1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 6

Доказать, что имеет место равенство ( x, y )  lim  p ( x, y ) .p a  (a1 ,..., a n ,...)  l p ,Пусть1.1.53.1 p  ,b  (b1 ,..., bn ,...)  l q , где 1 / p  1 / q  1 . Доказать, что выполняетсянеравенство Гельдера | a b |  ( | a |i 11.1.54.Пустьi ii 1x  L p [ a, b] ,pi1p1q q) ( | bi | ) .i 11 p  ,y  Lq [a, b] ,где1 / p  1 / q  1 . Доказать, что выполняется интегральное неравенство Гельдераbb | x(t ) y(t ) | dt  ( | x(t ) |aa43p1pb1qdt ) (  | y (t ) | dt ) .qa§ 1.2.

Полнота метрических пространствСходимость и фундаментальность последовательностей,полнота метрических пространств, теорема о пополнении,критерий полноты метрического пространства.Определение 1.2.1. Последовательность x n  точек метрическо-го пространства X  ( X ,  ) называется фундаментальной, если ( xn , xm )  0 при n, m  ,т.

е. для любого   0 существует K 1 такое, что для любыхn, m  K выполняется неравенство  ( x n , x m )   .Из аксиомы треугольника следует, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное утверждение, как показывает следующий пример, не является верным.Пример 1.2.1. В метрическом пространствеX  ((0,1),  ( x, y )  | x  y |)1последовательность xn  , n  , является фундаментальной, ноnне сходящейся. ■Определение 1.2.2.

Метрическое пространство X называетсяполным, если любая фундаментальная в X последовательностьсходится к точке этого пространства.Пример 1.2.2. Пространства  np ( 1  p   ), l p ( 1  p   ),C[ a, b] , L p [a, b] ( 1  p   ) являются полными.Докажем полноту пространства l 2 .

Для этого рассмотрим в l 2произвольную фундаментальную последовательностьx ( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,..., xk( n ) ,...) , n  .Зафиксируем произвольное число   0 . Тогда найдется K 1 такое, что для любыхn, m  K выполняется неравенство ( x ( n ) , x ( m ) )   , т. е.| xi 1(n)i xi( m ) |2   .44(1)Из (1) следует, что для каждого i  1, 2, ...| xi( n )  xi( m ) |   ,где n, m  K . Значит, {xi( n ) }n 1 , i  1, 2, ... ,  фундаментальные числовые последовательности, поэтому они сходятся.Итак, из фундаментальности последовательности {x ( n ) } в l 2следует существование покоординатного пределаx  ( x1 , x2 ,..., xk ,...) , где xi  lim xi( n ) , i  1, 2, ... .n Докажем, что x  l2 и  ( x(n), x )  0 .

Из (1) следует, что дляn каждого M  1 верны неравенстваM| x xi( m ) |2   2 , n, m  K .(n)ii 1Переходя в этих конечных суммах к пределу при m   , получаемMнеравенства| xi 1 xi |2   2 , справедливые для всех M  1 и(n)i| xn  K . Это означает, что ряд(n)ii 1| x(n)ii 1 xi |2 сходится и xi |2   , n  K .(2)Покажем, что x  l2 . Действительно, зафиксируем число l  K .Тогда для каждого M  1 из неравенства Минковского 1.2.1 получаемM| x |i 1M| x  x2ii 1 | xi  xi(l ) |2 i 1Следовательно, ряд| x |i 12i| (l ) 2iiM| xi 1| xi 1(l ) 2i| .сходится, т.

е. x  l2 .45| (l ) 2iТак как x  l2 , то неравенство (2) означает, что  ( x ( n ) , x )  0 .n Полнота пространства l 2 доказана. ■L p [a, b] (1  p  )Пример 1.2.3. неполные метрическиепространства.Докажем неполноту пространства L2 [1,1] . Для этого построимв этом пространстве такую фундаментальную последовательность,которая не сходится. Рассмотрим в пространстве L2 [1,1] последовательность {xn }n 1 непрерывных функций, где11,1t,n1xn (t )   nt , | t |  ,n1 1, n  t  1.Докажем, что {xn }  фундаментальная последовательность. Полагая n  m (без ограничения общности), имеем1 2 ( xn , xm )   | xn (t )  xm (t ) |2 dt 11m | x (t )  xn2  222  22mmin (n, m)m(t ) |2 dt 1mn, m  0.Покажем, что последовательность {xn } не сходится в пространствеL2 [1,1] .

Рассмотрим функцию1,  1  t  0,g (t )   0,t  0, 1, 0  t  1,которая является поточечным пределом последовательности {xn } идля которой справедливы соотношения461n1| x1n1n(t )  g (t ) | 2 dt   | x n (t )  g (t ) | 2 dt  2  | 1  nt | 2 dt 1n02.nПредположим, что последовательность {xn } сходится в пространствеL2 [1,1]к непрерывной функции x 0 , т. е.  ( xn , x0 )  0 . Вn силу неравенства Минковского 1.2.2 имеем соотношения1 | x (t )  g (t ) | dt 201112 | x0 (t )  xn (t ) | dt  | x (t )  g (t ) | dt2n11 0,n из которых следует, что функции x0 и g должны совпадать п.

в. наотрезке [1, 1] . Так как функция x0 непрерывна на отрезке [1, 1]и x0 (t )  1 п. в. на [ 1, 0) , то lim x0 (t )  1 . Аналогично,t 0lim x0 (t )  1 . Итак, x0 разрывна в нуле, что противоречит ее не-t  0прерывности. Это означает, что рассматриваемая последовательность {xn } не сходится в пространстве L2 [1,1] . ■Пример 1.2.4.

Метрическое пространствоX  ((, ),  ( x, y )  | arctg x  arctg y |)не является полным пространством.Рассмотрим последовательность xn  n , n   . Зафиксируемпроизвольное число  > 0. Так какarctg n n 2,то найдется число K 1 такое, что для всех n  K2 arctg xn   .47Тогда для всех n  K и для всех натуральных p справедливо ( xn , xn  p )  arctg (n  p )  arctg n  ( )   .22Отсюда следует, что исходная последовательность фундаментальна.Если xn  a , то  ( xn , a )  0 , но в рассматриваемом случаеnдля любого a   (xn , a)  | arctg n  arctg a |  |n 2 arctg a |  0 .Поэтому последовательность {xn } не сходится в X , т. е.

X  неполное метрическое пространство. ■Пример 1.2.5. Пусть M  множество всех финитных последовательностей (см. пример 1.1.12), на котором определена метрика ( x, y )   | xn  yn | .n 1Тогда X  ( M ,  )  подпространство пространства l1 . Покажем,что метрическое пространство X не является полным.Рассмотрим последовательность {x ( n ) }  X , где1 11, 2 ,..., 2 , 0, 0,...) , n   .2n2 3(n)Так как последовательность {x } сходится в пространстве l1 к1 111x  (1, 2 , 2 ,..., 2 ,,...)  l1 ,n (n  1) 22 3то она фундаментальна в X . При этом x  M , т.

е. пространство X не полное. ■Пример 1.2.6. Дискретное пространство X является полным.x ( n )  (1,Рассмотрим произвольную фундаментальную последователь-1найдется K 1 такое, что для21любых n, m  K верно  ( xn , xm )  , и поэтому  ( xn , xm )  0 .2Это означает, что любая фундаментальная последовательность {xn }ность {xn }  X .

Тогда для  48в дискретном пространстве является стационарной, начиная с некоторого номера, т. е. существует N   такое, что xn  xN для всехn  N . Очевидно, что такая последовательность сходится к точке xN  X . ■Пример 1.2.7. ПустьX   x  C[0,1] : x(0)  2 x(1) .Метрическое пространство( X ,  ( x, y )  max | x(t )  y (t ) |)t[0,1]является полным.фундаментальнаяпоследовательностьПроизвольная{xn }  ( X ,  ) является фундаментальной в полном пространствеC[0,1] . Следовательно, найдется функция x  C[0,1] такая, чтоxn  x , т. е. ( xn , x)  max | xn (t )  x(t ) |  0 .t[0,1]n Отсюда получаем, что xn (t )  x(t )  0 для всех t  [0,1] , и поэтому xn (0)  x(0) , xn (1)  x(1) при n   .

Из равенствxn (0)  2 xn (1) , n   ,получаем в пределе, что x(0)  2 x(1) , т. е. x  X . ■Пример 1.2.8. Исследуем на фундаментальность и сходимость впространствах X  l1 , l2 , l последовательности  xn n 1 , если:1) xn  (1, 2, 0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) ;n 21 112) xn  ( , 2 ,..., n , 0, 0,...) ;3 331113) xn  (1, 0,..., 0, 2n , 2n  1 ,..., 3n , 0, 0,...) .2 n 1Отметим, что в силу полноты пространств X  l p ( 1  p   ),последовательность  xn   X сходится тогда и только тогда, когдаона фундаментальна в X . Из свойств метрик в этих пространствах49следует, что если xn  x , то x есть покоординатный предел по-следовательности  xn  .1) Исследуем фундаментальность последовательности {xn } .

Длявсех n  m справедливоX  l1 , 2, ( xn , xm )   2, 1,X  l2 ,X  l .Поэтому {xn } не фундаментальна в рассматриваемых пространствах X , а следовательно, и не сходится в них. Заметим, что покоординатным пределом последовательности {xn } является точкаx  (1, 2, 0, 0, ..., 0, 0, ...) ,но во всех пространствах  ( xn , x)  1  0 .2) Покоординатный предел последовательности {xn }  точка1 11 1x  ( , 2 ,..., n , n 1 ,...) ,3 33 3которая принадлежит всем рассматриваемым пространствам X .Имеем  1X  l1 ,  3i ,i  n 11 ( xn , x)    2i , X  l2 , i  n 1 3 1X  l . n 1 , 3В силу сходимости рядов1,ii 1 319i 150i,во всех пространствах X справедливо  ( xn , x)  0 при n   .Итак, последовательность {xn } сходится к x во всех пространствахX  l1 , l2 , l , а следовательно, является в них фундаментальной.3) Покоординатным пределом последовательности {xn } являетсяточкаx  (1, 0, 0,..., 0, 0,...) ,которая принадлежит всем рассматриваемым пространствам X .В пространстве X  l1 ( xn , x) 3n1i i 2nn 1 1 ,3n3поэтому последовательность {xn } не сходится, а следовательно, ине фундаментальна.В пространстве X  l2 ( xn , x) 3n12i 2n i1ii 2n2 0, n  ,и в пространстве X  l1 0, n  .2nПоэтому последовательность {xn } сходится в пространствахX  l2 , l , а следовательно, является в них фундаментальной.

■Пример 1.2.9. Исследуем в пространствах X  C[0,1] и ( xn , x) X  L1[0,1] сходимость последовательностей  xn n 1 , если:3n 2t2) xn (t ) .1  n2  t 21) x n ( t )  t  t ;n2Отметим, что в силу полноты рассматриваемых пространств Xпоследовательность  xn   X сходится тогда и только тогда, когдаона фундаментальна в X . Из свойств метрики в C[0,1] следует,что если xn   C[0,1]и xn  x , то функция x есть поточечный51предел последовательности  xn  . Если же  xn   L1[0,1] и xn  xв пространстве L1[0,1] , то существует подпоследовательность{xnk } такая, что xnk  x п.