Бабкин А.В., Селиванов В.В. - Основы механики сплошных сред (Том 1), страница 7

)r2=градиентомк=dxl\рангавтороговыражением] r3 dxx(ri=сдвиженияопределяется(V.u,-=правилапорядкаскороститочек—v/ипервогоразличиех3))икоординатам,потензоровиндивидуальных=х2,v(xl,вектороввотскорости=операцийвеличинумалую(vумножениячтоМ\бесконечнодифференцированияскалярногоrtdx*.=точкиv\намалые(dr/dxl)dx%—зависимостьдифференциальныхопределенияdrточекправилаправила=отвечающиеУчитываяиндивидуальныхнаопираясь=координат,движения(dv/dxl)dxl.=сводитсябесконечноМ\\точкескоростьслучаеотdvМточкиобщемсвоичерезвыступаютсоответствующихпереходуотличаетсякоординаткоторыхбазиснымпоразложениивсистемыкачествеприращенияВпредставленпредставляетскоростиdvn,движенияadunточек,dr-(u)=Последнеесмыслакомпонентыассоциированногокаккомпонентприводиттензора:Cj{jlj{jвыполнениюточки,производныхVj-v,-),—чтоэтогоантисимметричностиСовокупность—Mji-данной0,5(Vt-Vj=условия=поворота.абсолютныхскорости:спредположительноокрестностиполуразностивектораквращениеманалогиипотензора(и;),тензорасопределяютсяобосноватьможногеометрическогоДействительно,движения.скоростиутверждениеобоснованиемвращательнуюхарактеризуетотносительнойсоставляющуюегообразуеткомпонентматри-цуО(М)О-и>\2-B.34)^23Охарактеризуемуюотличнымиболеенеотчемвеличинами:нулясоответствующейточекпроизведениянекоторогоПи^т1=относительноехарактеризующегоdvu=dr.(и)скоростивидевпредставленовекторадлявыражениеотносительнойбытьможетТогда^>23-составляющейдвиженияиразличнымитремя?13,u>i2,ивекторногоdrвектораположениет.е.точек,==ftxгдекомпонентып\преобразованияразвернутуюзаписьпрямоугольнойсотрицаетксистемыприменительноtldrXкубедиться,некоторойкоторой^12-Вдекартовойвекторноетензоровследовательно,результатовнеприменительнокиобразомЭтокоординатотношениюегопростымсистемепосправедливостиприведяпреобразованиякриволинейнойа=определителя.подобногопроизвольной^3наиболеенаходитсясоответствующегосправедливостикоординат,вкоординат,векторовdr,компонентамиопределяются~^13j—можносистемепомощьюинвариантности^2CJ23?—подобногопроизведениеПвектора(и):тензораda;1,г,=ввидупреобразованиюалгебраических155операцийВыражениеними.сотносительной скоростиdvnтеоретическойизвестномулинейнойизеговращении(см.движения2.9).скоростьточкитензоркакединогожесткогоQосновепроведенногопредставляется(а;)ацелого,уяснитьсмыслдеформацийскоростей2.16dr=drndr\длинатекущаярасстояниеопределитьскоростьМ\.деформирования:движенияматериальногоотрезкаdvnотрезка:относительногоdvnМ\точкинаdvR-nlnскоростей=вточек(e)-n-ndr.dvn/drскоростиНоэтогодлиныизмененияскорость=междуэлементарноготогдаскоростьэлементарного(ё)=•п•пнайтипозволяетматериальногоокрестностивектор,материальногонаправлениедеформацийудлиненияединичный—относительнойвыбранногоудлиненияотрезкапвектораопределит=B.35)илиточкамиэтимииндивидуальныхПроекциядви-возникающуюэлементарногоизвотносительнуюмеждунаправлениеинаходящейсяокрестности,отрезка;состоящегоМлюбойдля(?).*•,=материальногохарактеризующийотрезка,можноMi,вследствие*>дМточкежения,—ЗнаяскоростейпроизвольнойвточкиРис.2.16).(рис.целоминдивидуальной156угловаякинематическийсплошной среды,направлениии^тгг3анализакинематическоговозможнымтензоротносительногоо;=компонентамиопределяетсядеформацийтензорприскоростьювращениетензораматериальноготеларангавточкамидлягтензора.Нагдехугловойсвторогодвижения(Ъ=твердогомгновенноевращательногоэтогоvосихарактеризуетданнойокрестностизакрепленнойПоэтомудействительносоответствуетвыражениюабсолютноточеквокругрис.tlxdr=механикискоростисоставляющейдлядвиженияотрезкаданнойточки.=kijn%n3,ит.е.скоростьвпроизвольномееТеория2.3.напряженийНапряжение2.3.1.интенсивностимера—силвнутреннихОсновнойособенностьюточками,расстоянийпроисходящеекприводитопределенноеиматериальногосредахмеждуодноговподходаматериальномПустьнаприводящиекточекразобьемэтотелоВыделимвиндивидуальнуюточкусеченииМисуществуютвнутренниетелесилы,двеэтупоэтомувнаплощадке>V<i.иdS>площадкуВп.нормаливекторомчастности,•5,точкуединичным(вV\объемамичасти•Мысленноплоскостьювключающуюзададимрассматриваемомназаданномтела,которойориентациюSплоскостью2.17).(рис.силвнутренних•индивидуальныхегоперемещению-F25Fi,силывнешниеотносительномупоявлениюифизическаяспециальнаянапряжения.действуюттелосилколичественновводитсясилы,полноговектор—рамкахвнутреннихЧтобывнутренниевеличинасилвозникновениеконтинууме.характеризоватьсиламипоявлениявсредысоответствуетчегорезультатенадпроцессуреальнойчастицфеноменологическогомолекуламивсилами,Этомунаправления.взаимодействиямеждупреобладаютнаправленияпротивоположного(недруга.друграсстоянийэтиминимимеждуисходномвуравновешивающиесреднихравновесиеатомовотталкивания,исостоянииизменениимеждувзаимодействиеприроду:притяжениядеформированном)реальныхрасстоянийчтоэлектромагнитнуюсилысилывИзвестно,имеетдействуютмеждуизменениесоответствуетмолекулПрисредах,сопутствуетконтинуумамолекулами.нарушаетсядеформируемыхвсегдарасстоянийизмененияилиЭтосил.состояние.Процессуатомамисрединдивидуальнымивнешнихвсилсостояниюиндивидуальными точкамидискретныхдействиемвнутреннихнапряженноеихмеждуподпоявлениюдеформированномуидеформируемыхдвиженияизменениеявляетсяS)сеченииdSначастьтела157Рис.объемомV\внутренняясиладействующихсочастистороныdF.даннойвданнойкоторойсоответствуютап=нанапряжениясателъноедействующее./|сгта|2какматериальноговеличинанапряженногосостояниявеличинаспецифичной динамической158—•ка-ап——состояниядеформированногоописаниядлятакжехарактеристикойдеформаций,тензор—тензорспециальнаявводиласьконтинуумакинематическаяJcrn=континуумаматериальногофизическаячнапряженноготомуполноеиплощадке,а?напряженийхарактеристикаПодобно—полногопроекциюплощадке.Тензор2.3.2.состояниякнормали=п,нормальноесобойтданнойнормали—представляющеенаплощадке,векторомвеличинынапряжениетеланаединичнымнаправлениеначастяминапряженияскалярныеп,плотностьмеждуполногозаданадвеа/п\B.36)поверхностнуюВекторуориентациянапряжениеdF/dS.=взаимодействиясилыплощадке.п,напряженияхарактеризуетвнутреннейплощадке,нормаливекторомполногонапряжениенаединичнымапПолноесил,континуумазаданавекторомопределяетсядействуетвнутреннихматериальногокоторойV2объемомтелаИнтенсивностьточкеориентация2.17напряжений,дляспециальнаявводитсяявляющийсясплошнойсреды.описанияajч,Тензорусловийвводитсянапряженийравновесияэлементарногосовпадаютсдекартовойпрямоугольнойвекторасистемыосновенапряженияанализатетраэдра.индивидуальногообластьзанимающегоограниченнымповерхностью(рис.Fсилпрямоугольнуюбытьдляточкойэлементарногоконтинуума,DиV',объемомдействиюподверженнымврассмотрение(ж1,внешнихдекартовух2,х3).Онасвязаннойбытьилиможетнаблюдателя,отсчетаиМточкуматериальногокоординатсистемойснапровестииндивидуальнуюпроизвольнойилискакой-либопространства.ЧерезданнуюможнопровестиМточкутрикоординатные(ж3).(ж2),(х1),линииВыберемэтихнатеперькоординатныхЛ,точкилинияхС,Б,близкиебесконечноограниченноеданнойкМ.точкеТело,четырьмяплоскостями,проходящимиМ, АточкичерезуС,Б,бесконечномалымэлементарным(натетраэдром2.18рис.Гранямитетраэдрапоказанонввиде).увеличенномвыделенногоявляютсяМВС,площадкиMAC,совпадающиеMAB,сплощадки),задаваемойдвиженияВведемсвязаннойявлятьсявообщеявляется2.18).системуопределенияпроизвольнойможнопространстваSиплощадкеоперациюпроизвольнуюобъемакоторогонекоторойкоординат,наАналогичнуюуравненийРассмотримориентации.ребратетраэдра,линиямикоординатнымиполногоанализаосновенаиединичнымABCплощадкавектором(основныеповерхностямикоординатнымипроизвольнойнормалиориентации,п.159dS\,ПлощадиdSплощадьюнормалиплощадкиdSплощадьюdS$произвольнойкакплощадкиплощадкеравеннормалипdS^d5-n3,=единичного(ж3).внутренниеполногонапряженияразложении0*1Очевидно,чтоявляютсядействующиена<7цплощадке,Условиедействиема2\иСГ31<7t-3r\B.38)напряженийполныхкоординатныминанапряжениякасательные—первойнанапряжениенормальноеи=напряжения,с—представленкоординат:<т3касательныет.д.равновесиявнутреннихсг{2г\=совпадающихплощадкенапряжений,бытьвекторовНапример,жевекторсистемыкомпонентамиизадаваемойполногоможет02а<тз,напряженияполныхвекторам<гцг\=площадках,основнойэтойбазиснымнормадьныеповерхностями.п,площадках,повекторполногоориентации,—векторовосновныхB.37)полныхвектор—полногонормалитрехn3.действуетпроизвольнойиз•векторамиплощадкевектор—векторомнадвухдействуютвторойнаплощадкедействующихлинииdS=тетраэдрапервойКаждыйап.dS3характеризуемыеосновнойо\,наклоннойединичнымкоординатнойплощадиdS-n2y=третьейна0-2,Следовательно,косинускэлементарногонапряженияна160dS2Навектор(ж3).выражаютсяколичественнонапряжений.третьейпоэтомуdS-n\гранямнаклонаосновнойединичныйотношениюпоугломееауголнаправляющий—образом=силы,напряженияaплощадок,dSiиНоклиниейпссвязана2.18).рис.составляетcosнормалиосновныхПо(см.=площадки,(х3),ориентациикоторыйкоординатнойАналогичнымдругихвn3гдевекторатретьейориентациитретьейвектораосновнойлинииd5cosa=углу,сdS%счерезединичногокоординатнойпроизвольнойплощадкисвязаныплощадокориентацииплощадьперпендикулярнойнаклонаосновныхкосинусы)Например,п.аdS$произвольной(направляющиепгкомпонентыdS2,можетподтетраэдраэлементарногосилбытьвыраженокакстпdS==dS\a\+приводитпроизвольнойнапряженийнаориентации<72П2основаниеплощадке<7tlnV=спредставитьпроизвольнойнекоторогонормалипап<7tJnVПолученный(а)компоненты<ТцТгт*)иявляетсявводится•рассмотрениепредставляютдействующиекоординатнымиповерхностямитензораB.39)п.рангавторогоявляютсяилиплощадкахосновныхэтихнаплощадках,второготензордекартовойбытьсвоимипрямоугольнойсистемеипредставленОнранга.впроизвольнойковариантными,компонентами:<7yfV==указывалось,a^TiTj<т{г{Ту=напряженийкасательные2.19).совпадающихСовокупностьобразуетквадратнуюплощадках,(рис.напряженийинормальныенаB.40)тензоракомпонентысобойнапряжения,•тензорэтовможетсмешаннымиуже{а)=напряжения—(а)Как(пкгк^напряжений.координатконтрвариантнымииливекторт.е.накасательныеоднакосистемескалярногоединичныйнакоторогонапряженийвкоординат,6-9712(*уrV')напряженийтензоромТензордаетнаапрангаобразомполныхвекторовалгебрыплощадке,=^30*2,<7t;nV,=результатвторогокомпонентаминормальныекомпоненткакподобным=а&пггхo*i,напряжениярассматриваемой=векторы,получаемтензорнойтензораквекторыполногоориентацииумножениявыражая+правиламивекторкаксостояния,<7i2n2r%+вввестибазисныеип%:косинусыпозволяетДействительно,соответствиивЭтополныхвекторынаправляющиенапряженногокомпонентыапчтоазп3.+нанапряжениячерезиB.37)соотношенийучетомполногохарактеристикуихчерезсвекторанапряжений.тензорчтоплощадках+такуюрассмотрениеdS$yсгзосновных<т\п1=+выражениюплощадке<тпdS2оксдевятиматрицу,наРис.главнойРис.2.19которойдиагоналиостальныеанапряжения,ееТензорнапряжения.общеечастноепараллелепипеданасдвигеdz,которыхграняхмоментсимметричностинапряженийнапряженийТакженапряженийвB.40)вмогутобладать162тхуa+jидляобщемэтойотразмерностиdy)dzdx—парностиусловиюдлятензораЭтокомпоненты.базисныекоординатпоэтомуибудуткоординатнапряжений.связаноснапряженийтензораасистемезаконудеформаций,представленияразмерностью,(тхуz<7yt.системевотличную=тензораслучаепроизвольнойнапряженийтухфизическиевводятсячторазмерность,какккилиатух,результирующийосиприводит=итхуравновесииотносительноЭто0.=тензораПрисил-(ryxdxdz)dyкасательныхчистомзначениянапряжениямиграней.внутреннихПрисилы,внутренниекасательнымиплощадьюсостоянии,2.20).параллелепипедадействуютопределяютсятакжеравновесиянапряженном(рис.сдвигуэлементарногоdzdy,приведемусловийпричистомутензор.положения,примеренасоответствующемтензораэтогоподтверждениеэлементарноготем,симметричныйэто—доказательствоегособойпредставляютнапряженийОпускаянормальныеэлементыкасательныесоответствующиеразмераминаходятся2.20векторыкомпонентыиметьПоаналогиисфизическимикомпонентамикомпонентытензораразмерностьимеющиеиспользованиивединичныхсистемывыражаютсячерезкоординатпосуммированиеjигнебольшуюизопределениясоотношение,этойориентации*(п)и=<*пп=(а)зависиттакжеориентации•отп(сравнитекасательное6*гдеплощадкеотзависятип3единичногоaijn*.B.41)как=проекциякнормали(<7t7Vr')(jtkнапряженийrk^•тензораплощадкеcrijnj(nkglkj=иплощадки:с=(a)-n;nB.19)формулойкоэффициента относительногоданнойп•сгП|г*,=компонентнаправлениекомпонентcr(n)произвольно=нанапряжения•площадкенапопределяетсянапряжениеполноговектора•следуетплощадке:aniНормальноеотт.е.этойкоторойДействительно,выбраннойнапряженийтензоракзначениянаплощадки,нормаливектора(а)=напряженияпбесконечноней.кB.39)компонентамиопределяютсяпнапряженияапполноговектораэтуполногоориентации,компонентывсюнапряженийвекторпроизвольнойкасательноеориентациянормалитензоравыражающееданнуючерезиконкретныеплощадке,векторомбольшогопроведеныопределитьлюбойнаполностьюбесконечноохватываетпозволяявеличингдесчитаетсяизнормальноенапряженийединичнымзадаетсяy/g**,бытьмогутсовокупность,этихточкевполное,Тензоркоэффициенты(Tijy/g^любойдлякоторыеизвестнынапряжения.а/^\еслиплощадок,векторов.метрические=состояниеохарактеризованным,точку,объектовФизическиепредполагается.Напряженноечислаприматематическихбезразмерныхкаккомпоненты,образующиесяибазисныхкомпонентыэто—базисныхкачествефизическиедеформацийтензоранапряженийнапряжений=длявычислениябесконечноудлинениямалоготочкинапряжениевотрезкаматериальногоориентированногоB.42)a0-nVконтинуума).материальногог,действующееокрестностиНаконец,навыбраннойплощадке163(см.2.17),рис.геометрическимитвсоответствиисоображениямиочевиднымисизопределяетсяг2выраженияапап=-=>)Такимобразом,индивидуальной точкезнаясплошнойнормальноеипроходящейчерезкасательноесостояниязначенияпредставлениенапряжений—касательныенапряженияминаилиприведенногоэтихданноговеличина<тпА характеризуетнаглавнойт.е.главноеплощадкевекторуединичномуколлинеареннаправления,Изнапряжений.чтоследует,главногооси,главнымитензоранапряженияглавныенапряжения,называютсязначениямиэтимкнормалиилинормальныеплощадках,определенияполноговекторпонаправления,аглавнымивыделитьотсутствуюткоторыхНаправлениянапряжений,действующиеконтинуума,наглавныеопределяютгдецелесообразноплощадки,можнокоторыеплощадок,материальногонапряжения.тензора164числасостояние,площадкиплощадкамскалярнаяточкунапряженноеглавныепбольшогочерезсуществуетнапряжений.тензоратензорабесконечноплощадкиглавныеоси,главныепровестирассматриватьнапряженногоГеометрическоеИзплощадке,точке.Главные2.3.3.полное,позволяетихарактеристикуданнойвврассчитатьналюбойчтоточку,каксредыиможнонапряженияданнуюнапряженийтензорнапряженийтензорсреды,апнапряжение=An,гденаданнойглавной2.21).(рис.ПриложительномАГлавноеплощадкеунаправление^?по-значенииданнойнаглавнойдействуетплощадкерастягивающее\"напряажение,прительном\отрицасжимаю-—рисГлавнаяплощадка>ч—./2щее.ГлавныеосиипоаналогииопределяютсяосейибудетпвыполняетсяусловиеB.39)ктипанапряженийиуравнениеB.21),направленияиB.22)условиемнаправленийаналогичноМожнокакчтопоказать,напряженийвзаимновекторамиВ этойкоординатнымип.АвекторовAi=всетриглавныхвекторысистемеповерхностями,которойнаправленийкоординатглавныхтрехтензоранаправленияс=сni,Д^=единичнымиглавнымиR^П2,=П3.ссовпадающиеплощадки,являютсяG71, f/2, f/3),совпадаютД*связатьможнонимикоординатсистему<Т2>=деформаций.теориит.е.Аг=проводитсяпзпз,вАf i,=изnj,выполнялосьглавныхуравнений,системыперпендикулярны,базисныеглавногозамыкаетсякаждомуэтотриискомогоуравненийэтойпрямоугольнуюдекартовуединичныевеличинА соответствующегоединичныхтому,тензоравекторасоответствующихи0"з=системунеизвестныхвекторарешениеприведеноформируетчтосистеманапряженийАз0,бытьможетединичногоединичностиглавныхнапряжениеглавномуиспользованиемкачествевеличинуДальнейшееопределение=п3)Полученнаянапряжения.Ап2,главноекомпонентыв(п1,Единичныйесли—алгебры=содержащуювключающуюАгдесn^r1Xgij)-главныхискомомутензорнойправилкомпонентыглавногоAn,=Указанное(aijуравненийнаправление,ортогональнойиусловиюдеформаций.главноеплощадке,направлению.соотношения(<т)-п=напряженийтензоранахожденияпринципомтензораопределять<7Пглавнойназначениясзначенийглавныхвекторглавныеиплощадками165действуютнанихакасательныетолькофизическимпрямоугольнойглавнымиосями,тензоркомпонентотличны<7цнапряженийегочерезэтойвглавныелишьнуля01,=в^22егоскомпонентытри^33^2>=системессвязаннойкоординат,отсоответствиинапряженийтензорасистемеиндексамиодинаковыминапряжения,Вотсутствуют.смысломдекартовой(главные)нормальныенапряженияспоэтому^З*=можнокоординатпредставитьзначения:B.43)Такжекакидеформаций,тензоранапряжений(<т),индивидуальнойвводитсявматериальногоразделетакconst=направленныйточекПосколькупгхарактеризуетгB.42)взаписановиденанапряжениенормальюп.площадке,гдеп•=точек,точкиconstточки(а)-п-псилизадаетсяточку,площадках,наточкиквадратуэто—даннуюданнойучетомнормальное—напряженияповерхности.точкенапряжений,=окружающихпропорциональнадопг,=кдокоторойнапряженийотгточкиточкиnr2•а/п\нормальногонаправлениюточкиточки.поверхность(а)—какданнойповерхностьобратноданнойххданнойоториентациявеличинаперпендикулярныхповерхности,видерадиус-вектор,представленот/г2,constместочто—даннойбытьможетСледовательно,геометрическоетаких,в<т/п\гповерхности;описывающее=условиюгдеточкекрасстояние—уравнение,бытьможетconst,направлениеаповерхности,подчиняющихсяотносительноповерхностиповерхности,166точкирадиус-векторгдеотданнойизкоординаты=местогеометрическоеиточку(ТцХгх*илиэто—даннуюгэтомгеометрическогоустановлениемнапряженийокружающих-впоэтомунапряжений.Поверхностьгдеформацииповерхностьсвойствами,лишьповерхности•Онанапряжений.икакже,аналогичнымиограничимсясмыславявляетсяповерхность—обладаетитензорасостояниеконтинуума,порядкарассмотрениеКоши,точек,образомнапряженноеточкевторогопредставлениигеометрическомхарактеризующегоповерхность(а)пригеометрическимкточкерасстоянияИнварианты2.3.4.ТензорнапряженийпрямоугольнойдекартовойвсякийобъективнойхарактеристикойматериальногосИзоднойотанализасистемыанализнеудобночтодлянапряженийтензорасоставленныхизизменяющихсяприболеесостояниянапряженногоинвариантоввеличин,притензорадругой,ксостояния.Проводитьнеэтоименнокомпоненткоординатнапряженногопомощьюкоординат:чтоизвестно,приводитпереходеостаетсясистемыизменениюквыбираемойсубъективнонапряженийисчислениятензорногообстоятельствосостоянияпреобразованиюкдругойиЯвляясьоттензоротношениюполюбойпрямоугольнойнаправлениями.зависящейкоординат,инвариантнымсдекартовойвОднако,каксистеменапряженногоконтинуума,системыипредставленглавныминеврассмотрениекоординат.бытьможетвсвязаннойвсистеменапримеркоординат,вводилсяранееонтензор,системе,напряженийтензоракомпонентнапряженийтензораоднойотпереходеудобноскалярных—системыиккоординатдругой.ОсновныеTi(a),линейныйвыраженпроизвольнойже?2@")квадратичныйаналогичновводятсядеформаций.