсядеформацийпроизвольнойсистемеиспользованииприобъектовВыражениеосновногофизическихдлявединичныхвекторамколлинеарныхиликомпонентдеформацийтензораобъектыматематическиечтомодуля,преобразованиямивэтойвобразующиесяпреобразованиидополнительнымимогуттензортензоравсобственногоотносительнослучаеразмерностьюслучаематематическихвекторов,базиса.получаетсякачествепроизвольнойвэтомвзаданиябазисныхвзаимноговобъектом.компоненты,безразмерныхвобразом,компонентыегослучаекачествебазисныхтензоратолькофизическиевобладаетвыбораобратнойдеформацийтогдакакимеютнеобъектыматематическимвводятся=е^ггг3=вектораdr/dzдт/двматематическиеразмерностью.системедва=Таким(е)Нодолжныгдев.углабазисныекоординат=базисныхследствиемдеформацийтензораобладатьVQявляетсясистемеz)=дг/дх^дг/дх2==чтодлины,гзмогутцилиндрическойя30,итретийавекторыв=дг/дг=размерности,системеНапример,я2размерность.координатПбазисныекоординатвиду,кпринормируютсясопровождаетсядлянеизменностисохраненияцелом:диадные—векторов;тензораединичныхпроизведения?л-.\деформаций=Eijyg"у/д^(суммирование—безразмерныхфизическиепоiиjотсут125ствует!).Очевидно,размерностьдеформации,также,соответствииB.4)сфизическимкомпонентыфизическихототличаютсяИзабсолютнодвижениядвижениявокругДвижениедеформируемойосивозможноточкамирасстоянийчастицахдеформационнаяиещевчтопотому,бытьмогутиндивидуальныхразличныхсреды.Насплошной2.8рис.началоотсчетаточкихарактеризуетсяпоказаноположениевремени.МобъемаиндивидуальногомоментадлясредыиндивидуальнойtвремениПоложениеотносительноРис.2.8принятогопроизвольнойотсчетаRрадиус-векторомto,=системыt=t126движения.составляющиенеодинаковымисовершеннопоявляетсяэтомусложняетсясредыитаксложным,составляющаядеформируемоймасс.центриндивидуальнымимеждуПридеформационнаявращательногоболееконтинуума.вращательнаянаблюдателясреды1)=движениечерезявляетсяд^складываетсяимасспроходящейизменениедополнительнаячтотелацентра=?(ij)-известно,вращения,материальногоДвижениеS{j=(недеформируемого)поступательногокакислучае(дггкоординатмеханикитвердогоизпротивовесгеометрическими,В частном?(,,)•отсутствуеттеоретическойкурсакоторыесистемынимимеждувназваныкомпонентпрямоугольнойразличиезаSijyввведенныеслучаебытьмогутимеютбезразмернымиобщемвчтокомпонентамдекартовойкомпонентыявляютсят.е.Отметимвеличинами.физическиечто=Л(^,f2,?3).ВыберембесконечновиндивидуальнойположениекоторойdR=малойМточкидругуюиндивидуальнуюотносительно(дИ/д?г)формированной<f?l,R{=переменных,индивидуализирующих(лагранжевыкоординаты),МточкикмоментуновоеПрииперемещениееезанимаетположениеперемещенияданноймалуювеличинуВ общемdu=(итензоровМ\Перемещениеи\Ми\f2,t^f1,—СJиdu.?3).какиспользованиемчерезd(ukRk)v=определяется(du/d?%)d?%.основе+иразнымиинаибесконечноdu:совершаемыеперемещенияфотнаперемещенияинаходящаясяаотличаетсяи\точки=МковариантныедифференцированияправилполучимduВпереместилсяперемещениеразличны:u^Rk)=произвольномуточкаперемещения?2, f3)векторакположениеотносительногокомпонентычтосовершаетперемещения,отпереходуиндивидуальнаяМ\точками,dt^f1,сплошнойобъемзанимаетМ[.случаемалыесчитать,относительногопредставлениякоординатиндивидуальнойиндивидуальнымивеличинаиэтомточкаокрестностиПоэтомуБудеминдивидуальныйданнойвбесконечно—неде-векторысоответствующиеto>положение.совершаетвtвектором—точкиМ\.точкевремениdt?М;приращениявЛггдесопутствующейточкесредыхарактеризуетсябазисныесистемыиндивидуальнойMi,точкуМточкиd?lданнойокрестности=соответствиитензоровспредставимточкиМ,ивекторавектораdu=ранга(Vjtijb)абсолютныеявляютсякоторогокомпонентданнойотносительновтороготензоракакR\d?',=М\точкинекоторогокомпонентамиduперемещенияdRположениеiумноженияскалярногоотносительногопроизведениеначальноеRkR(Vii jb)-правиламивеличинускалярноехарактеризующегоdCRlRk,производныеперемещения:(V,-«fc)Л*^=(Л,#')•(у,-«кЛ>РЛ*).127Очевидно,чтокакпредставлен=VнасградиентвдействиявперемещениясвязисчемвидещК=суммывтеперьтензоровдвухиградиентомПредставим.относительноеГамильтонаиViUfclVR=бытьможетявляетсяподходомgrad(tt)Rоператораперемещениявекторсимволическимперемещения{U^R1VрангарезультатУг(..

)Л1соответствиивтороготензорвторогоранга,наразделитсяперемещениедвесоставляющие:du(л, #')=Перваяравна[о,5(У,-!**составляющаясоответствиииндивидуальнойперемещенияивопределенного(е)деформацийтензора=относительноготочекиндивидуальныхB.10)исоставляющаяэтачтоdRвектораМточкеОчевидно,B.5)спроизведениюSikRlRk.RlRk]Чкщ)+вскалярномуданной—•задеформированиясчетравнаdUjxВтораяжеточке(Л/ d^=(eik&R^.составляющаясамогоравнаdRвекторатензоракотороговторогоОтметим,чтоперемещенияточкиточки,какdun128=даннойкомпонентыабсолютныхB.12)относительноговс(Ri d?l)того0,5(Vt-uib-Vjfct 1-).=малойбесконечновсейповоротомжесткогоединогоB.11)с/Л.перемещения:находящейсясвязана•вu^R%Rг,составляющаявтораяточки,данной(а;)=полуразностивектора(е)=определенногоранга4-ib(е)произведениюнекоторогокаккомпонентпроизводных•скалярномуипредставляютсяdR=окрестностиокрестностиданнойцелого:•(uikR'R^=dR•(и).B.13)Тензоротносительное(и)рангавторогоперемещениезасредычтоследует,utjVjUi)-Следовательно,компонентвторогорангатензорасVtuj)-=-uji.являетсяповоротаСовокупностьматрицупорядком(VjUi-0,5=тензорантисимметричным.различающихсяпротивоположны:(Vt-t?j0,5=B.12)Издвижения.компонент,индексов,сплошнойточексоставляющейзначениячередованияхарактеризуетиндивидуальныхвращательнойсчети^КгК=равнымиобразуетповоротадиагональныминулючленами:0(М)поворотаразличнымипоболеенехарактеризуетсякомпонентамимодулю0-CJ23-CJ13,ТензорB.14)0-ичемтремясобойпредставляетпсевдовектор.Покажем,перемещениядействительноточкиМ.ссвязанаИз-Я2(и;2зпоследнегоdunтензораdt1)W12~di1+Пвектора=П,-Д1чтоB.14)ь>12^?2)-d?2).о?2зсобойпредставляетвыраженияумноженияи^A^гКк,=поворотаRl(—ui$d?*=R3(u>m+даннойокрестностиследуетduuзаписи:df3относительногоповоротомB.13)выраженияразвернутойквекторногосантисимметричностиучетомприводитdunсоставляющаячтоПравая-частьрезультатdRнавектор(П.-Д1')хd&Rj,=такчтоипПриэтомтензораB.15)кинематикивращательного-9712(dR)п\Пи^ъ,^2компонентамискоростьпроизведению^3~^133абсолютнолинейнаяB.15)определяются==^12-тела.твердогоабсолютновращенииоси(d?jRj).соотношениямизвестнымпривекторному=вектора—движенияДействительно,5хсоответствуетзакрепленнойравна(П)компонентыповоротаФормулатела=vвекторатвердоголюбойвокругтелаточкиугловойэтогоскорости129Соирадиус-векторавыбраннойВосиотносительнотожеточкоймалыйduu(a; di)=vхft=xповорота,векторуугловойПоследнеепрактическиэквивалентноB.15).выражениюРазличиезаключаетсядляабсолютнотвердоготелаприведенноелинейнойскоростилюбойслучаерассматриваетсядвижениевсоотношениедлясправедливодляиндивидуальнойдеформируемойегочтотом,теладвижениеацелом,влишьрассматриваетсяточки.средывращательноемалойбесконечнолишьокрестностиМ,точкииндивидуальныхB.15)выражениеалишьсправедливо2.9вектор—скорости.соотношениеРис.dta;=коллинеарныймалогоВ2.9).<Й,времениftгдет»,(рис.rрассматриваемойинтервалгхuj=совершаемоебесконечнозавращения:перемещение,времяопределится какположениехарактеризующегог,точкидлявнаходящихсяточек,этойокрестности.ТакимMi,точкиМ,вместеобразом,полноенаходящейсяскладываетсяизМточкойсдеформирования,аданнойточкиеезаУстановимвиндивидуальнойегоспростейшимперемещения130B.16)duu.смыслчастныйслучайматериальноготензорадвиженияиконтинуумадеформированияпримеромБудемобъемаокрестностицелого:геометрическийрастяжении.индивидуальноговследствиевсейповорота=Рассмотримчастицыодноосномсчетжесткоготеперьцелом.точкиперемещенияперемещенийтакжещдеформацийпоступательногоединогокакданнойокрестностиотносительныхииндивидуальнойперемещениемалойвсчитать,материальногостержнячтосопоставимприегопослеконтинуумаего'/ / / / / / / / / / / /мii=0)Vij,()(S)*OРис.виотсутствуеткакданнойееточкеэтомнаслучаезанимаетновоеизрис.2.10).торецдеформацией<1ицполучаетс=(е)М{.вB.16)иB.11)B.17)dR,•Этокакслучайназываемойтакдеформации.одинположение=Вположение,соответствиив(е).начальномдеформированияположениеРассмотримодноосномузанимающаяопределяемоечистойМивточкиивдеформацийнаходящаясяМ\,точкавследствиеМточкисостояниеданнойи\точки0.=тензоромсостоянииdR,перемещение,{и)индивидуальнаявекторомчтоокрестностиперемещенияокрестностиостаетсяисчитать,деформированноенедеформированномималойзадаетсяималойзадаваемоетакжет.е.отсутствиеокрестности,определенолюбаябесконечноБудемцелого,несмотряповорота2.10).жесткогочто,(itперемещаетсябесконечноповоротединогоПредположим,не(рис.положенииисходномММточкаиндивидуальная2.10М—МкотороготорцовБудемвМ\—М\получаетMj—М[.евподвергаетсячегоонА/перемещениеПолученноерастяженияаудлиняется,иегоновоезанимаетД/перемещениенаправлении(см.закрепленстерженьрезультате/о,длинойначальнойнеподвижночтосчитать,растяжению,сстерженьтеперьсвязаносочевиднымсоотношениемД/=B.18)131ВобоихслучаяхточкаинеподвижноймалойМ\,точкавекторомсовершаетосевоеВхарактеризуется(г),аводеформациисостоянияиB.18):ивеличины,левыхправыхскалярныеНавыводвводитсявсвязидеформированногорастяжениюсеченийв132когдаиндивидуальныхперемещениясуществу,кнаправлении,являетсяболеесложномуслучаюместоимеютТензорточек.обобщениемплоскихегоперемещенияхсостояния,послучаяодноосномувозможныходномдеформаций)(тензорпростейшегоотпереходомсделатьможнорангасоответствующегопритолькопространственныеточек.второгосостояния,стержнядеформированногодеформаций,сопределяющейвеличины,сопоставлениятензоравеличины,иприведенногочтотом,деформирования,счетиндивидуальныхоснованииосодержатсязасостояние,положениесоотношениямиструктурепроизведенияхарактеризующей деформированноеначальноесвоейперемещения—описываетсяточексоотношенийчастяхопределяющиехарактеристикположенияповвеличиныотодинаковымиB.17)перемещенияосевойзависимостьслучаяхначальноговтороготензоросевыелишьдеформированиясовершенновобоихточекдвижениескалярнойввновеличины,возможныНаконец,вследствиедеформированногосостояниеиспользуетсяточки,достаточное.скалярнойдеформированноепространственноекогдавтором,Mi—Miхарактеризуемоеспециальнойпомощьюсечений,плоскихперемещенияслучаяхданнойокрестноститочкаторецслучаевторомвозможнокогдаслучае,вследствиеперемещение,вообоихсазаданнымсиндивидуальнаяслучаеперемещение,Д/.ТочкиперемещенияпервомаdД,положение/о)-пространственноелишьпервомвиндивидуальнаяначальноевеличинойduR,величинойрангаМ\—Mi,торецносовершатьМвекторомсовершаютдеформирования,этослучаехарактеризуетсяположениемхарактеризуемоеположениемточкискалярнойначальнымстержня),М—Мторецдеформирования)(в первомэтослучаепервом—окрестностиэтослучаезадаетсяможетвторомкоторойположениевторомкотороговоточкибесконечнонаходящаяся вва(дозаданнымсотносительновоМ,точкаиндивидуальнаяостающаясясреды,(внеподвижнойдеформированииприточкасуществуютизвестнойизкурсасопротивленияосевойматериаловслучайсложныйИтак,деформированногодеформированногоиконтинуума,относительного удлинениядеформацийДействительно,идлинуdRyвdunвеличинойнаматериальногопроекцииОтношение=du%изменениякотрезкакоэффициент•бесконечномалогоdun/dRдлинеудлиненияточкевопределяет1п материальноговыбранномотрезкатг,направленииполучим((е)-п).п/„=илисучетомправилlnгдевспоэтомуотрезка,=длиныиндивидуальнойпоэтомутоначальнойегоотносительногоданнойперемещенияэтогополучимdunматериальногоопределитсяотносительногонаправлениеB.17)учетомчтоММ[,положениеотрезкавекторапервоначальное\dR\так,своюизменяетновое=пвекторомзанимаяэтогодлиныИзменениеdRдлинудеформированиясдвигу,2.10)рис.материальныйединичнымрезультатеподвергаетсяdu^малыйзадаваемуюn=(см.М\деформированиядоточки.деформированиярезультатебесконечноимевшиймалогоданнойокрестноститочкичтоориентацию,dRвиндивидуальнойозначает,MMi,бесконечновполученноеdu^материальноготочкенаправленноговзятогоотрезка,отрезоклюбойточки,коэффициентпроизвольноперемещениевустановитьматериальногоиданнойокрестноститензорможнофактическиточкеперемещениедеформирования.Определиввопределитьврезультатевиндивидуальнойвпозволяетнаходящейсяточки,болееэтотхарактеристикойявляетсясостояниясредынасостояния.деформацийтензорсплошнойвозникшеедеформацииeij,даннойвыбранноеn=—•(nkRk))•(nlRi)=компонентысоответственноточкетензоровумноженияскалярного((eijlVR?)B.19)иединичноговектораSijnlnj,тензорап,деформацийхарактеризующегонаправление.133Очевидно,чтобытьможет(вбудетточкетелесномбольшое4тг)углесоответствоватьотносительногосплошнойохарактеризованным,себесодержитотносительноесоответствиидеформацийиндивидуальнойпозволяетданнойокрестностиформулой.точкесплошнойдеформированногоБудеминдивидуальнойтензордеформацийэлементарный материальныйдеформации.главныепредставлениедеформацийчтосчитать,(г)2.10).осямидеформацииточка134Mi,направленияизменениевв(рис.окрестностикоторыхдеформированиярезультатедлины.вмогутнаправления,изменение(см.бытьнаправленияминазываютсявдлиныпространствекоторыеглавнымиотсутствуютнаходящаясяопределенпроизвольногонаправлений,точке,вслучаеориентациюмножестваотрезкитолькообщемиспытываетдеформации)материальныеиспытываютвдольменяетданнойв{главнымиВдеформированияИзсостояниет.е.среды,E{jR%W.=отрезоксдвигавыбраныдеформированноезаданосплошнойточкерезультатерис.вдеформацииоситензоравследствиеудлинениянаправленииГеометрическоеит.е.среды,произвольномГлавныеивтензорточки.2.2.2.пвЗначит,относительноговотрезкаопределитьнаправлениявышекоэффициентопределитьматериальногобыкакпозволяетконкретногохарактеристикойявляетсявидляприведеннойсдеформацийинформациюэтубольшаяимТензорудлинениеполностьюбесконечновсясоответствующихивсювсчитатьможноудлинений.всостояниясостояниеизвестнанаправленийотносительныхэтихкоэффициентасредыеслисовокупностьизкаждомуДеформированноеточкекоэффициентовиразличныхчислозначениесвоеудлинения.индивидуальнойконтинуумаматериальногобесконечновыбранонаправленийнаправленийлюбойв2.11),Сдвигит.е.точкивглавныхосяхиндивидуальнаяМнаглавнойосиГлабнаяосьдеформацииРис.деформации,вперемещениеэтоговдоль2.11деформированиярезультатеA=dRгдепнаправление;ndR=некоторая\dup\вдольнаправленногоначальной длине\dR\относительногоПридеформацииикприводитРезультатомнаАп(е)векторXn3gijR%.жекусловиюn^R•п(е)riiR1—результатеравенстваПринулюdRХпXdR,==0.(е)=скалярномn3gijR1=тензорноеисходноеп—главногоSijn^R1.п•деформацийискомого=(e)=тензора=векторВдеформацииdu^уравнениюумножениятотнакакосиглавныеглавныеB.20)итензорномувекторумноженииприводитсяB.17)векторявляетсяэтомусостоянииимскалярного?ijR%RJнаправлениясоответствующейдеформацией.соответствующиеусловийизвдольотрезкадеформированномизвестномопределяютсякоэффициентоминаправленияглавнойнаправлениюегокявляетсяматериальногоглавногорассматриваемого=онаудлиненияглавномучтот.е.отрезка,деформации,оси—отношениематериальногоэлементарногоглавнойdR,=Анаправления;А естьВеличинавеличина.длиныглавноеглавноговекторскалярнаяизмененияB.20)dR,определяющийвектор,—единичный—получаетнаправления:получаетсяуравнениевектора:135возможночтоеготолькоравенстваусловиипри(eij-bgij)n*гдеgijсистемыкоординатТаквранееj=ипрямоугольнаяд^уравненийсистемадляп1,компонентj),i\фп3,(бцА принимает1F22+СистемауравненийтрехуравнениеB.21)п3п2,п1,величины:А) п3~включает=0;-0;=0.B.22)Изчтоследует,приниматьпоэтомутрехуравненийимеетненулевоенулюэтоэтой11-А?22Ауравнению,векового)(илидействительныхсоответствующих136определенныхA?23?33Атремглавных=~=AiвслучаекогдаАхарактеристическогоB.23)уравнения=?ьА=А2деформациямглавнымнаправленийB.23)0.кубическомукРешениекорнялинейныхсистемлишьт.е.названиеносящемууравнения.B.21)однородных?13-приводитопределителямогутсистемасистемы,?23?13нетеориибыть?12?12Раскрытиеп2,можетопределителягг3п3Изрешение.чтоизвестно,B.22)Lпоэтомуп1,п:векторап2,значения,относительноуравненийравенствап1,величиныодноещенаправляющегонулевыелинейныхнеизвестныеввести=одновременноB.21)четыренеобходимоединичностиусловие—А,и+(гзз+?13п3?23п3+А) п2-ивидепп2+(илипп)векторЛ) п11=записинаправленийопределяющих-(д^координатглавныхдеформацийкоординатразвернутойвтоопределенияп2,главныхсоответствующихсистемысистема0 при=состоянии.сопутствующейкачестведекартовагсопутствующей(недеформированном)исходномвкакпринетрех0,=коэффициентыметрические—принятаотносительновсехнулюкомпонент:=?2идляni,ri2И713.даетАтриАз=трех?з>=покаГлавныенаправлениядеформацийВдеформаций.обращаетвэтойвссистемаИтак,=бытьп3,6ijRlRJ(щга•Следовательно,прямоугольнуюдекартовукоторойвзаимноединичныеЯ*,J?3Я2,с?3-?2,ипзМожновзаимноига,осямидеформациисистемукоординат-гад.0=приувекторыrai,векторамиглавныеф к).?у2, г/3),(г/1,базисныеединичнымигсвязатьможнонаправления.П2,П3,Напоказаныконтинуума(?2),(f1),линии(?3)недеформированнойсистемысопутствующей(взятойкП2,Мточкевкоординатныекоординатдекартова),каквзадающийкоторойдеформированное состояниедеформацийобщемуказанных—соответствующие2.12материального?j,ортогональныесовпадаютопределяющимирис.гприглавнымисгц,=могутсредынаправления1=д.(?)сплошнойдеформацииглавных?з).или?2,направленияглавныетривсеперпендикулярныотглавныхтричтонаправлениеилисостоянииточкеимсоответствующие?i,деформированномустановленыпоказать,(илииндивидуальнойвглавноеискомоезаданномпринеизвестныхтрехдеформациидвакакрассматриватьсямогутопределяющихуравнениеоставшиесяаB.22)трехЭтодругих.относительноглавнойданнойдляизрассмотрения,уравнениемп2,п1,величинизооднодвухуравненийтрехдеформацийизговоритB.23),исключеносочетанииглавныхглавныхт.е.следствиембытьможетизчтоприизвестныхсоставленныйуравнений,являетсяуравненийсправедливаужелюбаявремяопределителяB.21)уравненийжеизопределитель,системыстрокпропорциональностиА любойтонульглавныхтрехB.21)системакачествевизсистемыосновеДействительно,использованиикоэффициентовнаопределяютсяB.22).B.21),каждойдлятензор(е)—случаенуляSijRlRJимеетдевятькомпонентE{jкоординатныхвотличных(отрезкили-Рис.2.12137нийвдеформированияпроцессенимимеждуизменяюттакжепоказанырисункепоосямичтохарактеризуетсяУчитывая?3-деформаций,можнопрямоугольной системеосямиот(ецдеформациям=тензорасвязаннойсравныеиндексами,Е\,?22?2>=?ззотличныетри?з)>=приобретаетивид:ЭтиEiRlRl=e2RlRl+деформацииглавныезначениями?3Я?<+называютсяB.24)главнымитакжедеформаций.тензораГеометрическимобразомповерхностьвторогоКоши,индивидуальнойкотораятензордеформацийкоординат(рис.окружающейданнуюпорядкаМточки(?)2.13).точку,будемсредые^ггг^Выберемобластисистемепространства,произвольнуюзточкуМрадиус-векторомхкгь>=хкгде—градиус-векторакомпонентыдекартовой(дляпрямоугольнойсистемыотносительноположениеточкихарактеризуетсясовпадаютЕеМ\.относительногзаданнымсчитатьпроизвольнойввДляобразом.следующим=деформацииповерхность—сплошной(?)деформацийтензоравводитсяt138главнымилишьимеетодинаковыми?2>декартовойвдеформацийс(г)являетсячтотензор?ькомпонентG71, rj2, 773),компонентыпростойсвоюкоэффициентамисмыслкоординатнуляизменяютдеформациямиглавными—изменяютненоутверждать,деформации,главнымотрезки,соответствующимиудлиненийгеометрическийотносительныхжеосямидеформирования,додеформирования,послеэтомглавнымисматериальныеглавнымнаправленияНасовпадающиеЭлементарныедеформации.направленныедлину,т;3,углыдлину,значения).свои771,7/2,осисвоюизменяютоникоординатсточкикоординатамиточкиМ).М\Определимдвойноедеформацийискалярноепроизведениерадиус-векторатензораиспользуяг,тензорнойправилаалгебры:((е) г)•Вг¦(foyrV)=получена,результатезависит,(компоненты(компонентыопределитг).местогеометрическоеследуетизданнойточкибытьB.26)иповерхностьопределяетМкдеформации.описывающееповерхностьгдеconst/г2,и1пгдебесконечновзятогомалоговданнойэтомвгеометрическоетаких,значениечтопонаправлениюдеформацииприводитсяобратноотрезка,точкекнаправлениюповерхностидеформацииданнуюокружающихданнойвидуотносительногокоэффициентаоткматериальноготочек,формевB.19)поверхностьместоB.26),уравнениеэлементарноготочке,точкепредставляетсясповектор,кточкислучаекоэффициент—изможетединичный—даннойсоответствииСледовательно,деформации.потВКошидеформации,поверхностипг,=деформации,const=-М\гнаправлениеповерхности(е)'П-пг2Радиус-вектор,точкекакдеформациинаправленныйповерхностиB.26).условияхарактеризующийповерхноститочек,условиеconst.=смыслпредставленудлиненияместоточекГеометрическийудлиненияB.25)Коши.деформации1пМ\уравнениевыполняетсяrrданнойточкиconst—нихдля(е)ЭтоТогдагеометрическоеиточку,которойввыбраннойотво-вторых,радиус-векторанекотороеданнуюе^хКсостоянияS{jXlxJокружающих=значениедеформированного?,у),хг(xlrt)¦величина,скалярнаяотво-первых,точке(хкгк))•—этоточку,относительноготочкипропорциональноклюбойточкеквадрату139междурасстоянияКошидеформациинаправлениюудаленнымизявляетсяскалярнойкомпонентыоднакодруга).г/2,г/3),приводитсяг/1, т/2, г/3указанной—деформации(г?2) +?з(??3)точека2=0,сочетанием140b2const/бi;(ei=однополостного0,?з+с2je2\?з=двухполостного>0,/е$.const=е)=Длядеформацииповерхностьа(е\иповерхность-1'с2поверхностью,состояния0)>т.е.Ь2е2поверхностисостояния>const=вдеформированногое2+сферическойдеформированноговидэллипсоидом,растяженияявляетсядеформацииКонкретныйа2гдеconst,=деформированного(?iсвиду:поверхностихарактера>соответствии(каноническому)+е2представляетсяравноосноговпростомудлярастяжениядеформацииосямидеформацииотдругсистемеглавнымискоординат.Например,компенсируютпрямоугольнойсвязаннойнаиболеезависитсостояния.радиус-вектора,идекартовойкоординатысистемеикомпонентыповерхностиклюбойввидизменяютсяобратнывуравнениевсестороннегоивзаимночастности,свойразумеется,деформаций,(т/1,Ввидупреобразованиясохраняетэтом,изменениякоординатдеформации,уравнение(приВповерхностьотносительноэтотензораэтиотрезковпорядка.величиныкоординатB.24)B.25),второгокоординатсистемеповерхностиматериальныхуравненияповерхностьюсистемыпот.д.следуетинвариантностиНапример,среды.точкамудлинениеиКакповерхностивидухарактересплошнойотносительноеминимальногдеоточкенаиболеекдеформациисудитьданнойвПоточками.можнодеформированногосостояниядеформацииэтимие2для>более0, ?згиперболоидовсложного<0)—ит.д.Инварианты2.2.3.ТензордеформацийявляетсяобъективносплошнойточкамисубъективновыбираемойПоэтомутензорсистемыпреобразованияпроизвольнойковариантному)случаезависимостьвыбираемойпроизвольновведениясистемывеличины,зависящиевыбораотприотпереходедеформацийлинейный;кубический.Первыйимееткоординатобразуетсятензорадеформацийфундаментальногоопределяетсяинварианта:квадратичный;—участиемиконтрвариантныхвсуммаэтойпроизведений:—системежеE{jg%JкомпонентихТ\(е)Т${е)компонентковариантныхтензоракакТензордругой.первыйтретийпроизвольнойвнеизменяющиесянеккоординатинвариантсметрическогоиикоординатТгСОскалярныедеформаций,тензораосновныхосновнойэто—компонентсистемытридеформаций.тензорасистемыоднойвторой—координатизанализнеобходимостикдеформацийтензорасоставленныеотзатрудняетприводитинвариантовИнварианты(вопределенномудеформацийкоординатиназываемыхпотензорасостояниятакдругойзакону:компонентдеформированногоикоординатктензорногодеформацийпреобразуютсятензорасистемылюбойвизизвестнокомпонентысистемыоднойотобъектомКакпоэтомувыбраннойотпереходеr\координат.именноТакаякоординат.относительноматематическимсистемеданномотсистемы?l=неизменнымисчисления,приописанияинвариантен(?i;)'rV=остаетсязависятмеждузависитнекоординат:eijITRi=егодлядеформацийточкесостояниеисредыданнойвДеформированноерасстоянийизменениемопределяетсяиндивидуальнымиОнсостояниеконтинуума.материальногообъектом,математическимдеформированноехарактеризующим(е)деформацийтензорасистемеТ\(е)=?ijglJ141Образуемаяобразомуказаннымдействительноявляетсяинвариантомдеформацийиприпереходечастномслучаеоднойотфизическиеодинаковымииндексами:Г1(?)компонентыПервыйкомпонентыОнТ\(е)иливжеТ2(е)+е(П)+?B2)Очевидно,чтоортогональной++координатсистемедеформаций:(д22)'е2ъ+V32eW+2?A3)онфизических+2?B3)+=е1+€2основноговторогокоординатдевятивсехквадратов?ij?a0gatg^*=компонентытензора2бA2)записисистемеконтрвариантныхг^е1*=ортогональнойеC3)прислучаефизическиее22=общемизначенияV2осями?звчерезидекартовойковариантныхвыраженкакой-либо?(зз)-выраженглавнымисинвариантглавныечерезе2+?B2)такжев+деформаций:деформацийтензорав\произведенийтензорабытьможет++бытьсвязанной=основнойсуммас?(п)=деформацийкоординат,Второйкомпонентуд33можеттензоракакобразуется как?ззуд33+инвариантсистемедеформаций+основнойпрямоугольнойдеформации,выражаетсяинварианттензорауд22^22уд22+(декартова,координатосновнойпервый?Ш11+?22<722=другой.ккоординатсистемыт.д.)тензораВметрическогосистемыортогональнойчерезтензоракомпонентконтрвариантныхичерезкомпонентковариантныхцилиндрическаяобратноговзаимноввидупреобразованияхарактеравеличинаскалярнаявинвариантасобойпредставляеткомпонентсуммутензорадеформаций.Третийосновнойиспользованием смешанныхвыражениисуммойихГ3(е)142тензоразначенияглавныечерезобразуетсяинварианткомпоненттензорасдеформацийдеформацийиприопределяетсякубов:=фН=eiaej0ebrgaWkgTi=е}+еЗ-е\+е\.Болееудобнымиявляютсясостоянияпроизводныеинвариантыосновногопервогоеиявляетсяпроизводныминвариантоминварианта:B.27)e=Ti(e)/3.Физическийсмыслслучаедеформированногоприсравненииматериальногоеиндивидуальнойдодеформированияформудлинойd^1,тензорадеформаций.додеформированияdVчастицу,d7/2,сдеформацийс?2)A+индивидуальнойОтносительноечастицыбытьрасширения)в(dV*=произведениямисравнениюскубическогосамимиавсуммойпервымлу*=-—поглавныхинвариантомосновнымтензорадеформацией:среднейиликогдапренебречькоэффициентможноопределяетсяследовательно,Xкубическогодеформациях,малыхдеформациями,главнымирасширенияе\)величинойохарактеризованоПридеформацийглавных+объема{коэффициентаdV)/dV.-drpAdr^drf=изменениеможетдеформацииобъемнойдеформаций,деформаций?з)-+dV*станутобъемадеформированияпослеребер^773A+?з)>S2),+тензорадлиныиндексамиdrJ(lВкомпонентсмысломодинаковымииндивидуальнойчастицы(элементарныхнаправлений).главныхвдольреберизменяютсяпараллелепипедагеометрическимrf?71(H-ei),равнымихAдеформированиярезультатеотрезковсоответствиичастицыдлинпроизведениемэлементарногоматериальныхосяминдивидуальнойвыделеннойопределяетсяВребрамисглавнымпонаправленнымиОбъемребердлиныдопараллелепипедаdr/3,вматериальногоимеющуюэлементарногоdr^drp'djf.=МточкииндивидуальнуюВыделимдеформирования.послеималы,частицыиндивидуальнойокрестностидеформациикогдасостояния,частномввыявляетсянагляднообъемовконтинуумаконтинуумаав{.деформацияСредняяГз(^)>деформациясредняя—T2(e),Ti(e),инвариантыдеформацийинтенсивностьдеформированногоанализадляосновныенеdV«?i+е2+е3=Тг(е)=Зе.143Такимсредняядеформацийобразом,тензораинвариантобъемадеформацияиндивидуальныхчастицИнтенсивностьдеформацийинвариантомипервогодеформацийитензора±.у/т(е)-Т?{е).=B.28)физическиечерезилижесоответствующиепервогокомпонентые^:\?ьзначенияглавныеегочерезивторогопредставлениядеформацийполучаемпроизводныминвариантовкакинвариантовтензораявляетсяосновныхвозможностьосновныхизменениеконтинуума.второгоetУчитываяхарактеризуютматериальногов{определяетсяосновнойпервыйиивыражения?2>?з>интенсивностидлядеформаций:(^B2)"е223));?2J~Значениедеформацийнаправлениирастяжениянесжимаемогоиглавнымидеформациейнаправлениивытекаетматериалаизпринятогодействительное%Физическийв(?2том,?з=—0,5?i),=чтонесжимаемостиосновногопервогоТогдарадиальномвглавнойсB.30)изследует,?\.деформацийинтенсивностисмыслчтоемуявляютсяосмысладеформаций.—стержнядеформациипредположениятензоравперпендикулярныхсвязаныфизическогоиравенстваЕ\тангенциальное)растяжениястержняинвариантазаключаетсялюбыхдванаправленияхвусловиярастяженияГлавныетангенциальномB.30)растяженииидеформации.осямиизодноосного(радиальноенаправления?lJ--деформацииодноосномрастяжения(?3+выбранослучаяПри?зJ-главной?гдлястержня.направление144\/2/3коэффициентаинтенсивностии(?2+B.29)этавеличинаявляетсяобобщеннойчтоинтегральнойокрестностиконтинуума.ТакопределяютсяизменениямиB.29)элементарныхосей,изменениедлины.ТемнеосяхнеданнойихВотличныотихБудемсмыслзаданным62ЩЩпроизвольноговвыбранногодлины2.14).отрезка,иПеремещение,М\конецполучаетв+недеформирован-(рис.nlRiцелом.eiR^R^=единичнойдеформированиярезультатематериальногоопределится=в(е)исходномвппоказать,деформацийиндивидуальнойт/3:ту2,отрезокнаправлениякотороессоответствииB.17)выражениемйиЛМатериальныйdunтангенциальнойВыберемматериальныйсостояниивг/1,осяхезЩЩ-+тензораглавныхвможнодеформацийтензорокрестностиопределяютсяЭтодеформаций.считатьномзначениягеометрическийнаглавныхввдеформацииэкстремальныеглавныхопираясьдеформацийсдвиговыеслучаеотсутствуют.осяхвообщеотсутствиеобщеминулядеформированиилишьглавныхвсдвиговыхотсутствиеточки.разностямижевдольнаправленныхприСдвигиозначаетудлиненийотрезков,испытывающихменеечерезвыраженаотносительныхматериальныхглавныхокрестностиНапример,бытькоэффициентычтоочевидно,континуума.может—необобщенновматериальногодеформациитодействительное{деформацийинтенсивностьB.30)идеформациисдвиговыеточки2.7),рис.континуума.материальногохарактеризуетизменениемсформоизменениевыраженийдеформацийизинтенсивностьглавныетолько(см.частицчастициндивидуальнойлиниямисвязаныхарактеризуетОднако+ииндивидуальныхиндивидуальныхматериальногокоординатнымикоординатдеформацийинтенсивностьточкивдеформациисдвиговыемеждусистемыформыдеформацийиндивидуальнойкакугловсопутствующейточкесдвиговыххарактеристикойданной=(е)п•=eijnJR1Aицсоставляющей-п—e\nlR\+изменяетотрезок—=е\п\+перемещения?2^2+е2п2R2Vсвоюдлину?Зпз>аduTопределяет+навеличинуМ°ДУЛЬсдвиговую145деформациюввыбранномунаправлению9i»i9j9du;9се\{\=Значениедлины-п\-отп\)п\—^2максимальныеdidu\J[9Этопозволяетэкстремальныхсдвиговых+составляющуюсоставляющей2в1иследовательно,d(du^.j/dn2условиииз(?2—Si)—пз(?3—"0,п\направлениюмаксимальнуюперемещения(dv%)\п2=/max=?l)1/\/2ичтоследует,направленийиз=7l20=условияпервогооднодеформацийэтомувекторакоторымизопределитьсоответствующуюотрезкатангенциальной—инаправляющегощаSi)du*перемещенияиНапример,0.=получим-Направления,определяются[?2тангенциальную)*пззначениядщпматериальногоперемещения,сдвиги,пе\п\+п2""относительногочтовекторае\п\компонентi/l=Очевидно,составляющейсоответствуют максимальные146+направленияфункцией999тангенциальнойзависитявляется9единичностиучетомdu\ef n\=соответствующуюточки,п.вектора{du^y-dui=илиданнойокрестности91n3=и0*(duT)илииются(е\=/\maxдвадругихкоторымнаправленияобразом,деформацийматериальногоВобщем?tсдвиговыххарактеристикойиндивидуальнойШаровойточкичасть,котораясвязанадеформацийвранганацеломgijтензораg*i,(илисистемыдевятиgj)илидиагональнуюматрицу,чемУбедимсявдействительноE?)том,изменениеобъемаконтинуумаисвязанныхКошиявлятьсятензор"."шаровойдеформацийдеформаций,тензорполныхчастициндивидуальныхнедиагоналидеформациибудетназваниешаровойчастьобразуетглавнойтензораегохарактеризуетСовокупностьдеформацийобразомчтодеформацийметрическогоegij.—наобъясняетсяи(D?).+использованиемПоверхностьтакимопределенногосферической,Seijдеформации.(Se)(Se)фундаментальногосодержащуюсреднейвеличинустензорашарового=тензора—координат:компонент(e)деформацийдеформациидвухсуммыдеформацийтензораинвариантасредней—котораятензорвидевтензорапроизводноговыделеначасть,и(D?):шаровогоосновеипредставлендеформацийКомпонентыбытьможетобъема,шарового—тензораматериальногоСоответственнобытьможетвторогодевиатора(б),изменениеформы.(е)происходитьдеформациях,полныхдеформацийопределяетцеломтензоровВформы.изменениемсможетчастициндивидуальныхихитензоромхарактеризуемыхкомпонентдеформированиипритакконтинуума,образуютсятензораобъемакакдеформацийдеформацийтензордевиаторслучаеизменениематериальногоонидеформацийокрестностииопределяющихчтоконтинуума.2.2.4.дляточки,сдвиговыхдеформаций.обобщеннойвфакт;интенсивностьявляетсядействительноданнойокрестноститотразностямиопределя-значенияустанавливаетсяглавныхТакимобразомвэкстремальныеихарактеризуютсявАналогичнымсоответствуютдеформаций,и—?2)/2.сизменениемихформы.147Длянеобходимоэтогошаровогои—определитьтензораихсравнитьдеформаций(естензораПриопределениивпервыйдеформацийтензоравторойивкомпонентиинвариантоввыраженийчтовиду,шаровогобытьсистемыотличныотодинаковымиивзаимногоиB.28)любойвследует,совпадаетSt;тензораинвариантшаровогоацелом,утверждать,частьизменениеобъемаконтинуумаисвязанаДевиаторвиатордополняющийтензорадеформаций)определяетматериальногоизменениемихформы.(D?)деформацийтензороснованиехарактеризуеткотораясобойпредставляетшаровойдаетдеформацийчастицсЭтонулю.тензориндивидуальныхнетензора,шаровогодеформаций,полныхсдеформацийтензораравеншаровойчтотуобъемасовпадаетсреды,инвариантформоизменение,интенсивностьае,производныйинвариантомпроизводныйхарактеризующийSтензораизменениесплошнойпроизводнымB.27)шаровогохарактеризующийчастицсоответствующимсосновногосоотношенийдеформацииобразом,Таким0.=тензора,индивидуальныхИзобратны.среднейзначениемсошаровогокоординат,коэффициентыкоэффициентызначениесреднееможетвеличинасистемеметрическиевзаимночтоэтаметрическиеаиндексами,базисовуказанныхортогональнойлишьнулявследствиеотносительноЗначит,координат.вычисленаgijg%*тензоравеличиной,преобразованияипреобразованияинвариантнойхарактераявляетсяинвариантовковариантныхметрическогообратногокомпонентосновныхдляпроизведенийсуммакомпонентвзаимно148Действительно,шаровогоопределениемконтрвариантныхвтензораравны:имелосьгдеStинтенсивностьиинвариантами?,•).иинвариантысоответствии5соответствующимицеломвосновныесинвариантыпроизводныезначениесреднее—дотензора(вдальнейшемтензордеформаций—ранга,второговцелом.де-деформацийДевиатордеформацийвdeviatioсловадеформацийиэтокомпонентосновныеопределяютсявыражениямиeijgijНоатогдат.е.онасинвариантхарактеризующийпроизводныйиндивидуальныхдаетоснованиеутверждать,характеризуетопределяетматериальногоконтинуумаиПонятие2.2.5.являющимисяразделевограничимсякомпонентамиобщемслучаеобоснованиемвЭтоцелом.деформацийтензорадеформаций,котораячастицсизменениемобъема.ихуравненияхдеформацийдеформацийсовместностимеждусоответствующимдевиаторобсовместностиУравнениясдеформацийсвязананенулю,равенформоизменениеиндивидуальныхформыизменениевзаимосвязичастиц,полныхчастьтуобразом,деформаций,тензорачтонулю,какТаким?,-.совпадаетинвариантом=равнохарактеризующийчастиц,производнымeg")определитьиндивидуальныхинвариант,и0;=деформацийдевиатораобъемаизменение3?-можнодеформацийинтенсивностиравнаПервыйegij.-(е%>egij)-B.28)учетомТ^е)=девиатораинтенсивностьпроизводныйазначениесреднееего(?ij=целомв-деформацийедцд%3-DeijDlJ=6{j=девиатора=T2(D?)девиатораD€{jинвариантылатинскогодеформацийтензоратензора:тензор(отшаровогоКомпонентышаровоговторойоткомпонентразностинасколькопоказывает,отклонение).——быкакотклоняетсяцеломустанавливаютдеформаций,тензорафункциямикоординат.необходимостиВэтомсуществования149уравненийсовместностиполученияиБудемфизическогозаданнымг^х1,средыточкипространства=точкевидадеформацийможнопонаотвектора перемещенияфункций=ijОчевидно,щфункциямичислоустанавливающихшести.получаютсякоординат:небытьмогутх2,х3),функциямисходнымтрем^(х1,=совершеннообразомвзаимосвязиУравнения,компонентамиустанавливающиедеформацийтензораназываютсякакуравнениямидеформаций.совместностиУравнениядеформацийсовместностисоотношений,геометрическихчастномследующемперемещений заданнымх,=малы.примере.вх2у,=Втакомчемвдекартовойх3=случаеz).наполесчитатьсистемесоотношениягеометрические+dujdкоординатчтотакже,виддщизвытекаютубедитьсяможноБудемпрямоугольнойПредположимШ150e+jопределеннымравнятьсямеждукоординат,взаимосвязипринимаютх3),х3)откоординатпобытьдолжнывзаимосвязаны,причемсоотношений должно(х1х2,щ(х*уих2,щ(х1,=девятькомпонент(V^-=0,5лишьполеимеетдеформацийфункцийдевять=произвольнымидеформациитрехщх3)тензораперемещения,деформацийфункций,тензоравсегоопределенныевектораопределитькоординатх2,чтокоординатосновекомпонент?ij{x\скомпонентыперемещенийТензорпоэтомускалярныесоответствиищдеформаций.компонент,Вперемещениятривыражающимиполюзаданномутензорадевятьх3).B.9),находящаясяполеизвестныкомпонентычерезкомпонентвекторВекторноех2,щ(х^,=относительноточка,есликаждойдлях3определяетсяпространства.геометрическими соотношениямиэтимсиндивидуальнаязаданным,щихсплошнойх2,х1,наблюдателясчитатьфункциисоответствиикоординатамиполучиладаннойможноВскотороепринципаперемещенийполех2,х3).отсчетасистемыперемещения,описаниемсмысла.считатьивдеформаций,B.10)Издевятивыделимприведенныхздесьлишьнеобходимыетри,уравненийсоотношенийгеометрическихизодногополучениядлядеформаций:совместностидихдх?22=?12=?ууПродифференцируемсоотношений#,=Vтеперьподваждыад2еууд3ихду2дх_"дх2ПолученнаяАналогичнымуравнений=+заключаетсявх2,х3),тонеиздеформированноесовместностивыполнениеихприконтинуумаесликакое-либотелоипараллелепипедовфункциямикоординатSij=совместностиуравнениямисвязаннымиэлементарныхотдельныхвдеформациями,пятьостальныеполученыматериальногодеформированныхпроизвольнымибытьпроизвольнымидеформаций,параллелепипедов,дхду'элементарныхсовершенноSij(x1yд2ехуНапротив,множествопозволяетдеформаций:дх2чтотом,деформировании.напорядкадиу/дх+д2еуусплошностисохранениюдхвторогодих/ду=деформаций.уравненийсмыслдч(дихдхду\дудх2думогутсовместностиФизическийзадатьсяд2_совместностиобразомразбитькоординате~2ехуд2еххдУ2егоподваждыпроизводнаядеформацииизуравненийоднод\у+смешаннаяудвоенной сдвиговойдеформацийвтороеу,выделенных—сложим:д2еххду2соответствуетизпервоекоординатерезультатызаписатьдиунельзязаданнымиссоответствиибудетсоставитьсплошноетело.151Тензорскоростейфизическаявводимаядеформированногосплошнойдеформацийрасстоянийсравненияматериальноготочкахиндивидуальныхвсопутствующихтензорасостояниясплошнойсреды:такжеисходноенамалуювеличинусплошнойиндивидуальныхточекAtсравненииполучаютАегз=заполучаемыеТензорэтиАщперемещенияtвV{r%.интервалV{At.=Att +ПрисоответствиинайтиможнокомпоненттензоракбыликаквводитсяопределяютсядеформацийAt.времениинтервалдеформацийкоторогоприращенияиB.9)приращениямалыйскоростейкомпонентыприращенийсреды=0,5характеризующиедеформаций,du/dt=малыйзадеформациймалыхтензораdr/dt=¦соотношениямигеометрическимикомпонентынаблюдателяотсчетасостоянийблизкихдвухдвижениепроисходитvмалыенегоотположенияскоростисплошнойточкидеформацийотстоящегоислучаесистемывекторомИндивидуальныеtизмененияотносительнохарактеризуетсявремениобщембыстротаасреды,длятекущеесостояний:двухвремениВискоростейсравненияД*.t$=Тензорt.моментапроизвольногоtприосновесуществу,двасравнивалисьвременивводитсядляиПокоординат.деформациймоментакакдеформированнойсистемвведениипослеопределялиськоэффициентовприпроизвольногодеформированиядометрическихисходнойточкамиидеформацийтензоранарассмотрениеиндивидуальнымимеждуконтинуумаполуразностинаввводилсяКомпонентынего.ввремени,интервалуполучены,притензор,отношенияпределомтечениекоторогопоследнегостремлениинулю:До152движенияскоростьхарактеризуетсреды.основекоднаеще—описаниясостоянияТензорсёцГгг*=дляОнконтинуума.изменениятекущего(ё)деформацийвеличина,материальногодеформацийскоростейТензор2.2.6.^=0,5(v.-t;,-+Vyt;,-).B.32)СоотношенияB.32),выражающеедеформацийскоростейназываютсячерезранга,деформаций,системыкакпроизведенийбазисавзаимногочередованияисоставляющие:скоростеймалойчторадиус-векторомбесконечномалойПоложениеэтойвектороммоментарадиус-векторарадиус-вектора2.15).Будем(рис.tv.бесконечноРис.М\.бытьможетВвидуиндивидуальныхкоординатотвмалымдифференциалом).(егоВыберемточкуМточкиявляющимсягхарактеризуетсяиндивидуальнуюотносительноМ,точкадвиженияокрестностигвотсчетавременискоростьточкиdr,произвольнойсистемыимеетеепутеминдивидуальнаяотносительног,положениенекоторойнаходящейсяMi,МточкипроизвольногодляточкиипроизвольнаякоторойположениенаблюдателяМокрестностинекотораяэтодвиженияточкибесконечнотензорпоступательную,Подтвердиминдивидуальнойт.е.можноконтинуумавращательную.сопоставления?ji)<>=симметричным.материальногоеготри(eijявляетсядвижениидеформационнуюразличающихсяодинаковыдеформацийПрисчитать,деформаций,индексов,скоростейB.33)значениячтоследует,скоростейтензоравыделитьeo-rV.=соотношенийкинематическихпорядкомзависимостивторогокоординат:компонентзаданожецеломтензорматематическихвекторов(е)приращениемвсякийибазисныхучастиипридиадных—скорости,Всоотношениями.скоростейобразуетсяобъектовИзвекторакинематическимитензортензоракомпонентыкомпонентыточек2.15153drвекторбытьможетвекторампроизвольнойкомпоненты,воткскоростиМточкиvкоординаттензорами, получаем,рассматриваемыхdvJdx%.ЗдесьтензордействиясимволическогоVГамильтонапредставлен0,5(Vt-Vj—гдеv=деформацийвточки,взятой154(ё)=dr•даннойдеформационную+(ё)точке,в(^)v\ПриотданнойэтомвторойавсейжесткогоСv=+dvv+dvR+скоростейположенияотносительноготочки,относительнойиицелогоучетом=тензоромзависит=вращениеединогоопределяетсясоставляющуюV{Vjrlr3VjV^rWKповорота.получаемокрестностиможетдеформаций,как=рангамгновенноескоростейтензоромgraddvji0,5(Vt-t;jМ.)rl](vjrJ)тензоров:-скоростейточкиявляется[V,-(..второгодвуххарактеризуетданнойv.действие=тензор+Vjr^=случаеVvтензоромd>ijrlrJназываетсяразложенияэтомсуммыVyv^rV+является=(ввидеgradоператораУказанныйвокрестностисобойv).grad—¦результатvумножению:V{Vjr%ri(и)т.е.скоростискоростивектора—Vji;yrlW,векторнеопределенномубытьпервыйнаdr=дифференциальногоV(..