Бабкин А.В., Селиванов В.В. - Основы механики сплошных сред (Том 1), страница 8

Каждыйчерезсистемесистемыкакой-либоосновнымизтрехнапряжениякомпонентыглавныхосях:Т^(а)кубическийиикоординат,напряженийвд%3коэффициентыметрическиефизическиесистемекомпонентыбытьможетинвариантовчерез—тензораа, у тензоракоординат——инвариантамосновныхортогональнойглавныенапряженийтензораинвариантыкомпонентынапряженийв0ипиликоординаттензораэтойчерезв167<J22g22T2(a)<тц*ч=*(B.44)liнаиболеенапряжений+<тз)/3.жидкостилюбойгранях—р.давлению,=инвариантиндивидуальнойизменением-р,т.е.Среднеедействующемусреднеенапряжениевиопределяютсреды,сплошнойчастицеобъемаиндивидуальных2.22случаеиндивидуальнойпервыйравночастице:вкоторого-р,=знакаосновнойдавлениепоявлениеа2—р,=дочастиц.Рис.168о\точностьюданнойнапряжениеэтомжидкостинапряжениянапряженийтензораВчастицыссжатиипри2.22).(рис.+о2всестороннегонапример,цилиндре+установимсостояниясжимающие(ai=напряженияиндивидуальнойодинаковые=среднегореализуемого,винвариантомТ\(а)/3=напряженногосжатия,поршнемазинтенсивностиипроизводнымасмыслпримереравноосногосявляетсяФизическийдействуюттензораинвариантоваинварианта:частномнаанализпроводитьнапряжениянапряжениеосновногопервогонаa3iО{.Среднееасреднего—+^2^1=производныхпомощьюснапряженийудобно+^1=напряженного состояния===Однако<т3з<733+связаноИнтенсивностьнапряженийинвариантомипервогонапряжений,спроизводнымосновныхвторогоинвариантовтензорат.е.<ПиявляетсяB.44)учетомкомпонентыаилжеглавныечерез°\=бытьможетлюбойвуB-45)^A1)CTB2)J<т3:<?2,+*72~,^2иликоординатсистемеfi,~физическиечерезвыраженаортогональнойнапряженияГ/л/2"у^у/эТ2(*)-1?{*),=(^B2)+<rC3)J~f);^ЯB.47)ФормаОнвыборвыбранисходя(j2аз=равнятьсяиз0)=(Jiслучая(о\напряженийототличному\/2/2.простейшегодлярастяженияинтенсивностьФизическийсмыслвфО,должнанапряжению:главномунулятом,напряженийинтенсивностичтообобщеннойдействующихконтинуума.напряженийсвязановсматериальногообобщеннаясвязисПоследнееввыражениеданнойточастициндивидуальныхнапряженийинтенсивностьнапряжений,характеристикаформоизменениемчастицкасательныевозникающихвнапряжения—среды.сплошнойнуждаетсяутверждениеB.47)точкикасательныхпоявлениекакформыизменениемконтинуума,этокасательныхокрестностиТакинтегральнойнапряжений,являетсявеличинаэтахарактеристикойматериальногокакчтотого,О\.=заключаетсявB.47)напряженийодноосногоединственному^^ОЗкоэффициентапостоянногосостояниянапряженного+интенсивностипредставленияобосноватьпозволяет^^+B.46)обосновании,таквообщене169включеныихввидуОднакоэточерезвовсеотсутствиенапряженийнетданнуюкурсанапряженийкТакжебытьшаровогонапряженийтензоратензораивКомпонентыегоиSaijшаровоготензораназыватьобразуютсянапряжения)(среднегоПервыйнапряжений,простонапряженийинвариантаog{j.—тензорабудемкоэффициентоввторойметрическихкоординат:тензоровдевиаторатензорапроизводногоиспользовании=двухдальнейшемвшаровогоосновесуммыи(а)напряженийтензорвиде(Sa)напряженийкоторыйнапряжений.девиаторомпридеформаций,тензорпредставлен(Dp),напряженийнапряженийтензордевиаторкакдействующихнапряжений,ШаровойиПоэтомухарактеризуетточки.2.3.5.можетплощадкам,касательныхданнойнаинапряжений.действительнозначенияокрестностидействуютглавнымглавныхнапряженийэкстремальныечтоизвестно,материаловполуразностямиинтенсивностьпроведенныхматериальногокасательныхравнонаклоненныхопределяютсянаплощадках,сопротивленияплощадках,возначает,точкузначенияэкстремальныеплощадках.касательныхчтодругихиндивидуальнуюИзконтинуума.нелюбыхнаглавныхнаотсутствиясистемыосновныеинвариантыB.44),согласноопределяютсявыражениямиНо5тензоратогдаT2(S<T)=вматериальногоформоизменением.связано=сSt=шарового0.напряжений,непоявлениеиндивидуальныхобъемаитензора,ЭтонапряженийтензорполныхизменениемконтинуумаB.45),снапряженийзначениемсредниминтенсивностьшаровойчастьЗа2.=тензорасоаЗа;=шаровогосовпадаетцелом,чтоту<гдцд{>agij(TgxJ=соответствииутверждать,которойо=влишьSrirfiSvijSHзначениесреднеенапряженийхарактеризует170=T\(S(r)/3=определяемаяпозволяетTi(Sff)связаносчастицихДевиаторнапряженийкомпонентыимеетшаровогоDpijG{j=аинварианты,такжеB.44)согласнотакомDзначениеrfT2(Dff)связанныйнапряжений,производный/?,-,Этодаеткоторойчастицихчастьтусвязаноматериальногодевиаторанасредыанулю,снапряженийнапряженийнапряжений,появлениеиндивидуальныхформыиконтинууманецелом.вдевиаторчтоизменениемсвязивсвязаноизменениемсобъема.шаровойразделениетензорцельювыделениясвязанныхсиEV)возникающие+вобъема,напряженийдевиаторсреды.{Da)такТензорииндивидуальныхнапряженийполныечастицахснапряжений,формыилихарактеризуетиндивидуальныхнаосуществляетсяполныхобъемаизменениемнапряженийтензорасоставляющихсплошнойчастицих*№.,-совпадаетполныхслишьСледовательно,=Dтензораутверждать,характеризует0;=возникающиеинвариантомоснованиеZa-T2{a)=равеннапряжения,производным3a2-характеризующийформоизменениемсоответствующим)частиц,индивидуальныхинвариантвид:инвариантсплошнойреакциейсобъемаизменениеспроизводныйобразом,/?,-,интенсивность)(сц**=Такимиj(D*=основныеследующийимеютдеви-(T2(Da))второйиB.45),напряжений:компонентопределениисреднееидополняющиеполныхдо(T\(Do))первыйегоатораПриagij.-компоненты,тензоравцелом(а)=напряжения,вследствиеизменениякакформы.171Условия2.3.6.равновесияматериальногоВобщемjP,силык(рис.р2.23).сплошнойвнешнихмеждувследствиесреды,объемвнешниеДействиерасстоянийизменениюиндивидуальныйилидействуютконтинуумараспределенныеточкамителонаслучаематериальногоприводитконтинуумасилиндивидуальнымичегопоявляютсясилывнутренниевозникаетисоответствующееЬпРп"Важнымстояние.материальногодействиемвнешнихравновесия,результатевдействиясовместноготелоравновесиявнутренниевзаимосвязаныдолжныдва(массовые)внешниесилы,частицыивекторсиле,поверхности.Тогдадействующуюнаинтенсивность172вводитсяудельнойповерхностнойплощадкутела,описанияфизическаявекторнаясилыопределитьdS,какрpdS.можетможетбытьвеличинапор,насилвеличиназанятуюявляютсянапример,количественногоповерхностнойприходящейсяможноповерхностныхаДлятрения.нанапространства,силами,это—находящиесяТакимисилсилыраспространяетсяобластьсредой.поверхностныхповерхностикоторыхиповерхностные—Поверхностныедействиеконтинуума,давленияиобразомсилсилы.ограничивающейсплошнойконтинуумаопределеннымвнешнихвидаматериальногоповерхности,Длявнешниеравновесия.Различаютсилыбытьусловиямиобъемныеускорений.материальногосилынецеломвителачастицаиспытываютобеспечениякаждаяиндивидуальная23ивнешнихсилвнутренних'силслучайкогда2подконтинуумаявляется"частнымдвиженияслучаемРиссо-напряженноеединицуравныймодулюплощадисилу,поверхностнуюВ общемслучаеизменятьсявдольпеременной,—такчтополнаяограниченноедействующаясила,поверхностная5,поверхностьюнаопределяетсятело,pdS,ФинтеграломвзятымSэтойпо(вротповерхностидальнейшемдляОбъемныекоторыхматериальногосилыТакимизаключенные(массовых)(массовой)материальногоПрииндивидуальнуювеличинаFсила,действующаявзятымпоконтинуумаматериальногоВобщемТогдаобъемуэтомуслучаеобъемнаяполнаяF,объемомтелосила,FdV.переменной.бытьнаFdV',объемнаяэтомкакопределитсяможет(массы)объемаединицечастицуdV,объемомудельныхобъемнойравныймодулюкконтинуума.надействующаяF,силвектор—поотнесеннойсиле,(массовых)величинасил(винерцииэлектромагнитныефизическаяспециальнаявводитсятела.силы.объемныхописанияобъемныхчастицытяжести,отсчета),количественногосилы,объемесилысистемахвекторомвнешниевсевявляютсянапример,неинерциальныхДляэто—распространяетсясилами,называтьегонаконтинуума,силыповерхностнойбудемкраткостисилы).(массовые)поверхностнойдействиеудельнойвектораинтеграломопределитсяотобъем-удельныхвектораVFсилных(вдальнейшемсил).объемныхвектороминдивидуальную частицудплотность—=FсилdFT/dmНа=2.23рис.скольнаходящаясяПроведемчерез(я3)домалый=-gkназыватьегоЗемли,dVgk,тяготения—dmgkиндивидуальной-родк,=—ар$гдечастицы;2.24).(рис.паденияdFT/dVВекторсилмассовыхвекторд.=показанаточкусповерхностиSповерхностикSповерхностьювА,точках(ж2),ВС.исобойпредставляеттела,тела,тела.(ж1),линиикоординатныеА В СплощадкаМточкаиндивидуальнаяблизкоугоднопересеченияучасток=объем—=выбраннуюОбразовавшаясябесконечноdrug=dVполесвободногоускорение—навсреды;-дкобъемныхF=Например,dFTтяжестибудемлюбуюкраткостинаходящегосятела,силадействует/9oдляориентациявкоторого173dFTJXРис.бытьможетпространственормалипщт%=SповерхностисгпчтовекторориентацииматериальногоивзаимосвязьполучаемповерхностнымисиламимеждунаданнойвточкесогласноплощадкиинапряжениямиилителаграницеУчитывая,заданнойплощадкенапряженийориентациейтензоромзаданнойплощадке.наконтинуумаB.39),даннойнапряженияопределяетсявекторполноговекторнаполногозадаетсячтоплощадкеопределяетдействующегорп,=Очевидно,п.нанаикоторойориентациярассматриваемойоднозначноориентациинапряжениячастности,нарпдействуютонинормалисилыдействуютсилыABC,векторомповерхностнойвекторомПоверхностныеплощадкеединичнымединичнымзаданаВтела.малойбесконечноп^'гу.=2.24вусловияграничныенапряжениях:(сг)-пТензорноеусловиямиПолагаяиB.48)записькомпоненты<JijT%T3)°ijnjгранице=n3vj,тела,гдеpnв=РщГ1,черезнапряженияхB.49)компонентыдействуютизполучаем=Pni-условиям,полученнымнапнормаливекторсвоимизаданнымиусловийграничныхсплошнойединичныйсилытензоровСогласнонапряжений=называетсязанятойобласти,напряжений,тензор(а)т.е.такжеиногдаграницеповерхностнойвекторкомпонентами,174наравновесиясредой.пB.48)соотношениеB.48)рп.=тензораповерхностныесилы,небытьмогутсовершеннообразомопределеннымвзаимосвязанысилвектора поверхностныхтелавцелом(см.силповерхностныхкаждыйучастокзаданаpndS,2.23).аФсилаповерхностнаявыводятсяВdS,ориентациянормалинацеломвНаинаслучаеплощадьюdS.рпобъемныхобщемвекторомсилаточке.издействиемподтелаединичнымповерхностнаявектораданнойвтеларис.поверхностикоторогоединичногоповерхностиобъемеравновесияравновесиярассмотрениякомпонентамивбытьдолжныкомпонентамиссориентациюУсловияполнаяизадающегонормали,ипроизвольнымидействуетп,действуеттелокаждуюиндивидуальную5нацеломdVобъемомтелачастицудействуетдействуеттелообъемнаяобъемнаяполнаяFdV,сила/силааFdV.вНеоб-Vходимымусловиемравенствателаравновесияглавногонулюповерхностной):FdV=Ф+Vторсоответствиисвыражаетсячтовекторполнаянапряженийнормаликточкидалееивек-этомвB.48)напряженияхнаданнойвителаповерхноститакточке,потокомопределяетсятензораограничивающуюповерхность,ОстроградскоготеоремувповерхностиповерхностизамкнутуюИспользуятело.тензорсилачерезПри0.=условиямиповерхностнаянапряженийpndSлюбойдлярпграничнымичерезединичный(объемнойSсилповерхностныхусловиесилвнешнихвектораRявляетсяцеломвГаусса,—получаемj>pndSФ(а)=Sчтовекторапозволяетвнешних-ndSсилусловиеRкdiv(cr)d\\VSпривести/=нулюравенстваглавноговиду()F=0.B.50)V175Вполученноминтегрированиеусловииведетсявыполнятьсясплошнойсредысил(внешнихобъему)произвольностивыполнятьсяусловиесостороныобъемаB.50),толькоподынтегральноеиндивидуальнойквV,будетСоотношениетела,находящемсявбытьможетобразомdiv(<j)участвующийформы(а)(Т^т^гу,тензорамичерезrj•учитывалось176правилапостоянствоFметрическихкспорядкапервогонапряжений:тензораrj=приведенныхскалярногоFlVi,=подходасимволическогоV*преобразованияпроцессеиспользовалисьсоответствующиеконтрвариантные:основеопераций) (r* r.)=каждыйчерездивергенциюопределитькомпонентыпредставитьназатемB.51)равновесиячерезтензордифференциальныхпроведениюВусловийB.51)анеопределеннымусловийзаписинапримернапряженийсилами.необходимоэтогокомпоненты,бытьдолжноэтихуравненииввконтинуумеобъемнымизаписьв=распределениеаравновесияусловиематериальномсДлятензоров.B.51)0.=которомуполучитьнулюравнокаждойдлясобойравновесиитензорнойиметьусловиепроизвольным,Изсреды.будетцеломтождественнопредставляетвзаимосвязаннымможновесливыполнятьсяB.51)частицдолжнокоторогоеслит.е.согласнонаегодлятеласлучае,F+объемедействующиеокружающихвыражение,точкиповерхностныхпроизвольномуравновесиетомдолжноусловиеобъемакачествевнапряжения,объемаэтогоместогдеравновесии,выступаютВвидуцеломэтоиндивидуальногоотношениюповОднакотела.любогоееприиндивидуальномуграницеVдляителаравновесияобъемупоумножениякоэффициентоввыраженийтензоров,поотношению=абсолютномукдифференцированию,возможностьвниманиеобозначениявозможностьтакжесимметричностьусловияB.51)одногоиндексасуммированияиндексачерезвыраженныеусловиятриVj<jij+тела,B.52)0.сохранениямеханикесплошныхсред.сплошныхтермодинамикиПолная,2.4.1.тензорногообъемев=Законы2.4.Элементыатензоров:F{вбуквой,Изравновесиякомпонентыидругимлюбойнапряжений.тензораследуютвопринималисьзаменылокальнаяисредконвективнаяпроизводныеПоведениеисплошныхдеформированиизаконамприродысохранениявчерезКидвиженияПреждеуравнений,кчастныйрассмотримкуравненияотносятсячислувыводууравнениясоответствующихсвязанныйпоипривремениЭйлера,локальнойполной,особенностямисвеличиныЛагранжапозицийпонятийопределениюдифференциальныеихкакой-либосдвиженияописаниизаконыконтинуумувопрос,производнойвычислениязаконуэнергии.перейтичемимпульса,второмуматериальномупроизводных.неразрывности,массы,ивыражаютсячастныхприводитсохранениякдвижениинагружении,фундаментальнымтермодинамики)законПрименительнотермодинамики.ихприосновнымзаконам—(первыйэнергиисредподчиненочтоиконвективнойпроизводных.позицийПустьЛагранжа,т.е.движениезависимостьиндивидуализирующихсплошнойдвижениеточкиматериальногосхарактеризующейвеличины,среды,координатлагранжевыхописываетсясредылюбойсплошнойсостояниеиотдляееопределенаf1,континуума,?2, f3,иt.времени177Длябудемопределенностиизменяющееся воТ=временираспределениеТЧ^1,?2, ?3, t).Найдемгранжевыf1,координатыкаждойиндивидуальнойсплошнойчастнаяпроизводнаязависятотЯГзазакрепляютсячастицей)индивидуальнойрассматриваемаявремени,производнойполнойпохарактеризуетрассматриваемойвеличиныдлякоординатамиf1,производнаяслучаевеличиных1,системых2,х2,координаты«4f1,f2>f3,*).иоттекущихотносительносредыкоординат):сплошнойдвиженииееГf3,атакжеотзависятотвремени1Оt:Тогдаcidtдтдх1дтдх2дх1dtдх2dt=текущиесредыточекиндивидуальных?2, f2,какойвидев(эйлеровыхкоординатdttвременииндивидуальныхВраспределениезадаетсяточекх3, t).