1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 8

Сходятся ли в пространстве C[0,1] последовательности{xn }n 1 , если:1) xn (t )  t n  t 3 ;2) x n ( t )  2  n t n ;3) x n ( t )  t n  t n 1 ;4) x n ( t )  t 2 n  t n ;nt 2?1 n  t1.2.17. Сходятся ли в пространствах C[0,1] , L1[0,1] последова-5) x n ( t )  e  nt ;6) xn (t ) тельности {xn }n 1 , если:4nt;1  n 2t 2t n 1t n2t 2n;4) xn (t ) ;3) xn (t ) 1  t 2nn 1 n  2125) xn (t )  arctg (nt );6) xn (t )  t  2 ?n1.2.18. Доказать, что если из последовательности { x n } метрического пространства X нельзя выделить сходящуюся в X подпоследовательность, то множество точек последовательности { x n } яв1) xn (t )  e  t / n ;2) xn (t ) 60ляется замкнутым множеством в X .

Привести пример такой последовательности в пространстве 1 .1.2.19. Пусть X  множество всех ограниченных на отрезке [a, b] функций f . Доказать полноту метрического пространстваM [a, b]  ( X ,  ( f , g )  sup | f ( x)  g ( x) |) .x[ a ,b ]1.2.20. Доказать полноту пространств:1) l ;2) C[0,1] ;3) C1[0,1] ;4) l p , 1  p < ;6) L1[0,1] .5) c0 ;1.2.21. Исследовать полноту метрического пространстваX  (,  ( x, y )  | x  y |) .1.2.22. Являются ли полными метрические пространства( X ,  ( x, y )  max | x(t )  y (t ) |) , если:t[ 1,1]1) X   x  C[ 1,1] : x(0)  0 ;12) X  {x  C[1,1] : x(t )dt  0} ;13) X   x  C[ 1,1] : | x(t ) |  1 ;4) X   x C[ 1,1] : x(0)  0, x(1)  10 ;5) X   x  C[ 1,1] : x(1)  x(1) ;16) X  {x  C[1,1] : x(t )dt  2} ?11.2.23.

Образует ли множествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...), xn  , n  }всех финитных последовательностей полное метрическое пространство ( M ,  ) , если:1)  ( x, y )  max xk  yk ;2)  ( x, y ) k| xk 1k yk |2 ?Построить пополнения неполных метрических пространств.611.2.24. Рассмотрим следующие множества непрерывных функций, определенных на всей числовой прямой:1) M 1  множество всех ограниченных функций;2) M 2  множество всех функций f , для которыхlim f ( x )  0 ;x3) M 3  множество всех функций f , каждая из которых равнанулю вне некоторого отрезка.Показать, что функция( f , g) supx(  ,  )| f ( x )  g ( x) |на каждом из этих множеств является метрикой.

Какие из полученных метрических пространств будут полными? Построить пополнения неполных метрических пространств.1.2.25. Доказать, что множество всех вещественных чисел с метрикой ( x, y )  | e x  e y |не является полным метрическим пространством. Построить пополнение этого пространства.1.2.26. Доказать полноту метрического пространстваX  ((0, ),  ( x, y )  | ln x  ln y |) .1.2.27. ПустьX  { f  C[a, b] : A  f ( x)  B, x  [a, b]} ,где A , B  заданные числа. Доказать, что подпространство Xпространства C[ a, b] является полным метрическим пространством.1.2.28.

Пусть A , B  полные подпространства метрическогопространства X . Доказать, что подпространства A  B и A  Bтакже являются полными. Показать на примере, что подпространство A \ B может оказаться не полным.62§ 1.3. Свойства метрических пространствСепарабельность, вполне ограниченность, компактностьметрических пространств; критерии компактности множествв метрических пространствах, теорема Хаусдорфа, теоремаАрцела.Пусть A , B  произвольные множества в метрическом пространстве ( X ,  ) .Определение 1.3.1.

Множество A называется плотным в множестве B , если B  A , т. е. если для любой точки x  B найдетсяпоследовательность {xn }  A такая, что xn  x .Это определение равносильно тому, что для любой точки x  Bи для любого числа   0 в шаре B( x,  ) найдется точка из A .Пример 1.3.1. В пространстве 1 множество всех рациональныхчисел  плотно в любом множестве этого пространства. ■Определение 1.3.2. Множество A называется всюду плотным вметрическом пространстве ( X ,  ) , если A  X , т. е. если для любой точки x  X найдется последовательность {xn }  A такая,что xn  x .Замечание 1.3.1. Множество A плотно в метрическом пространстве X тогда и только тогда, когда A всюду плотно в X .Если A всюду плотно в X , то, очевидно, что A плотно в X .Пусть A плотно в X , тогда X  A . С другой стороны, так какA  X , то A  X  X .

Следовательно, A  X .Пример 1.3.2. Множества  и  \  всюду плотны в 1 . ■Пример 1.3.3. МножествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...), n  }всех финитных последовательностей вещественных чисел всюдуплотно в пространстве l p (1  p  ) .63Рассмотрим произвольную точку x  ( x1 , x2 ,..., xn ,... )  l p и последовательность y ( n )  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...)  M , n   . Так как| x |i 1pi|x |i  n 1i  , то для любого   0 найдется K 1 такое, чтоp  p для всех n  K . Поэтому  ( x, y ( n ) )   , n  K ,т. е.

 ( x, y ( n ) )  0 . ■Пример 1.3.4. Множество всех полиномов на отрезке [a, b]всюду плотно в пространстве C[a, b] (теорема Вейерштрасса1.3.1). ■Определение 1.3.3. Множество A называется нигде не плотнымв метрическом пространстве ( X ,  ) , если A не плотно ни в какомоткрытом шаре этого пространства.Это означает, что в любом открытом шаре B ( x 0 , R ) , R  0 ,пространства ( X ,  ) существует точка z , не являющаяся точкойприкосновения A . Поэтому у точки z существует окрестностьB( z , r )  B ( x0 , R) , в которой нет точек из множества A . Итак,множество A нигде не плотно в метрическом пространстве ( X ,  ) ,если любой открытый шар в пространстве ( X ,  ) содержит открытый шар, не содержащий точек множества A .Заметим, что понятие нигде не плотного множества вводитсятолько для непустых метрических пространств.Пример 1.3.5.

Следующие множества являются нигде не плотными в пространстве 1 : любое конечное множество; множество1, n. ■nПример 1.3.6. Счетное множество A  Q[0,1] не всюду плотноцелых чисел; множество чисел xn в 1 , так как A  [0,1] . При этом множество A не является нигдене плотным в 1 , так как(a, b)  [0,1] . ■A плотно в любом интервале64Теорема 1.3.1 (теорема Бэра). Полное метрическое пространство ( X ,  ) нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.Пример1.3.7.РассмотримдискретноепространствоX  {1, 2,3} .

Оно полно, как любое дискретное пространство (пример 1.2.6), но состоит только из трех точек. Противоречия с теоремой Бэра здесь нет, так как каждая точка в этом пространстве является изолированной и потому не является нигде не плотным множеством. Действительно, например, шар B(2,  ) при 0    1 содержит только точку 2 , поэтому одноточечное множество {2} плотнов шаре B(2,  ) . ■Утверждение 1.3.1. Пусть X  непустое множество. Полноеметрическое пространство ( X ,  ) без изолированных точек несчетно.► Докажем, что в метрическом пространстве ( X ,  ) , не содержащем изолированных точек, любое одноточечное множество {a} нигде не плотно.

Тогда справедливость утверждения будетследовать из теоремы Бэра, так как X   {a} .a XПусть множество {a} плотно в некотором шаре B( x,  ) ,   0 ,тогда B ( x,  )  {a} . Так как одноточечное множество {a} замкнулюбом метрическом пространстве ( {a}  {a} ), тоB ( x,  )  {a} . Отсюда следует, что x  a и B ( x,  )  B(a,  )  {a} ,т. е. a – изолированная точка пространства ( X ,  ) .

Получаем противоречие. ◄Определение 1.3.4. Метрическое пространство ( X ,  ) называется сепарабельным, если в нем существует не более чем счетноевсюду плотное множество M .Пусть множество M всюду плотно в пространстве ( X ,  ) . Очевидно, что M конечно тогда и только тогда, когда конечно самомножество X (в этом случае X  M ). Если X  бесконечноемножество и ( X ,  )  сепарабельное пространство, то в нем существует счетное всюду плотное множество M .тов65Пример 1.3.8.

Метрические пространства np ( 1  p   ),l p ( 1  p   ), C[a, b] , L p [ a, b] ( 1  p   ) являются сепарабельными.Множество  рациональных чисел всюду плотно в 1 , поэтомусчетное множествоM  {x : x  (q1 , q2 ,..., qn ), qi  , 1  i  n}всюду плотно в  np ( 1  p   ).Из примера 1.3.3. следует, что счетное множество всех финитных последовательностей с рациональными координатами всюдуплотно в пространстве l p (1  p  ) .Из теоремы Вейерштрасса 1.3.1 и всюду плотности непрерывных функций в пространстве L p [ a, b] ( 1  p   ) 1.3.2 вытекает,что счетное множество всех полиномов на отрезке [a, b] с рациональными коэффициентами всюду плотно как в пространствеC[a, b] , так и в пространстве L p [ a,b] ( 1  p   ).

■Пример 1.3.9. Пусть X  множество всех ограниченных на отрезке [a, b] функций f . Покажем, что метрическое пространствоM [a, b]  ( X ,  ( f , g )  sup | f ( x)  g ( x) |)x[ a ,b ]не сепарабельно. Для этого докажем, что любое счетное множествов этом пространстве не может быть всюду плотным.Пусть f n n1 произвольное  счетное множество функций впространстве M [a, b] . Выберем на отрезке [a, b] произвольноесчетное множество точек  xn n 1 и построим ограниченную на отрезке [a, b] функцию f следующим образом: 1, если f n ( xn )  0,f ( xn )  1, если f n ( xn )  0,f ( x)  0, если x  xn , n  .66Так как  ( f , f n )  1 для всех n  , то множество f n n1 не всюду плотно в пространстве M [a, b] .

Итак, любое счетное множествофункций в пространстве M [a, b] не может быть всюду плотным,т. е. M [a, b]  несепарабельное пространство. ■Пример 1.3.10. Метрические пространства L [a, b] , l не являются сепарабельными.Докажем, что пространство l не сепарабельно. Для этого покажем, что любое всюду плотное в этом пространстве множествоявляется несчетным.Рассмотрим в пространстве l множествоA  {x  l : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), xn  0 или xn  1, n  } .Множество A имеет мощность континуума, так как оно эквивалентно множеству всех подмножеств счетного множества [8, с. 66],и обладает следующим свойством:x, y  A x  y   ( x, y )  1.Поэтому в пространстве l существует множество мощности континуума,состоящееизпопарнонепересекающихсяшаров1B( x, ), x  A .